(共13张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.2 立体图形的视图
1.由立体图形到视图 第1课时 投影
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
1. 平行投影的特点：(光线平行)
(1)在同一时刻，不同物体的影子同向，且物高和影
长成正比.
(2)在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能
不同.
2. 中心投影的特点：(物体顶端与其影子顶端连线所在直线
必过点光源)
(1)等高的物体垂直于投影面放置时，离点光源越近，影
子越短；离点光源越远，影子越长.
(2)等长的物体平行于投影面放置时，离点光源越近，影
子越长；离点光源越远，影子越短(不会比物体短).
知识点1 投影
1. 下列现象不属于投影的是( D )
A. 皮影 B. 树影
C. 手影 D. 素描画
2. 皮影戏是在哪种光照射下形成的？( A )
A. 灯光 B. 太阳光
C. A，B都对 D. A，B都不对
D
A
1
2
3
4
5
6
7
8
知识点2 平行投影
3. 平行投影中的光线是( A )
A. 平行的 B. 聚成一点的
C. 不平行的 D. 向四面发散的
A
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 如图，这是胡老师画的一幅写生画，四名同学对这幅画的
作画时间作了猜测.根据胡老师给出的方向坐标，猜测比
较合理的是( C )
A. 小明：“早上8点.”
B. 小亮：“中午12点.”
C. 小刚：“下午5点.”
D. 小红：“什么时间都行.”
C
1
2
3
4
5
6
7
8
知识点3 中心投影
5. 下列现象属于中心投影的有( D )
①小孔成像；②皮影；③手影；④放电影.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
D
1
2
3
4
5
6
7
8
6. 下列投影中，不属于中心投影的是( C )
A. 晚上路灯下小孩的影子
B. 舞台上灯光下演员的影子
C. 阳光下树的影子
D. 电影银幕上演员的影子
C
1
2
3
4
5
6
7
8
易错点 不理解投影的特点而致错
7. [2024·宜昌夷陵区模拟]如图，正方形纸板的一条对角线垂
直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确
定的平面垂直于纸板.在灯光照射下，正方形纸板在地面
上形成的影子的形状可以是( D )
D
1
2
3
4
5
6
7
8
利用平行投影与中心投影的特征作图
8. 图①，②分别是两棵树及其影子的情形.
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的
情形？
【解】图②反映了阳光下的情形，图①反映了
路灯下的情形.
1
2
3
4
5
6
7
8
(2)你是用什么方法判断的？
【解】图①中过影子顶端与树顶端的直线相交
于一点，符合中心投影的特点，因此图①反映
了路灯下的情形；
图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此图②反映了阳光下的情形.
1
2
3
4
5
6
7
8
(3)请分别在图中画出表示小丽影子的线段.
【解】路灯下小丽的影子如图①所示，表示影
子的线段为 AB ；阳光下小丽的影子如图②所
示，表示影子的线段为 CD .
1
2
3
4
5
6
7
8(共21张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.2 立体图形的视图
1.由立体图形到视图
第2课时 视图
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
从不同方向看立体图形的技巧：
1. 从正面看立体图形时，可以想象为：将立体图形从前向
后压缩，使看到的面全部落在同一竖直的平面内.
2. 从左面看立体图形时，可以想象为：将立体图形从左向
右压缩，使看到的面全部落在同一竖直的平面内.
3. 从上面看立体图形时，可以想象为：将立体图形从上向
下压缩，使看到的面全部落在同一水平的平面内.
知识点1 几何体的三视图
1. [2023·襄阳]先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”
一词最早的起源.如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓
的立体图形，该立体图形的主视图是( B )
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
D
2. [2023·自贡]如图中六棱柱的左视图是( A )
A
B
C
D
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. [2023·南通]如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的
是( A )
三棱柱
圆柱
四棱锥
圆锥
A B C D
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是
( D )
A
B
C
D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. [2023·河南]北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博
物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价
值.如图，关于它的三视图，下列说法正确的是( A )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都相同
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知识点2 组合几何体的三视图
6. [2024·成都]如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方
块搭成的，它的主视图是( A )
(第6题)
A
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. [2023·滩坊 新考向 文化传承]在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视图是( C )
(第7题)
C
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
易错点 忽视三视图中实线与虚线的区别而致错
8. 画出图①所示的几何体的主视图、左视图和俯视图.琪琪
给出了她的答案，如图②所示，琪琪的答案是否正确？如
果不正确，请你画出正确的视图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
【解】琪琪画的主视图和俯视图正确，左视图不正确，从
左面看有一条看不见的棱(看得见的棱用实线，看不见的
棱用虚线)，正确的左视图如图②所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
利用物体的特征找出对应的三视图
9. [2024·南阳十三中模拟]找出与图中几何体对应的三视图，
在横线上填对应的序号.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
利用物体与其三视图的关系找变化规律
10. 图(a)是由6个棱长都为2 cm的小立方块搭成的几何体.
(1)图(b)是这个几何体的三视图，请直接写出三视图的序
号：主视图是 ，左视图是 ，俯视图
是 .
③
②
①
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)请直接写出这个几何体的体积为 ，表面积
(包括底面)为 .
(3)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保
持俯视图和左视图不变，最多可以再添加多少个小
立方块？
【解】保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加
3个小立方块.
48 cm3
104 cm2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
利用几何体的特征画三视图
11. [新考法 空间想象法]把两个相同的小正方体和一个圆锥
按如图所示的方式放在一起，请你画出这个立体图形的
三视图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
【解】如答图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
利用物体与其三视图的变化规律画图计算
12. [新考法 开放探究法]如图①是由几个相同的棱长为1的小
立方块搭成的几何体的俯视图，方格中的数字表示该位
置的小立方块的个数.
(1)请在方格纸(如图②)中分别画出该几何体的主视图和
左视图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由三视图可知这个几何体的表面积为 个平方单
位.(包括底面积)
【解】如图②所示.
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(3)若保持俯视图形状不变，各位置的小立方块个数可以
改变(总数目不变)，则搭成这样的几何体中的表面积
最大是多少个平方单位？(包括底面积)
【解】要使表面积最大，则需满足小立方块之间的重合最少，此时俯视图如答图所示.这样上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有5个小正方形，右面共有5个小正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个小正方形，故表面积为1×(3＋3＋5＋5＋5＋5)＝26(平方单位).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共37张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
全章热门考点整合应用
名师点金
本章知识可分为两部分，一部分是立体几何的初步认
识，另一部分是平面几何的初步认识，均是初中几何的基
础知识.本章主要考查立体图形的识别、展开图及从不同方
向看立体图形，直线、射线、线段及角的有关计算.常见的
热门考点可概括为：四组概念、两个性质、两种计算、两
种方法、五种思想.
四组概念
概念1 立体图形与平面图形
1. [2024·重庆八中期中]下面的平面展开图与图下方的立体图
形名称不相符的是( A )
【点拨】
分析四个选项，发现A中的平面展开图为三棱柱的展
开图，不是三棱锥的展开图，由此即可得出结论.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. 如图，下面哪些图形是立体图形？哪些图形是平面图形？
【解】①④⑤⑥⑦是立体图形，②③⑧是平面图形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
概念2 投影与视图
3. [2024·山西晋中期末]孟母教子是中国传统文化的重要组成
部分，孟母像位于太谷区孟母文化园内.如图，在晴天的
日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度是如何变
化的( C )
C
A. 逐渐变长
B. 逐渐变短
C. 先逐渐变短，后逐渐变长
D. 保持不变
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. [新考法·传统文化 2023 衡阳]作为中国非物质文化遗产之
一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古
朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意
识.如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四
幅图是从左面看到的图形的是( B )
B
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
概念3 展开与折叠
5. [2024·济南外国语学校月考]下列各图中，经过折叠能围成
一个正方体的是( D )
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
概念4 余角与补角
6. [2024·广东佛山阶段练习]一个角的补角为158°，那么这
个角的余角度数是( A )
A. 68° B. 22°
C. 52° D. 112°
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
两个性质(基本事实)
性质1 直线的基本事实
7. 下列事实中，可以用“两点确定一条直线”来解释的有
( C )
①给墙上钉木条至少要两个钉子才能牢固；
②农民拉绳插秧；
③打靶时需要瞄准；
④从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB
架设.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【点拨】
①②③可以用“两点确定一条直线”来解释；④可以
用“两点之间线段最短”来解释.
【答案】C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
性质2 线段的基本事实
8. [情境题·生活应用 2024 保定期末] “这么近，那么美，周
末到河北.”庆都山－唐尧古镇是唐尧故里，拥有厚重的
历史沉淀，携带着古韵质朴的气息，见证着时光变换的风
情画卷.为了行人便利，某十字路口设俯视示意图.若想走
近路，从位置 A 到位置 C 的两条路径“ A → C ”和“ A →
B → C ”中，你会选择路径 ，选择的依据
是 .
A → C
两点之间线段最短
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
两种计算
计算1 线段的计算
9. [2024·重庆一中月考]如图，已知：线段 AB ，延长 AB 到
点 C ，使得 BC ∶ AB ＝2∶5，点 D 为 AC 的中点， E 为
AB 的中点，若 AC ＝14，求线段 DE 的长度.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【解】因为 BC ∶ AB ＝2∶5， AC ＝14，所以 AB ＝14×
＝10.
因为 AE ＝ AB ＝5， AD ＝ AC ＝7.
所以 DE ＝ AD － AE ＝7－5＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
计算2 角的计算
10. [新考法 方程思想]如图， O 是直线 AB 上一点，
OC ， OD 分别是从 O 点引出的两条射线， OE 平分
∠ AOC ，∠ BOC ∶∠ AOE ∶∠ AOD ＝2∶5∶8，
求∠ BOD 的度数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【解】设∠ BOC ＝2 x °，
则∠ AOE ＝5 x °，∠ AOD ＝8 x °.
因为 O 是直线 AB 上一点，
所以∠ AOB ＝180°，
所以∠ COE ＝(180－7 x )°.
因为 OE 平分∠ AOC ，所以∠ AOE ＝∠ COE ，
即5 x ＝180－7 x ，解得 x ＝15.所以∠ AOD ＝8×15°＝
120°.所以∠ BOD ＝180°－120°＝60°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
两种方法
方法1 计数方法
11. [新视角 规律探索题]如图，平面内有过公共端点 O 的六
条射线 OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OF ，从射线 OA
开始按逆时针方向依次在射线上写上数1，2，3，4，5，
6，7，….
(1)数“17”在射线 上；
OE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(2)请任意写出三条射线上数的排列规律；
【解】(答案不唯一)
射线 OA 上数的排列规律：
6 n －5( n 为正整数).
射线 OB 上数的排列规律：6 n －4( n 为正整数).
射线 OC 上数的排列规律：6 n －3( n 为正整数).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(3)数“2 024”在哪条射线上？
【解】因为2 024÷6＝337……2，
所以数“2 024”在射线 OB 上.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
方法2 钟面角的计算方法
12. “双减”政策实施以来，吉林市全面开展了中小学生课
后服务工作.目前，吉林市市区大部分学校七、八年级的
学生每天下午6：30放学，这时时针与分针所成的角
为 .
【点拨】
× ＝15°.
15°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
五种思想
思想1 转化思想
13. 如图，点 C ， D ， E 将线段 AB 分成2∶3∶4∶5的四部
分， M ， P ， Q ， N 分别是 AC ， CD ， DE ， EB 的中
点，且 MN ＝21，求线段 PQ 的长度.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【解】设 AC ＝2 x ，则 CD ＝3 x ， DE ＝4 x ， EB ＝5 x .
由 M ， N 分别是 AC ， EB 的中点，得 MC ＝ x ， EN ＝
2.5 x .
由题意得 MN ＝ MC ＋ CD ＋ DE ＋ EN ＝ x ＋3 x ＋4 x ＋
2.5 x ＝21，
即10.5 x ＝21，解得 x ＝2.
又因为 P ， Q 分别是 CD ， DE 的中点，
所以 PQ ＝ CD ＋ DE ＝3.5 x ＝7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
思想2 建模思想
14. [2023·北京四中模拟]如图是一个几何体从上面看到的形
状图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则该几
何体从前面看到的形状图是( B )
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
思想3 分类讨论思想
15. 已知线段 AB ＝12 cm，直线 AB 上有一点 C ，且 BC ＝6
cm， M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长.
【解】当点 C 在线段 AB 上时，如答图①.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM ＝ AC ＝ ( AB －
BC )＝ ×(12－6)＝3(cm).
当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如答图②.
因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM ＝ AC ＝ ( AB ＋
BC )＝ ×(12＋6)＝9(cm).
所以线段 AM 的长为3 cm或9 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. [新考法 变式训练法]已知∠ AOB ＝α(30°＜α＜45°)，
∠ AOB 的余角为∠ AOC ，∠ AOB 的补角为∠ BOD ，
OM 平分∠ AOC ， ON 平分∠ BOD .
(1)如图，当α＝40°，且射线 OM 在∠ AOB 的外部时，
用直尺、量角器画出射线 OD ， ON 的准确位置；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【解】如答图①②所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(2)求(1)中∠ MON 的度数，要求写出计算过程；
【解】由题意，得∠ AOC ＝90°－
∠ AOB ＝50°，∠ BOD ＝180°－∠ AOB
＝140°.因为 OM 平分∠ AOC ， ON 平分
∠ BOD ，所以∠ MOA ＝ ∠ AOC ＝
×50°＝25°，∠ BON ＝ ×140°＝
70°.①如答图①，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
∠ MON ＝∠ MOA ＋∠ AOB ＋∠ BON ＝25°＋40°＋70°
＝135°.②如答图②，∠ MON ＝∠ BON －∠ MOA －
∠ AOB ＝70°－25°－40°＝5°.所以∠ MON 的度数为
135°或5°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(3)当射线 OM 在∠ AOB 的内部时，用含α的式子表示∠
MON 的度数(直接写出结果).
【解】∠ MON ＝α＋45°或135°－2α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
思想4 方程思想
17. 如图， OM ， OB ， ON 是∠ AOC 内的三条射线，
OM ， ON 分别是∠ AOB ，∠ BOC 的平分线，∠ NOC
是∠ AOM 的3倍，∠ BON 比∠ MOB 大30°，求∠ AOC
的度数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【解】设∠ AOM ＝ x °，
则∠ NOC ＝3 x °.
因为 OM ， ON 分别是∠ AOB ，∠ BOC 的平分线，所以
∠ MOB ＝∠ AOM ＝ x °，∠ BON ＝∠ NOC ＝3 x °.
依题意得3 x － x ＝30，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解得 x ＝15，即∠ AOM ＝15°，
所以∠ MOB ＝15°，∠ BON ＝∠ NOC ＝45°.
所以∠ AOC ＝∠ AOM ＋∠ MOB ＋∠ BON ＋∠ NOC ＝
15°＋15°＋45°＋45°＝120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. 如图， B ， C 两点把线段 AD 分成2∶5∶3的三部分( BC
＞ CD ＞ AB )， M 为 AD 的中点， BM ＝6 cm，求 CM 和
AD 的长.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【解】由题意，可设 AB ＝2 x cm，则 BC ＝5 x cm， CD
＝3 x cm，
所以 AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝10 x cm.因为 M 是 AD 的中
点，所以 AM ＝ MD ＝ AD ＝5 x cm.所以 BM ＝ AM －
AB ＝5 x －2 x ＝3 x (cm).
因为 BM ＝6 cm，所以3 x ＝6，解得 x ＝2.
所以 BC ＝10 cm， AD ＝20 cm.
所以 CM ＝ BC － BM ＝4 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
思想5 数形结合思想
19. 如图是一个无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不
计)，求这个盒子的容积.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
【解】由题图易知，无盖长方体盒子的长、宽、高分别
是3，2，1，3×2×1＝6.
所以这个盒子的容积为6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19(共24张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.5 最基本的图形——点和线
1.点和线
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
线段、射线、直线的表示方法
1. 直线和线段都有两种表示方法：(1)用一个小写字母
表示；(2)用两个大写字母表示.
2. 用两个大写字母表示线段和直线时，两个字母没有
顺序，可以交换位置，如“线段 BA ”和“线段
AB ”表示同一条线段，“直线 AB ”和“直线 BA ”
表示同一条直线.
3. 表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点
的字母必须写在前面.
知识点1 线段及线段的基本事实
1. 如图，其中线段共有( C )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
(第1题)
【点拨】
图中线段有 AB ， AC ， BC ，共3条，故选C.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 如图，各线段的表示方法正确的有( B )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
(第2题)
【点拨】
线段可以用两个端点的大写字母表示，也可以用一个
小写字母表示.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [母题 教材P146试一试] 如图，从 C 地到 B 地有①②③这
3条路线可以走，下列判断正确的是( B )
A. 路线①最短
B. 路线②最短
C. 路线③最短
D. 路线①②③长度都一样
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点2 射线及其表示方法
4. 下列生活中的实例可以看成射线的是( C )
A. 紧绷的琴弦 B. 人行横道线
C. 手电筒发出的光线 D. 正方体的棱长
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 如图，下列四幅图中，符合“射线 PA 与射线 PB 是同一
条射线”的是( C )
A B C D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. [2023·昆明八中月考]关于如图所示图形所表示的含义，下
列说法中，正确的是( C )
A. 延长射线 AB B. 延长线段 AB
C. 反向延长线段 AB D. 延长直线 BA
【点拨】
从线段的角度来看， 可以是延长线段 BA 或反向延
长线段 AB ； 从射线的角度来看， 可以是反向延长从 A
点向左发出的射线，故选C.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点3 直线及直线的基本事实
7. 下列图示中，直线表示方法正确的有( D )
A. ①②③④ B. ①②
C. ②④ D. ①④
【点拨】
直线可以用一个小写字母 a ， b ， c ，…，表示，也
可以用两个大写字母 AB ， CD ， MN ，…，表示，故①
④正确，故选D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 如图所示的几何图形与相应语言描述相符的有( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. [2024·山东临沂期末]生活中，有下列两个现象，对于这两
个现象的解释，正确的是( D )
A. 均用两点之间线段最短来解释
B. 均用经过两点有且只有一条直线来解释
C. 现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
D. 现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
易错点 对“过两点”的意义理解不透彻而致错
10. 下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画
一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画
两条射线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【点拨】
过两点只能画一条直线，可以画无数条线段，无数
条射线，故只有①正确，故选A.
其中，正确的有( A )
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用直线、射线、线段的意义改正作图语句
11. 改正下列句子的错误.
(1)如图①，在线段 AB 的延长线上取一点 C .
【解】在线段 BA 的延长线上取一点 C ，或在线段 AB
的反向延长线上取一点 C .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)如图②，延长直线 AB ，使它与直线 CD 相交于点 P .
【解】直线 AB 与直线 CD 相交于点 P .
(3)如图③，延长射线 OA ，使它与线段 BC 相交于点 D .
【解】反向延长射线 OA ，使它与线段 BC 相交于点
D .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用直线的基本性质进行计数
12. [新考法 从特殊到一般的思想] (1)试验观察
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
①如图①，经过平面上不在同一直线上的3个点中的任意
2个点，最多可以画 条直线；
②如图②，经过平面上的4个点中的任意2个点(任意3个
点不在同一直线上)，最多可以画 条直线；
③如图③，经过平面上的5个点中的任意2个点(任意3个
点不在同一直线上)，最多可以画 条直线.
3
6
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)探索归纳
如果平面上有 n ( n ≥3且 n 为整数)个点，且没有3个点
在同一条直线上，那么经过这些点中的任意2个点最
多可以画 条直线.(用含 n 的式子表示)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用线段的计数建立实际问题的模型
13. [新考法 数学建模]探究归纳题：
(1)试验分析：
如图①，直线上有 A 与 B 两点，
图中有 条线段.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)拓展延伸：
如图②，直线上有 A ， B ， C 三个点，以 A 为端点，
有线段 AB ，线段 AC ；同样以 C 为端点，有线段
CA ，线段 CB ；以 B 为端点，有线段 BA ，线段 BC ，
去除重复线段，图②中共有 条线段.用同样的方
法探究出图③中有 条线段.
3
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(3)探索归纳：
如果直线上有 n ( n ≥2，且 n 为整数)个点，那么共
有 条线段.(用含 n 的式子表示)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(4)解决问题：
公共汽车往返于 A ， B 两地之间，中途有4个停靠点
(共6个站点)，若相邻各站之间距离互不相等，则需要
多少种车票？有多少种票价？
请将这个问题转化为上述模型，并应用上述模型的结
论解决问题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【解】6个站点可对应为直线上的6个点，由(3)得共
有 ＝15(条)线段.
因为相邻各站之间距离互不相等，
所以有15种不同的票价.
因为两地之间有往、返两种车票，
所以共有15×2＝30(种)车票.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共23张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.1 生活中的立体图形
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
几种常见几何体的特征
1. 圆柱：上底和下底是两个一样大且平行的圆，侧面是一
个曲面.
棱柱：上底和下底是两个一样大且平行的多边形(边数不
限)，其余各面(侧面)都是四边形，并且每
相邻两个四边形的公共边(棱)平行.
2. 圆锥：底面是一个圆，侧面是一个曲面，顶点到底面圆
上各点距离相等.
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是只有一个公共顶
点的三角形.
知识点1 生活中常见的几何体
1. 下面几何体中，是圆锥的为( B )
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. [新考法·特征分析法 2024 重庆一中模拟]下列几何图
形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆
锥；⑥圆柱.
其中属于立体图形的是( A )
A
A. ③⑤⑥ B. ①②③
C. ③⑥ D. ④⑤
【点拨】
三角形、长方形和圆是平面图形，其他是立体图形，
故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [情境题 航空航天]如图是我国航天载人火箭的实物图，可
以看成的立体图形为( B )
A. 棱锥与棱柱的组合体
B. 圆锥与圆柱的组合体
C. 棱锥与圆柱的组合体
D. 圆锥与棱柱的组合体
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点2 常见几何体的分类
4. [母题 教材P126习题T3] 将下图中的几何体分类，柱体
有 ，锥体有 ，球体有 .(填序号)
【点拨】
根据各类几何体的外形特征去辨别，①②是柱体，④
⑤是锥体，③是球体.
①②
④⑤
③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 按柱、锥、球分类，下列几何体中与其余三个不属于同一
类几何体的是( C )
A
B
C
D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点3 柱体及其特征
6. [荣德原创]下列说法中，正确的有( B )
①柱体的两个底面是形状、大小相同的图形；
②圆柱、圆锥的底面都是圆；
③斜棱柱的两个底面的形状不一定相同；
④长方体一定是柱体；
⑤棱柱和圆柱的侧面一定是平面图形.
B
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 若一个棱柱有12个顶点，则下列说法正确的是( D )
A. 这个棱柱是十二棱柱
B. 这个棱柱有4个侧面
C. 这个棱柱的底面是八边形
D. 这个棱柱有6条侧棱
【点拨】
因为这个棱柱有12个顶点，所以上、下底面各有6个
顶点，即这个棱柱是六棱柱，有6个侧面，底面是六边
形，有6条侧棱.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. [2023·常州]若圆柱的底面半径和高均为 a ，则它的体积
是 .(用含 a 的式子表示)
π a3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
易错点 对圆柱的特征理解不透彻而出现错解
9. 下列立体图形中，属于圆柱的有( B )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
烟囱的上、下两个底面大小不同，弯管和铁管的上、
下两个底面不平行，它们三个都不符合圆柱的定义，所以
它们都不是圆柱.硬币虽然“矮胖”，但它有两个完全相
同且平行的底面，所以硬币是圆柱.故选B.
【点拨】
【答案】B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用物体的特征说明组成物体的几何体
10. [新考法 结构拆分法]指出图中各物体是由哪些立体图形
组成的.
【解】①是由正方体、圆柱、圆锥组成的.
②是由圆柱、长方体、三棱柱组成的.
③是由五棱柱、球组成的.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用几何体的特征对几何体进行分类
11. [2024·厦门十中月考]观察下图中的几何体，按要求解决
问题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(1)若把上面7个几何体分成两类：
把①③⑥⑦分为一类，是因为组成这些几何体的面
是 ；
把②④⑤分为另一类，是因为组成这些几何体的面中
有 .
(2)若把上面7个几何体分成三类(填序号)：
为第一类，都属于柱体；
为第二类，都属于锥体；
为第三类，属于球体.
平面
曲面
①②⑥⑦
③⑤
④
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(3)请自主确定一个标准，再分类.
【解】略.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用几何体的构成比较几何体的异同
12. 观察下图所给的图形，并解决下列问题：
(1)图①和图②的底面都是 ，侧面都是 .
圆
曲面
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)图①和图③都是 ；
图①的上、下底面都是 ；
图③的上、下底面都是 ；
图①和图③的底面都是 .
柱体
圆
四边形
平面
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用棱柱的特征探求棱柱中的数据规律
13. [新考法 从特殊到一般的思想]观察如图所示的几何体，
回答下列问题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(1)填写下表：
图序 几何体名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数
① 三棱柱 3 3 3 6
② 四棱柱 4 4 4 8
③ 六棱柱 6 6 6 12
3
3
3
6
4
4
4
8
6
6
6
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)根据(1)中的结果，你能得出棱柱的侧面数、侧棱数、
顶点数与棱柱底面边数之间各有什么关系吗？
【解】侧面数＝底面边数，侧棱数＝底面边数，
顶点数＝底面边数×2.
(3)根据(2)中的关系，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱
数、顶点数.
【解】二十棱柱的侧面数为20，侧棱数为20，顶点数
为40.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共26张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.3 立体图形的表面展开图
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
正方体、棱锥、棱柱展开图的基本条件：一般地，如
果某立体图形的表面展开图是由6个正方形组合而成的，那
么该立体图形是正方体；如果是由3个及3个以上的三角形
与1个多边形组合而成的，那么该立体图形为棱锥；如果是
由3个及3个以上的长方形与2个形状、大小都相同的多边形
组合而成的，那么该立体图形为棱柱.
知识点1 柱体、锥体的展开图
1. [母题 教材P139习题T5] 如图是某几何体的展开图，该
几何体是( B )
A. 长方体 B. 圆柱
C. 圆锥 D. 三棱柱
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. [2023·达州]下列图形中，是长方体表面展开图的是
( C )
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. [2023·扬州]下列图形是棱锥侧面展开图的是( D )
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. [母题 教材P137练习T3] 如图是一个多面体的表面展开
图，每个面都标注了数字，若多面体的底面是面③，则多
面体的上面是( C )
A. 面① B. 面②
C. 面⑤ D. 面⑥
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点2 正方体的展开图
5. [2024·天津南开区月考]下列展开图中，是正方体展开图的
是( C )
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. [母题 教材P138习题T3] 下列图形中，正方体展开图错
误的是( D )
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. [2023·威海]如图是一正方体的表面展开图，将其折叠成正
方体后，与顶点 K 距离最远的顶点是( D )
A. A 点 B. B 点
C. C 点 D. D 点
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. [情境题·生活应用 2023 宜昌] “争创全国文明典范城市，
让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”.如
图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体
后，“城”字对面的字是( B )
A. 文 B. 明
C. 典 D. 范
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
易错点 不能准确掌握正方体与其表面展开图的对应关系而
致错
9. 一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下
列判断正确的是( A )
A. A 代表
B. B 代表
C. C 代表
D. B 代表
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
根据正方体表面展开图的特征可知，相对的面之间一
定相隔一个正方形， A 与点数是1的面相对， B 与点数是2
的面相对， C 与点数是4的面相对.因为骰子相对两面的点
数之和为7，所以 A 代表的点数是6， B 代表的点数是5，
C 代表的点数是3.
【点拨】
【答案】A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用圆柱展开图的特征解面积、体积问题
10. [立德树人 孝敬父母]母亲节小林给妈妈买了一个圆柱形
的水杯，表面展开图的数据如图所示(结果保留π，单
位：cm).
(1)小林的妈妈想给水杯做一个布套(包住侧面)，至少用
多少平方厘米的布料(不考虑接缝)？
【解】至少用布料为π×12×22＝264π(cm2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)这个杯子最多可以盛多少立方厘米的水？
【解】这个杯子最多可以盛水为π× ×22＝792π(cm3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用正方体展开图的特征进行图案设计
11. (1) [新视角 开放题]如图，在4×4的正方形网格中，图中
涂阴影的6个小正方形，恰好是正方体的平面展开图，你
还能在空图中画出不同的展开方式吗？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【解】答案不唯一，如图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)如图①，在正方体下半部分的表面涂上油漆，在如图
②的正方体表面展开图上把涂油漆的部分涂上阴影(图
②中涂阴影部分的是正方体的下底面).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【解】如图②所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用正方体展开图相对面的特征剪图
12. 一个正方体的骰子，1和6，2和5，3和4是分别相对的面
上的点数.
(1)现在有12个正方形格子的纸上画好了点状的图案，如
图所示，若要经过折叠能做成一个骰子，你认为应剪
掉哪6个正方形格子？(请用笔在要剪掉的正方形格子
上画“×”，不必写理由)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【解】如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)我们从不同角度可以看到骰子的一个面或几个面上的
点数，最多可以有多少种不同的情况？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【解】我们从不同角度可以看到骰子一个面上的点数，共有6种不同的情况；看到骰子两个面上的点数，共有12种不同的情况；看到骰子三个面上的点数，共有8种不同的情况.所以共有26种不同的情况.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用几何体的展开图探求折叠几何体的体积
13. [新考法 实践操作法]如图，小华用若干个正方形和长方
形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小华看来看
去总觉得所拼图形似乎存在问题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余部
分，则把图中多余部分涂灰；若还缺少，则直接在原
图中补全；
【解】拼图存在问题，如图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)若图中的正方形边长为2 cm，长方形的长为3 cm，宽
为2 cm，则修正后所折叠成的长方体的容积
为 cm3.
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共14张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.4 平面图形
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
1. 从 n ( n ＞3)边形的一个顶点出发，与其不相邻的各顶点
相连结，可将一个 n 边形分成( n －2)个三角形.
2. 在 n 边形内任取一点，并把这个点与各顶点相连结，可
将一个 n 边形分成 n 个三角形.
3. 在 n 边形的一边上任取一点(端点除外)，将该点与除这边
上的两个端点外的各顶点相连结，可将一个 n 边形分成
( n －1)个三角形.
知识点1 平面图形
1. 下面几种几何图形中，属于平面图形的是( A )
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；
⑥圆柱.
A. ①②④ B. ①③⑤
C. ②③⑥ D. ④⑤⑥
【点拨】
三角形、长方形和圆都在同一个平面内，属于平面图
形；正方体、四棱锥和圆柱的各部分不都在同一平面内，
属于立体图形.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. [新考向 数学文化]如图甲，用边长为4的正方形做了一个
七巧板，拼成如图乙所示的一座桥，则桥中阴影部分的面
积是( B )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
知识点2 多边形
3. 下列图形中，属于多边形的是( C )
A. 线段 B. 角
C. 六边形 D. 圆
4. 下列图形中，不是多边形的是( C )
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
知识点3 多边形的分割
5. 长方形剪去一个角后所得的图形一定不是( A )
A. 长方形 B. 梯形
C. 五边形 D. 三角形
【点拨】
如图所示.
A
可知长方形剪去一个角后所得的图形可能是梯形、五
边形、三角形，不可能是长方形，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 已知一个多边形从一个顶点出发，分别连结这个点和其余
与之不相邻的各个顶点，得到5个三角形，那么这个多边
形是( C )
A. 五边形 B. 六边形
C. 七边形 D. 八边形
【点拨】
连结 n 边形的一个顶点与其不相邻的各顶点，可将 n
边形分成( n －2)个三角形，由题意知 n －2＝5，则 n ＝7.
故选C.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
易错点 考虑问题不全而致错
7. [2024·广州越秀区月考]把一个多边形纸片沿一条直线截下
一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数
不可能是( D )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
利用转化法求多边形面积
8. [新考法 分割法]现有如图的一块不规则的四边形土地，某
人要测量它的面积，他已测得 AB ＝50 m， BC ＝70 m，
CD ＝10 m， AD ＝50 m，∠ A ＝∠ C ＝90°.那么这块四
边形土地的面积是多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
【解】连结 BD ，可将四边形 ABCD 分割成两个直角三角
形，因而四边形的面积就是这两个直角三角形面积的和.
所以四边形的面积为 × AB × AD ＋ × BC × CD ＝
×50×50＋ ×70×10＝1 600(m2).
答：这块四边形土地的面积是1 600 m2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
利用分割法探求三角形的个数与多边形边数的
关系
9. [母题 教材P144习题T3] 如图，用三种方法分割五边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1)三种分割方法将多边形分成的三角形的个数与多边形
的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？
【解】有关系.图①中，三角形的个数＝多边形的边数
－2；图②中，三角形的个数＝多边形的边数；图③
中，三角形的个数＝多边形的边数－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(2)请分别写出用上述三种方法分割一个 n 边形所得三角形
的个数.
【解】分割一个 n 边形所得三角形的个数依次为 n －
2， n ， n －1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9(共22张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.2 立体图形的视图
2.由视图到立体图形
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
由三视图还原几何体的两种思维模式：一是从三个平
面图形出发，运用空间想象力直接得出几何体；二是逆向
从常见几何体的三视图是否是题中给出的平面图形出发，
得出答案.
知识点1 由三视图还原几何体
1. [母题·教材P133例3 2023 湖州]已知某几何体的三视图如
图所示，则该几何体可能是( D )
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(第1题)
A
B
C
D
2. [2023·广州]一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几
何体可能是( D )
(第2题)
D
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是( D )
A. 三棱柱 B. 圆柱
C. 三棱锥 D. 圆锥
(第3题)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. [2023·安徽]某几何体的三视图如图所示，则该几何体为
( B )
(第4题)
B
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. [2023·苏州]今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小
礼物.已知礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外
包装不可能是( D )
A. 长方体 B. 正方体
C. 圆柱 D. 三棱锥
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. [2024·北京四中月考]几个大小相同的小正方体搭成几何体
的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示对应位置小正
方体的个数，该几何体的主视图是( D )
A
B
C
D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点2 几何体三视图的相关计算
7. [2023·黄石]如图，根据三视图，它是由( B )个正方体
组合而成的几何体.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
(第7题)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. [2023·济宁]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的表面积是( B )
A. 39π B. 45π
C. 48π D. 54π
(第8题)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
易错点 考虑不全而漏解
9. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左
视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最
多是( B )
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用三视图判断几何体的个数
10. [2023·河北]如图①，一个2×2的平台上已经放了一个棱
长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图
如图②，平台上至少还需再放这样的正方体( B )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. [新考法 空间想象法]从前面、左面和上面看一个几何
体，所得到的图形如图所示，回答下列问题：
(1)该几何体最高有几层？
【解】该几何体最高有2层.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)该几何体共需要多少个小正方体？
【解】该几何体共需要8个小正方体.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用三视图求几何体的体积
12. 如图，这是一个几何体的主视图和俯视图，求该几何体
的体积.(π取3.14)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【解】该几何体由圆柱和长方体组成，所以它的体积就
是长方体的体积加圆柱的体积.
由题意，得长方体的体积为30×25×40＝30 000(cm3)，
圆柱的体积为π× ×32≈10 048(cm3)，
所以该几何体的体积约为30 000＋10 048＝40 048(cm3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用三视图探求几何体的表面积
13. 如图，一个几何体的三视图分别是两个长方形、一个扇
形，求这个几何体的表面积.(结果保留π)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【解】由几何体的三视图，得该几何体的表面是由3个
长方形与2个扇形围成的，其侧面积为3×( ×2π×2＋2
＋2)＝9π＋12，
上、下底面面积为2× ×π×22＝6π，
故这个几何体的表面积为9π＋12＋6π＝15π＋12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用三视图探求物体的高度
14. [新考法 从特殊到一般的思想]学校食堂厨房的桌子上整
齐地摆放着若干个相同规格的碟子，一摞碟子的个数与
累积高度的关系如表所示.
碟子个数 累积高度/cm
1 2
2 2＋1.5
3 2＋3
4 2＋4.5
… …
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)当一摞碟子有 x 个时，请写出此时的累积高度(用含 x
的式子表示)；
【解】由表可知，每增加一个碟子，高度增加
1.5 cm，所以当一摞碟子有 x 个时，此时的累积高
度为2＋1.5( x －1)＝(1.5 x ＋0.5)cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)桌子上有一些碟子，如图分别是从前面、左面和上面
看到的形状图，厨房师傅想把这些碟子全部叠成一
摞，求叠成一摞后的累积高度.
【解】由题图可知，共有3摞，左前一摞有4个，左后一摞有5个，右边一摞有3个，所以共有3＋4＋5＝12(个).所以叠成一摞后的高度为1.5×12＋0.5＝
18.5(cm).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14(共27张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.5 最基本的图形——点和线
2.线段的长短比较
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
计算线段长度的技巧
1. 逐段计算法：即欲求线段 a ＋ b 的长，先求 a ，再求 b ，
然后计算 a ＋ b .
2. 整体求值法：当根据已知条件无法进行逐段计算或逐段
计算比较烦琐时，应考虑运用整体思想求值.
3. 设元求值法：当问题中出现线段的比例关系时，常根据
图形特点和已知条件，选择一个量设为未知数，建立方
程求解.
知识点1 线段的长短比较和尺规作图
1. 尺规作图的工具是( D )
A. 刻度尺和圆规 B. 三角尺和圆规
C. 直尺和圆规 D. 没有刻度的直尺和圆规
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 如图，比较线段 a 和线段 b 的长度，结果正确的是( B )
A. a ＞ b B. a ＜ b
C. a ＝ b D. 无法比较
(第2题)
【点拨】
由题图可知，线段 a 长3.5 cm，线段 b 长4 cm，所以
a ＜ b ，故选B.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 如图，用圆规比较两条线段 AB 和A'B'的长短，其中正确
的是( C )
A. A ' B '＞ AB B. A ' B '＝ AB
C. A ' B '＜ AB D. 没有刻度尺，无法确定
(第3题)
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点2 线段的和差
4. [母题 教材P150练习T1] 如图，下列关系式中与图不符
合的是( C )
A. AD － CD ＝ AB ＋ BC
B. AC － BC ＝ AD － BD
C. AC － BC ＝ AC ＋ BD
D. AD － AC ＝ BD － BC
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. [2024·长沙北雅中学期末]已知点 C ， D 在线段 AB 上，且
AC ＝ BD ＝1.5，若 AB ＝7，则 CD 的长为 .
【点拨】
如图，点 C ， D 在线段 AB 上，因为 AC ＝ BD ＝
1.5， AB ＝7，所以 CD ＝ AB － AC － BD ＝7－1.5－1.5
＝4.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
知识点3 线段的中点
6. 把一条线段分成两条 的线段的点，叫做这条线段
的中点.
若点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM ＝ ＝
，或 AB ＝2 ＝2 .
相等
BM
AB
AM
BM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. [情景题 过程性学习]如图是投影屏上出示的抢答题，需要
回答横线上符号代表的内容，下列回答不正确的是( D )
如图，点 C 在线段 MN 上，且 MC ∶ CN ＝5∶4， MN ＝36， P 是 MN 的中点，求 PC 的长.
解：因为 MN ＝36， MC ∶ CN ＝5∶4，
所以 MC ＝ ※＝20.
又因为 P 是 MN 的中点，
所以 MP ＝☆ MN ＝▲.
所以 PC ＝ MC －◎＝2.
D
A. ※代表 MN B. ☆代表
C. ▲代表18 D. ◎代表 CN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. [母题 教材P150练习T2] 如图，线段 AB ＝6， BC ＝4，
D 是 AB 的中点，则线段 CD 的长为( C )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
易错点 考虑问题不全面导致漏解
9. [新考法 分类讨论法]已知线段 AB ＝4，在直线 AB 上作线
段 BC ，使得 BC ＝2，若 D 是线段 AC 的中点，则线段 AD
的长为( C )
A. 1 B. 3
C. 1或3 D. 2或3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
①如图①.
因为 AB ＝4， BC ＝2，所以 AC ＝ AB － BC ＝2.
因为 D 是线段 AC 的中点，
所以 AD ＝ AC ＝ ×2＝1；
【点拨】
根据题意分两种情况.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
②如图②.
因为 AB ＝4， BC ＝2，所以 AC ＝ AB ＋ BC ＝6.
因为 D 是线段 AC 的中点，
所以 AD ＝ AC ＝ ×6＝3.
综上，线段 AD 的长为1或3.
【答案】C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用线段关系求线段的长
10. 线段 AB ＝2 cm，延长 AB 至 C ，使 AC ＝2 AB ，反向延
长 AB 至 E ，使 AE ＝ CE .
(1)求线段 CE 的长.
【解】线段 CE 的长为6 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)线段 AC 是线段 CE 的几分之几？
【解】因为 AC ＝4 cm， CE ＝6 cm，所以 ＝ ＝ ，
即线段 AC 是线段 CE 的 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(3)线段 CE 是线段 BC 的几倍？
【解】因为 BC ＝ AC － AB ＝4－2＝2(cm)， CE ＝
6 cm，所以 CE ＝3 BC ，即线段 CE 是线段 BC 的3倍.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用线段中点的意义求线段长
11. 如图，已知点 A ， B ， C ， D ， E 在同一直线上，且 AC
＝ BD ，点 E 是线段 BC 的中点.
(1) E 是线段 AD 的中点吗？说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【解】点 E 是线段 AD 的中点.
理由：因为 AC ＝ BD ，
所以 AB ＋ BC ＝ BC ＋ CD . 所以 AB ＝ CD .
因为点 E 是线段 BC 的中点，
所以 BE ＝ EC .
所以 AB ＋ BE ＝ CD ＋ EC ，
即 AE ＝ ED .
所以点 E 是线段 AD 的中点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)当 AD ＝10， AB ＝3时，求线段 BE 的长度.
【解】因为 AD ＝10，点 E 是线段 AD 的中点，
所以 AE ＝ AD ＝ ×10＝5.
因为 AB ＝3，所以 BE ＝ AE － AB ＝5－3＝2.
即线段 BE 的长度为2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用线段的和差探求动点线段
12. [新考法 数形结合法]如图， M 是线段 AB 上一点， AB ＝
10 cm， C ， D 两点分别从 M ， B 两点同时出发以1
cm/s，3 cm/s的速度沿直线 BA 向左运动.( C 在线段 AM
上， D 在线段 BM 上)
(1)当点 C ， D 运动了1 s时，这时图中有 条线段；
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)当点 C ， D 运动了2 s时，求 AC ＋ MD 的值；
【解】当点 C ， D 运动了2 s时， CM ＝2 cm， BD ＝6 cm.因为 AB ＝10 cm，所以 AC ＋ MD ＝ AB － CM
－ BD ＝10－2－6＝2(cm).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(3)若点 C ， D 运动时，总有 MD ＝3 AC ，求 AM 的长.
【解】因为 C ， D 两点的速度分别为1 cm/s，3 cm/s，
所以 BD ＝3 CM . 又因为 MD ＝3 AC ，
所以 BD ＋ MD ＝3 CM ＋3 AC ，即 BM ＝3 AM .
所以 AM ＝ AB ＝2.5 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
利用线段的中点探求线段长
13. [新考法 整体求值法] (1)如图，线段 AB ＝4，点 O
是线段 AB 上一点， C ， D 分别是线段 OA ， OB 的
中点，小明据此很轻松地求得 CD ＝2.你知道小明是
怎样求出来的吗？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【解】因为 C ， D 分别是线段 OA ， OB 的中点，所以 OC ＝ OA ， OD ＝ OB . 所以 CD ＝ OC ＋ OD ＝ OA ＋ OB ＝ ( OA ＋ OB ).因为 OA ＋ OB ＝ AB ＝4，所以 CD ＝ AB ＝ ×4＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)小明在思考过程中突发奇想：当点 O 运动到线段 AB
的延长线上时，原有的结论“ CD ＝2”是否仍然成
立？请帮小明画出图形并说明理由.
【解】仍然成立，如答图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
因为 C ， D 分别是线段 OA ， OB 的中点，所以
OC ＝ OA ， OD ＝ OB . 因为 CD ＝ OC － OD ，
所以 CD ＝ OA － OB ＝ ( OA － OB ).
因为 OA － OB ＝ AB ＝4，所以 CD ＝ AB ＝
×4＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共23张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.6 角
1.角
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
角的表示方法的三种原则： 1.用三个字母表示角时，顶点
字母必须写在中间.
2. 用一个字母表示角时，顶点处必须只有一个角.
3. 用数字或希腊字母表示角时，必须在相应角的内部加弧
线及数字或希腊字母.
知识点1 角及有关角的定义
1. 下列说法中，正确的是( B )
A. 两条射线所组成的图形叫做角
B. 角的大小与所画的角的两边的长短无关
C. 角的两边是两条线段
D. 角的两边是两条直线
【点拨】
角是由同一个点发出的两条射线组成的， 角的大小
与所画角的两边的长短无关， 所以B正确.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 已知， O 为直线 AB 上的一点，画出射线 OC (如图①)，则
图中有 个角(除平角外)；再画出射线 OD (如图②)，
则图中有 个角(除平角外)；再画出射线 OE (如图
③)，则图中有 个角(除平角外).
2
5
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点2 角的表示方法
3. [2024·河南商丘期末]如图，下列各个图形中，能用∠1，
∠ AOB ，∠ O 三种方法表示同一角的图形是( B )
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 下列对于图形的描述中，正确的有( B )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点3 角的度量
5. [2023·临沂]如图中用量角器测得∠ ABC 的度数是( C )
A. 50° B. 80°
C. 130° D. 150°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 下面等式中，角度互化成立的是( D )
A. 83.5°＝83°5'
B. 37°12'36″＝37.48°
C. 24°24'24″＝24.44°
D. 41.25°＝41°15'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于C，24″＝0.4'，24.4'≈0.41°，所以
24°24'24″≈24.41°，错误；
对于D，0.25°＝15'，所以41.25°＝41°15'，
正确.
【点拨】
对于A，0.5°＝30'，所以83.5°＝83°30'，错误；
对于B，36″＝0.6'，12.6'＝0.21°，所以37°12'36″
＝37.21°，错误；
【答案】D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 计算：109°28'－70°31'＝ .
38°57'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点4 方向角与钟面角
8. [立德树人·爱国主义 2023 河北]淇淇一家要到革命圣地西
柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，
则淇淇家位于西柏坡的( D )
D
A. 南偏西70°方向
B. 南偏东20°方向
C. 北偏西20°方向
D. 北偏东70°方向
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. [新考法 分类讨论法]当分针指向12，时针这时恰好与分针
成120°的角，此时是( D )
A. 9点钟 B. 8点钟
C. 4点钟 D. 8点钟或4点钟
【点拨】
当分针指向12，与时针的夹角为120°时，有如图两
种情况，此时是8点钟或4点钟，故选D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与
分针的夹角是( C )
A. 75° B. 90°
C. 105° D. 120°
【点拨】
当时间是9点30分时，时钟如图所示，此时时针与分
针的夹角为90°＋15°＝105°，故选C.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
易错点 度、分、秒转化时，误按十进制进行换算
11. (1)把26.19°转化为用度、分、秒表示
为 ；
(2)把33°14'24″转化为用度表示为 .
26°11'24″
33.24°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用角的定义及度量画符合条件的角
12. 根据下列语句画图：
(1)画∠ AOB ＝100°；
(2)在∠ AOB 的内部画射线 OC ，使∠ BOC ＝50°；
(3)在∠ AOB 的外部画射线 OD ，使∠ DOA ＝40°；
(4)在射线 OD 上取点 E ，在射线 OA 上取点 F ，使
∠ OEF ＝90°.
【解】如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用角度解决实际问题
13. [2024·长沙明德中学模拟]魏老师去市场买菜，他发现把5
kg的菜放到秤上，指针盘上的指针转了180°.
(1)如果把0.5 kg的菜放到秤上，求指针转过的角度.
【解】 ×0.5＝18°.
所以把0.5 kg的菜放到秤上，指针转过的角度是18°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)如果指针转了270°，那么这些菜有多少千克？
【解】270°÷ ＝7.5(kg).
答：这些菜有7.5 kg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用钟面上角的特征探求时针与分针夹角的度
数
14. [新视角·项目探究题]综合与实践：
【问题提出】随着时间的变化，钟面上时针和分针形成
夹角的度数也随之变化，记旋转中心为点 O ，时针和分
针的夹角为∠α(∠α大于或等于0°，且小于或等于
180°).我们可以求出任意时刻∠α的度数吗？
【初步探究】小明所在的兴趣小组开展研究如下.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
分针运动规律 分针每分钟走6°
时针运动规律 时针每小时走30°，即每分钟走0.5°
规定 当时针和分针指向刻度12时记为0°
特例探究1 (8时50分) 分针绕点 O 旋转所得角的度数是6°×50
＝300°，时针绕点 O 旋转所得角的度数
是30°×8＋0.5°×50＝265°，所以
∠α＝300°－265°＝35°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
特例探究2 (8时30分) 分针绕点 O 旋转所得角的度数是6°×30
＝180°，时针绕点 O 旋转所得角的度数
是30°×8＋0.5°×30＝255°，所以
∠α＝255°－180°＝75°
特例探究3 (8时10分) 分针绕点 O 旋转所得角的度数是6°×10
＝60°，时针绕点 O 旋转所得角的度数
是30°×8＋0.5°×10＝245°，此时
245°－60°＝185°.因为185°＞
180°，所以∠α＝360°－185°＝175°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【深入探究】
(1)当时间为7时30分时，∠α的度数为 ；
【点拨】
分针绕点 O 旋转所得角的度数是6°×30＝180°，时
针绕点 O 旋转所得角的度数是30°×7＋0.5°×30＝
225°，所以∠α＝225°－180°＝45°.
45°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)王老师7时整从家中出门散步，当她返回家中时还不到8
时，此时她发现时针与分针形成的夹角正好是直角，求王
老师外出散步用了多少分钟？
【解】设王老师外出散步用了 x 分钟，
则 ＝90，
解得 x ＝ 或 .
所以王老师外出散步用了 或 分钟.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14(共26张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.6 角
3.余角和补角
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
余角、补角的理解要点
1. 互余和互补是指两个角的数量关系，而不是多个角之间
的关系.
2. 互余、互补的两个角，只与它们的数量(和)有关，与它
们的位置无关.
知识点1 余角和补角的定义
1. [新趋势·跨学科 2024 扬州期末]冬至是地球赤道以北地区
白昼最短、黑夜最长的一天，在民间有“冬至大如年”的
说法.某地冬至日正午太阳高度角是32°24'，则32°24'的
余角为 .
57°36'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的
度数是( C )
A. 50° B. 70°
C. 130° D. 160°
【点拨】
设这个角的度数是 x °.
根据题意，得 x ＝2(180－ x )＋30，
解得 x ＝130，即这个角的度数是130°.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. [2024·广州越秀区月考]将一副三角尺按下列位置摆放，使
∠α和∠β互余的摆放方式是( A )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
对于A. ∠α＋∠β＝180°－90°＝90°，∠α与∠β互
余；对于B. 同角的余角相等，则∠α＝∠β，但∠α与∠β
不一定互余；对于C. ∠α＝∠β＝180°－45°＝135°，
∠α与∠β不互余；对于D. ∠α＋∠β＝180°，∠α与∠β
不互余，故选A.
【点拨】
【答案】A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
知识点2 余角和补角的性质
4. 如图，直线 AB ， CD 交于点 O ，因为∠1＋∠3＝180°，
∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.此判断的依据是
( C )
A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等
C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等
(第4题)
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 如图，点 C ， O ， B 在同一条直线上，∠ AOB ＝90°，
∠1＝∠2，则下列结论：①∠ EOD ＝90°；②∠3＝
∠4；③∠2＝∠3；④∠2＋∠3＝90°.其中正确的有
( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
(第5题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
【点拨】
因为∠ AOB ＝90°，所以∠2＋∠4＝90°，又因为
∠1＝∠2，所以∠1＋∠4＝∠ EOD ＝90°，故①正确；
因为∠ AOC ＝180°－∠ AOB ＝90°，所以∠1＋∠3＝
90°.所以∠3＝∠4，故②正确；因为∠ EOD ＝90°，所
以∠2＋∠3＝180°－90°＝90°，∠2与∠3不一不相
等，故③错误，④正确.综上，正确的有3个，故选C.
【答案】C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. [2023·衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方
便测出 Cobb 角∠ O 的大小，需将∠ O 转化为与它相等的
角，则图中与∠ O 相等的角是( B )
A. ∠ BEA B. ∠ DEB
C. ∠ ECA D. ∠ ADO
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 如图，∠ AOB ＝120°， OF 平分∠ AOB ，2∠1＝∠2.
(1)∠1与∠2互余吗？试说明理由.
【解】∠1与∠2互余.理由如下：
因为∠ AOB ＝120°， OF 平分∠ AOB ，
所以∠2＝ ∠ AOB ＝60°.
因为2∠1＝∠2，所以∠1＝30°.
所以∠1＋∠2＝90°，即∠1与∠2互余.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)∠2与∠ AOB 互补吗？试说明理由.
【解】∠2与∠ AOB 互补.理由如下：
因为∠2＋∠ AOB ＝60°＋120°＝180°，
所以∠2与∠ AOB 互补.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
易错点 对余角和补角的定义理解不透彻而致错
8. 下列说法中，正确的有 .(填序号)
①钝角与锐角互补；
②∠α的余角是90°－∠α；
③∠β的补角是180°－∠β；
④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余.
②③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
利用余角、补角的定义找图中互为余角、补角
的角
9. 如图，点 A ， O ， B 在同一条直线上，∠ AOD ＝∠ BOD
＝∠ EOC ＝90°，∠ BOC ∶∠ AOE ＝3∶1.
(1)求∠ COD 的度数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
【解】由点 A ， O ， B 在同一条直线
上得∠ AOB ＝180°.
因为∠ EOC ＝90°，
所以∠ AOE ＋∠ BOC ＝180°－90°＝90°.
又因为∠ BOC ∶∠ AOE ＝3∶1，
所以∠ BOC ＝90°× ＝67.5°.所以∠ COD ＝∠ BOD －∠ BOC ＝90°－67.5°＝22.5°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)图中有哪几对角互为余角？
【解】∠ AOE 与∠ DOE ，∠ AOE 与
∠ BOC ，∠ DOE 与∠ DOC ，∠ DOC
与∠ BOC ，这4对角互为余角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(3)图中有哪几对角互为补角？
【解】∠ AOE 与∠ EOB ，∠ AOD 与
∠ DOB ，∠ AOC 与∠ BOC ，∠ EOD
与∠ AOC ，∠ DOC 与∠ EOB ，∠
AOD 与∠ EOC ，∠ BOD 与∠ EOC ，
这7对角互为补角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
利用角的运算探求折叠中角的关系
10. [新考法 折叠法]如图，把一张长方形纸片的一角任意折
向长方形内，使点 B 落在点B'的位置，折痕为 EF ；再沿
GF 折叠，使点 C 落在点C'的位置，点 D 落在D'的位置，
如果C'F与FB'在同一条直线上.
(1)分别写出∠1与∠ CFE 、∠2与∠ BFG 之间所满足的
数量关系.
【解】∠1＋∠ CFE ＝180°，∠2＋∠ BFG ＝180°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)写出∠1与∠2之间的数量关系.
【解】∠1＝90°－∠2.(或∠1＋∠2
＝90°或∠2＝90°－∠1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(3)∠ EFG 是什么角？
【解】∠ EFG 是直角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
利用角互余、互补关系探究角的关系
11. [新考法 探究比较法]如图①，∠ AOB ＝∠ COD ＝90°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(1)若∠ BOC ＝2∠ AOC ，求∠ BOC 的大小.
【解】因为∠ AOB ＝90°，
所以∠ BOC ＋∠ AOC ＝90°.
因为∠ BOC ＝2∠ AOC ，所以∠ BOC ＝60°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(2)试探究∠ BOC 与∠ AOD 之间的数量关系.
【解】因为∠ COD ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ COD ＋∠ AOC ＝90°＋∠ AOC .
因为∠ AOB ＝90°，
所以∠ BOC ＋∠ AOC ＝90°.
所以∠ BOC ＋∠ AOD ＝∠ BOC ＋90°＋∠ AOC ＝
90°＋90°＝180°，
即∠ BOC ＋∠ AOD ＝180°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(3)若把图①中∠ AOB 绕点 O 旋转到图②的位置，(2)中
∠ BOC 与∠ AOD 之间的数量关系还成立吗？试说明
理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
【解】成立.理由：因为∠ AOB ＝∠ COD ＝90°，
所以∠ AOB ＋∠ COD ＝180°.
因为∠ BOC ＋∠ AOD ＋∠ AOB ＋∠ COD ＝360°，
所以∠ BOC ＋∠ AOD ＝180°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11(共29张PPT)
华师版 七年级上
第3章 图形的初步认识
3.6 角
2.角的比较和运算
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
1. 角的大小可以从数、形两个角度进行比较：(1)数的角
度：角的大小和角的度数大小一致，比较其度数可得角
的大小.(2)形的角度：角的开口越大，角越大.可以通过
观察比较角的开口大小，但不够精准，一般利用叠合法
比较.
2. 与角平分线有关的计算：若 OC 平分∠ AOB ，则有
∠ AOB ＝2∠ AOC ＝2∠ BOC ，∠ AOC ＝∠ BOC ＝
∠ AOB .
知识点1 角的比较
1. 在∠ AOB 的内部任取一点 C ，作射线 OC ，那么有
( D )
A. ∠ AOC ＝∠ BOC B. ∠ AOC ＞∠ BOC
C. ∠ BOC ＞∠ AOB D. ∠ AOB ＞∠ AOC
【点拨】
如图，可知∠ AOB ＞∠ AOC ，∠ AOB ＞∠ BOC ，
但∠ BOC 与∠ AOC 的大小关系确定不了，故选D.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 若∠1＝40.4°，∠2＝40°4'，则∠1与∠2的关系是
( B )
A. ∠1＝∠2 B. ∠1＞∠2
C. ∠1＜∠2 D. 不能确定
【点拨】
因为0.4°＝24'，所以40.4°＝40°24'.所以∠1＞
∠2，故选B.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点2 角的和差
3. [母题 教材P167复习题T7] 按图填空：
(第3题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)∠ AOB ＝∠ AOD ＋ ＝ ＋
∠ BOC ；
(2)∠ BOD －∠ BOC ＝ .
∠ BOD
∠ AOC
∠ DOC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. [2024·北京四中月考]如图，点 O 在直线 AB 上， OC ⊥ OD
(即∠ COD ＝90°).若∠ AOC ＝120°，则∠ BOD 的大小
为( A )
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
(第4题)
A
【点拨】
因为∠ AOC ＝120°，∠ AOB ＝180°，所以∠ COB
＝180°－120°＝60°.因为∠ COD ＝90°，所以∠
BOD ＝90°－60°＝30°，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点3 角的平分线
5. [新考法 定义辨析法]如图， AM 为∠ BAC 的平分线，下
列等式中，错误的是( C )
A. ∠ BAC ＝∠ BAM
B. ∠ BAM ＝∠ CAM
C. ∠ BAM ＝2∠ CAM
D. 2∠ CAM ＝∠ BAC
(第5题)
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. [2023·乐山]如图，点 O 在直线 AB 上， OD 是∠ BOC 的平
分线，若∠ AOC ＝140°，则∠ BOD 的度数为 .
(第6题)
20°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点4 角的运算
7. 如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ BOD ，若
∠COB ＝35°，则∠ AOD 等于( C )
A. 35° B. 70°
C. 110° D. 145°
(第7题)
C
【点拨】
因为 OC 平分∠ BOD ，所以∠ BOD ＝2∠ COB ＝
2×35°＝70°.所以∠ AOD ＝180°－70°＝110°，故
选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 如图， OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ COE 的平分
线，若∠ AOB ＝40°，∠ COE ＝60°，则∠ BOD 的度
数为( D )
A. 50° B. 60°
C. 65° D. 70°
(第8题)
D
【点拨】
因为 OB 是∠ AOC 的平分线，所以∠ BOC ＝∠ AOB
＝40°.因为 OD 是∠ COE 的平分线，所以∠ COD ＝
∠ DOE ＝60°÷2＝30°.所以∠ BOD ＝∠ BOC ＋∠ COD
＝40°＋30°＝70°，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. [新考法 方程思想]如图，已知∠ AOC ∶∠ AOB ＝1∶5，
OD 平分∠ AOB ，且∠ COD ＝36°，求∠ AOB 的度数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【解】设∠ AOC ＝ x °，则∠ AOB ＝5 x °.
因为 OD 平分∠ AOB ，所以∠ BOD ＝∠ AOD ＝ ∠ AOB
＝ x °.
由∠ COD ＝∠ AOD －∠ AOC ＝36°，得 x － x ＝36，
即 x ＝36，得 x ＝24.所以∠ AOC ＝24°.所以∠ AOB ＝
120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
易错点 对没有给出图形的题目考虑不全而致漏解
10. [新考法 分类讨论思想]已知∠ AOB ＝70°，以 O 为端点
作射线 OC ，使∠ AOC ＝42°，则∠ BOC 的度数为
( C )
A. 28° B. 112°
C. 28°或112° D. 68°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
当射线 OC 在∠ AOB 内部时，∠ BOC ＝∠ AOB －
∠ AOC ＝70°－42°＝28°；
当射线 OC 在∠ AOB 外部时，∠ BOC ＝∠ AOB ＋
∠ AOC ＝70°＋42°＝112°.
综上，∠ BOC 的度数为28°或112°.
【点拨】
【答案】C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用角的大小比较方法比较角的大小
11. 比较两个角的大小，有以下两种方法：
①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则度数大
的角大；
②构造图形，若一个角包含另一个角，则这个角大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于如图给定的∠ ABC 与∠ DEF ，用以上两种方法分
别比较它们的大小.
【解】第一种方法略.
第二种方法如图所示.
故∠ DEF 大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用角平分线的定义说明角的平分线
12. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠2－∠1＝15°，
∠3＝130°.
(1)求∠2的度数；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【解】因为∠3＝130°，∠1＋∠3＝180°，
所以∠1＝180°－∠3＝50°.
因为∠2－∠1＝15°，所以∠2＝15°＋∠1＝65°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)试说明 OE 平分∠ COB .
【解】因为∠1＝50°，∠2＝65°，
∠1＋∠ COE ＋∠2＝180°，
所以∠ COE ＝65°.所以∠ COE ＝∠2.
所以 OE 平分∠ COB .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用整体思想求角的度数
13. [2024·长沙明德中学模拟]如图， O 是直线 AB 上一点，
OM 平分∠ AOC ， ON 平分∠ BOC .
(1)你能求出∠ MON 的度数吗？你能得出什么结论？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【解】由角平分线的定义可知∠MOC ＝ ∠ AOC ，
∠ NOC ＝ ∠ BOC .
再由题图中角的关系得∠ MON ＝∠ MOC ＋∠ NOC ，
所以∠ MON ＝ ∠ AOC ＋ ∠ BOC ＝ (∠ AOC ＋
∠ BOC )＝ ×180°＝90°.
结论：∠ MON 的度数恒为90°，和射线 OC 的位置无
关.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)如果∠ AOM ＝51°17'，求∠ BON 的度数.
【解】∠ BON ＝∠ AOB －∠ AOM －∠ MON ＝180°－51°17'－90°＝38°43'.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
利用类比法探求角的关系
14. [新考法 类比推理法]]如图①，已知线段 AB ＝30 cm，
CD ＝4 cm，线段 CD 在线段 AB 上运动， E ， F 分别是
AC ， BD 的中点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)若 AC ＝8 cm，则 EF ＝ cm；
(2)当线段 CD 在线段 AB 上运动时，试判断 EF 的长度是
否发生变化？如果不变请求出 EF 的长度；如果变
化，请说明理由.
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【解】 EF 的长度不变.
因为 E ， F 分别是 AC ， BD 的中点，
所以 EC ＝ AC ， DF ＝ DB . 所以 EF ＝ EC ＋ CD
＋ DF ＝ AC ＋ CD ＋ BD ＝ ( AC ＋ BD )＋ CD ＝
( AB － CD )＋ CD ＝ ( AB ＋ CD )＝17 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知
∠ COD 在∠ AOB 内部转动， OE ， OF 分别平分
∠ AOC 和∠ BOD ，则∠ EOF ，∠ AOB 和∠ COD
之间有何数量关系？请给出理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
【解】∠ EOF ＝ (∠ AOB ＋∠ COD ).
理由：因为 OE ， OF 分别平分∠ AOC 和∠ BOD ，
所以∠ COE ＝ ∠ AOC ，∠ DOF ＝ ∠ BOD .
所以∠ EOF ＝∠ COE ＋∠ COD ＋∠ DOF
＝ ∠ AOC ＋∠ COD ＋ ∠ BOD
＝ (∠ AOC ＋∠ BOD )＋∠ COD
＝ (∠ AOB －∠ COD )＋∠ COD
＝ (∠ AOB ＋∠ COD ).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
