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（沪科版）八年级
上
12.3一次函数与二元一次方程
一次函数
第12章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系;
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解;
3.通过学生思考方程与图象之间的关系的过程，培养学生初步的数形结合的意识和能力;
4.经历了自主探究方程与图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的兴趣.
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系:
一次函数y= kx+b
中y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y= kx+b与
x 轴交点的横坐标．
从“函数图象”看
新知导入
一次函数与一元一次不等式的关系:
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“函数图象”看
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
新知导入
前面，我们研究了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系． 虽然利用函数图象来解方程或不等式未必简便，但是，这种形数结合的思想方法，对于学习数学是极为重要的．
下面，我们来研究一次函数与二元一次方程的联系.
新知讲解
我们知道，二元一次方程 3x ＋2y ＝ 6 可以转化成一次函
数的形式：y＝ － x＋3
新知讲解
任务一：一次函数与二元一次方程的关系
对于这个函数，任意给出自变量 ｘ 的一些值，可以求得
对应的 ｙ 值，列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 …
表中每一对x，y的值代入方程3x＋ 2y＝6 都成立，所以每组有序数对都是方程3x＋2y ＝ 6的解． 可见，二元一次方程3x ＋2y ＝ 6 有无数多组解，解的全体叫做二元一次方程的解集． 以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图，得到一条直线，这条直线就是一次函数y=－ x+3的图象．
新知讲解
一次函数与二元一次方程的关系：
一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k≠ 0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
新知讲解
例1 （1）在平面直角坐标系中画直线 l1： 与直线
l2：y=2x+6 的图象；
（2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（____，____）；
x
-6 -4 -2 2 4 6
y
6
4
2
-2
-4
-6
O
-2
2
l2：y=2x+6
任务二：一元二次方程组的图象解法
新知讲解
（3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？
x+2y=2
2x-y=-6
解：方程x+2y=2可以转化成 的形式，因此，直线l1：
上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解；
同理，直线 l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解，所以直线 l1与 l2的交点P是方程组的解.
x
-6 -4 -2 2 4 6
y
6
4
2
-2
-4
-6
O
l2：y=2x+6
p
新知讲解
一次函数与二元一次方程组的关系
求二元一次方程组的解.
从“函数值”看
自变量为何值时，
两个函数的值相
等并求函数值.
从“函数图象”看
确定两条直线交点的坐标.
求二元一次方程组的解.
数形结合
新知讲解
二元一次方程组的图象解法：
用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系.
新知讲解
运用图象法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程化成函数
②画出函数图象
③找出图象交点坐标
④写出方程组的解
新知讲解
例2 利用函数图象解方程组：
5x-2y=4 ①
10x-4y=8 ②
解：对于方程①，有
x 0 2
y -2 3
过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l： .
x
-4 -2 2 4
y
4
2
-2
-4
O
A
B
同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上.如图，就是说，这两条直线重合． 显然，直线 ｌ 上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解．
新知讲解
例3 利用函数图象解方程组：
3x+2y=-2
6x+4y=4
解：方程3x+2y=-2对应直线l1：
x
-6 -4 -2 2 4 6
y
6
4
2
-2
-4
-6
O
作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解.
方程6x+4y=4对应直线l2：
新知讲解
思考：上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式：
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？
任务三：根据二元一次方程的系数判断解的情况
新知讲解
发现：
①当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解；
②当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷组解；
③当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解.
新知讲解
二元一次方程组的解的情况有三种：
（1）图象相交时，原方程组有唯一组解；
（2）图象重合时，原方程组有无穷多组解；
（3）图象平行时，原方程组无解.
新知讲解
1.下列有序实数对中，对应二元一次方程2x＋3y＝7的解的是( B )
A. (1，2) B.(2，1)
C.(－1，－2) D. (－2，－1)
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，在同一直角坐标系中作出一次函数 与 的图象，则二元一次方程组 的解是( )
A. B.
C. D.
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.把二元一次方程2x－y－3＝0写成一次函数y＝ 2x－3 ；把一次函数y＝6－2x写成二元一次方程为 2x＋y＝6 .
2x－3
2x＋y＝6
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.若方程组 中两个二元一次方程的图象如图所示，则此方程组的解是多少？
①
②
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为( B )
B
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
A.(1，2) B.(2，1) C.(－1，2) D.(－2，1)
解：直线 与直线y＝2x＋7的交点坐标为（﹣2，3），所以原方程组的解为
6.利用函数图象解方程组：
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7.已知二元一次方程3x－y－2＝0所在的直线，在平面直角坐标系中与两坐标轴交于两点A、B，O为坐标原点，求三角形AOB的面积.
解:因为3x－y－2＝0，所以y＝3x－2，所以A、B的坐标为(，0)，(0，－2)，
所以三角形AOB的面积是××2＝.
【综合拓展类作业】
课堂练习
1.一次函数与二元一次方程的关系：
一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ 为常数，且 ｋ≠ ０）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
课堂总结
2.一次函数与二元一次方程组的关系：
求二元一次方程组的解.
从“函数值”看
自变量为何值时，
两个函数的值相
等并求函数值.
从“函数图象”看
确定两条直线交点的坐标.
求二元一次方程组的解.
数形结合
新知讲解
3.二元一次方程组的图象解法：
用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系.
4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程化成函数 ②画出函数图象
③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解
课堂总结
5.二元一次方程组的解的情况有三种：
（1）图象相交时，原方程组有唯一组解；
（2）图象重合时，原方程组有无穷多组解；
（3）图象平行时，原方程组无解.
课堂总结
板书设计
1.一次函数与二元一次方程的关系:
2.一次函数与二元一次方程组的关系：
3.二元一次方程组的图象解法：
4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤：
5.二元一次方程组的解的情况有三种：
课题：12.3一次函数与二元一次方程
1.已知x＝2是方程kx＋b＝0的解，则一次函数y＝kx＋b与
x轴的交点坐标为( )
A.(2，0) B.(0，2)
C.(－2，0) D.(0，－2)
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组
的解为（ ）
y=-x+4
y=x+2
A.
B.
C.
D.
x=3
y=1
x=1
y=3
x=0
y=4
x=4
y=0
B
1
2
1
3
5
4
2
3
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.如图，函数y=mx+n和y=-2x的图象交于点A（a,4），则方程mx+n=-2x的解是 .
x=-2
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y= mx+n与 y=kx+b的图象
交于点P(-2,1)，则方程组 的解是( )
A. B.
C. D.
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5.若函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，求a的值.
【知识技能类作业】选做题：
解:因为函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，即x＝a＝.
作业布置
6.已知二元一次方程2x-y=2.
（1）请任意写出此方程的三组解；
解析：本题可转化为求直线y=2x-2图象上三个点的坐标.
解：（1）
【综合拓展类作业】
作业布置
（2）若 为此方程的一组解，我们规定 为某一点的坐标，请根据你在（1）中写出的三组解，对应写出三个点的坐标并将这三个点描在平面直角坐标系中；
解：（2）（0,-2）;（1,0）;（2,2）
·
（0，-2）
·
·
（1，0）
（2，2）
【综合拓展类作业】
作业布置
（3）观察这三个点的位置，你发现了什么？
解析：本题实际求的是直线y=2x-2，求出方程的三组解实际上是求直线y=2x-2上的三个点的坐标，求出的三个点自然都在直线y=2x-2上.
解：（3）这三个点在一条直线上.
·
（0，-2）
·
·
（1，0）
（2，2）
【综合拓展类作业】
作业布置
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册、第12章
课标要求 【内容要求】(1)函数的概念①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。(2)一次函数①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。②能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx +b (k ≠0)探索并理解k > 0和k <0时图象的变化情况;理解正比例函数。③体会一次函数与二元一次方程的关系。④能用一次函数解决简单实际问题。【学业要求】(1)函数的概念能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步的抽象能力;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念;能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义;能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值;能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律;能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测。(2) 一次函数能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式;会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y= kx +b(k≠0)，探索并理解.k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律。会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。
内容分析 函数是中学数学的重要内容,它不仅是后继学习数学的基础,同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建立楼型的基本工具.函数概念比较抽象，学生的理解把握有一定困难, 因而教科书从展示大量实际情境入手，螺旋式地上升对函数概念的理解.本内容是函数知识的入门教学,是最基本的函数知识内容.教科书从不同的侧面展示实际问题中的常量和变量、自变量与函数以及它们之间互相转化、相互依存的关系,让学生从生活实例中感受常量、变量和函数的基本概念;再通过对最简单的函数一次函数的图象、性质以及与方程、方程组、不等式的联系与对应关系的学习研究，初步把握学习研究函数的基本方法,在感悟函数概念的同时，培养学生应用数学的意识与分析归纳的能力.
学情分析 学习一次函数，意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习，学生的思维方式要随之而变这是对学生思维能力的考验，也是其数学认识的一次重要飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单问题(如简单地应用待定系数法求一次函数、直接应用图象特征判别问题特征等)往往能根据课堂所学的概念知识，加上阅读书本知识，画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度。但随着时间的推移，随着问题情境复杂化，他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够，停留在感性认识多些，理性认识少些，对一次函数解析式的直接应用多些，对解析式与图象间的内在联系运用薄弱些，需要多练、 多探、多问、总结经验。学生在学习中遇到的困难主要表现在以下三个方面:(1)将复杂问题情境转化为一次函数图象;(2)结合题意理解一次函数所表达的信息;(3)结合题意把图象信息转化为数量关系。
单元目标 教学目标1.了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式;了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数.2.了解函数的三种表示方法(列表法、解析法和图象法)，能结合图象分析简单的函数关系;能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.3.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，掌握待定系数法，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题。4.通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系.5.学会建立一次函数模型的方法;能用一次函数解决简单的实际问题;能结合对函数的关系式的分析，尝试对变量的变化规律进行预测;提高综合运用所学函数知识分析和解决问题的能力。教学重点、难点教学重点：正比例函数及一次函数的图象及基本性质，利用函数图象及基本性质解决实际问题。教学难点：体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1函数4课时12.2一次函数5课时12.3一次函数与二元一次方程1课时12.4综合与实践 一次函数模型的应用1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1.1函数1.探索数量关系和变化规律.；2.了解常量、变量，能分清实例中出现的常量、变量、自变量与因变量.1.掌握常量及变量的含义2.能判别实际问题中出现的常量、变量与自变量.任务一：以生活中的例子为背景，引出新课任务二：掌握变量与常量任务三：判别实际问题中出现的常量、变量与自变量.12.1.2函数1.会用列表法和解析式法表示函数，会求函数自变量的取值范围；2.能利用给定的自变量求函数的值，能列简单的函数表达式。 1.了解并掌握函数的三种表示方法，会用列表法和解析式法表示函数；2.会求函数自变量的取值范围及函数值；3.能根据实际问题的已知条件,列出简单的函数关系的表达式。任务一：复习函数的概念及判断函数关系的方法任务二：了解并掌握函数的三种表示方法任务三：掌握函数自变量范围的确定和函数值的求法.任务四：能根据实际问题的已知条件,列出简单的函数关系的表达式.12.1.3函数1.会用图象法表示函数；2.知道画图象的步骤，即列表、描点、连线. 1.会用列表、描点、连线画函数图象.2.会用图象法表示函数任务一：复习列表法及解析法的概念任务二：用列表、描点、连线画函数图象.任务三：图象法的实际应用.12.1.4函数1.能从函数图象中获取与函数有关的信息,解决函数中的问题；2.能通过函数间变量的关系,理解图象中的点或线段代表的实际意义；3.体会数形结合思想,提高解决问题的能力. 1.会从函数图象中获得信息2.能利用函数图象解决实际问题任务一：通过图象例子引出新课任务二：通过思考问题，学会从函数图象中获取信息任务三：总结如何从图象中获得有用信息12.2.1一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念；2.能通过两点画出正比例函数的图象；3.掌握正比例函数图象的性质.1.掌握一次函数和正比例函数的概念；2.会用两点画出正比例函数的图象；3.掌握正比例函数图象的性质。任务一：复习函数及函数值的概念任务二：理解一次函数和正比例函数的概念.任务三：通过两点画正比例函数的图象.任务四：探究正比例函数图象的性质.12.2.2一次函数1.通过观察一次函数图象，掌握一次函数的性质；2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.1.理解并会画一次函数的图象；2.掌握一次函数图象的性质；3.会用一次函数的图象和性质解决有关问题。任务一：复习正比例函数及一次函数的概念及满足条件，正比例函数的图象和性质任务二：理解一次函数的图象.任务三：探究一次函数图象的性质.12.2.3一次函数1.掌握待定系数法的概念；2.能够熟练地运用待定系数法求一次函数表达式.1.掌握待定系数法的概念；2.能够熟练地运用待定系数法求一次函数表达式.任务一：复习一次函数的图象及性质任务二：用待定系数法求一次函数表达式.12.2.4一次函数1.理解分段函数的特点；2.会根据题意求出分段函数的表达式并画出函数图象;3.在实际问题中,建立两个或两个以上的一次函数模型;4.会计算两个一次函数的交点,会比较两个一次函数的大小;5.能利用一次函数的知识,在实际问题中选择最佳方案.1.掌握分段函数的特征，会求分段函数的表达式并能画出图象；3.会在实际问题中,建立两个或两个以上的一次函数模型;4.会计算两个一次函数的交点,会比较两个一次函数的大小;5.能利用一次函数的知识,在实际问题中选择最佳方案.任务一：以生活中的实际问题为背景，引出新课任务二：了解分段函数并解决相关问题.任务三：利用一次函数进行方案决策12.2.5一次函数1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；2.会用图象法求一元一次方程和一元一次不等式的解和解集.1.理解一次函数与一元一次方程的关系；2.理解一次函数与一元一次不等式的关系；3.会用图象法求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.任务一：以生活的自然现象为背景，引出新课任务二：理解一次函数与一元一次方程的关系.任务三：理解一次函数与一元一次不等式的关系.任务四：用图象法求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.12.3一次函数与二元一次方程1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.1.理解一次函数与二元一次方程的关系；2.会根据一次函数的图象求二元一次方程组的解；3.会根据二元一次方程的系数判断解的情况。任务一：复习一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系任务二：探究一次函数与二元一次方程的关系任务三：一元二次方程组的图象解法任务四：根据二元一次方程的系数判断解的情况12.4综合与实践 一次函数模型的应用1.学会建立一次函数模型的方法,掌握基本步骤;2.能用一次函数模型解决简单的实际问题.1.会建立一次函数模型的方法,掌握基本步骤;2.能用一次函数模型解决简单的实际问题.任务一：以模具为背景，引出新课任务二：一次函数模型的应用
《第12章 》一次函数 单元教学设计
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分课时教学设计
《 12.3一次函数与二元一次方程 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型.用函数的观点看方程(组)与不等式，不仅能帮助学生加深对方程(组)、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来， 感受数学的统一美.本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程(组)关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义.本课时主要讲解了二元一次方程图象的意义，以及如何用图象法求二元一次方程组的解，这些重要的知识很好地考察了学生数形结合的能力。
学习者分析 通过对一次函数与二元一次方程——二元一次方程组的图象解法的学习，既帮助学生很好地回顾和记忆一次函数的相关知识,也很好地帮助学生理解和掌握二元一次方程组的重要知识。这些知识突出地考察了学生对数形结合这个数学学习方法的掌握情况,为以后学习二次函数方面的数形结合知识打下坚实的基础。
教学目标 1.学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系; 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解; 3.通过学生思考方程与图象之间的关系的过程，培养学生初步的数形结合的意识和能力; 4.经历了自主探究方程与图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点 二元一次方程和一次函数的关系，以及根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.
教学难点 方程与函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 一次函数与一元一次方程的关系: 一次函数与一元一次不等式的关系: 学生活动1： 学生动脑回忆思考，并积极回答.活动意图说明： 回顾旧知，为下面引出一次函数与二元一次方程的关系做铺垫.环节二：探究一次函数与二元一次方程的关系教师活动2： 前面，我们研究了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系． 虽然利用函数图象来解方程或不等式未必简便，但是，这种形数结合的思想方法，对于学习数学是极为重要的．
下面，我们来研究一次函数与二元一次方程的联系. 我们知道，二元一次方程 3x ＋2y ＝ 6 可以转化成一次函数的形式：y ＝ －x ＋3 对于这个函数，任意给出自变量 x 的一些值，可以求得对应的 y 值，列表如下： 表中每一对x，y的值代入方程3x＋ 2y＝6 都成立，所以每组有序数对都是方程3x＋2y ＝ 6的解． 可见，二元一次方程3x ＋2y ＝ 6 有无数多组解，解的全体叫做二元一次方程的解集． 以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图，得到一条直线，这条直线就是一次函数y＝－x＋3 的图象． 一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k≠ 0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．学生活动2： 学生边听老师讲解边思考一次函数与二元一次方程的联系。 学生在教师的引导下总结一次函数与二元一次方程的关系。 活动意图说明： 用实际例子探究方程与对应图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣.环节三：一元二次方程组的图象解法教师活动3： 例1 （1）在平面直角坐标系中画直线 l1：y=－x＋1 与直线l2：y=2x+6 的图象； （2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（__2__，_2___）； （3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？ 解：方程x+2y=2可以转化成y=－x＋1的形式，因此，直线l1：y=－x＋1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解； 同理，直线 l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解，所以直线 l1与 l2的交点P是方程组的解. 一次函数与二元一次方程组的关系: 二元一次方程组的图象解法： 用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系. 运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解 例2 利用函数图象解方程组： 解：对于方程①，有 过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l：y=x-2 同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上.如图，就是说，这两条直线重合． 显然，直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解． 例3 利用函数图象解方程组： 解：方程3x+2y=-2对应直线l1：y=-x-1 方程6x+4y=4对应直线l2：y=-x+1 作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解. 学生活动3： 学生小组讨论，派代表展示答案. 学生与教师一起总结二元一次方程组的图象解法及解题步骤。 学生利用函数图象独立解方程组。 活动意图说明： 通过例题，检验学生对利用函数图象解方程组的掌握程度，及时查漏补缺。环节四：根据二元一次方程的系数判断解的情况教师活动4： 思考：上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式： 比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？ 发现： ①当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解； ②当a1：a2 =b1：b2=c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷组解； ③当a1：a2 =b1：b2≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解. 二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解.学生活动4： 学生小组交流讨论，派代表阐述结论。 活动意图说明： 通过师生的合作探究，得到函数图象(直线)重合说明有无数解:同样，没有交点就是没有解。同时，充分发挥学生小组合作能力，让学生在操作中消化知识。
板书设计 课题：12.3一次函数与二元一次方程 1.一次函数与二元一次方程的关系: 2.一次函数与二元一次方程组的关系： 3.二元一次方程组的图象解法： 4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： 5.二元一次方程组的解的情况有三种：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列有序实数对中，对应二元一次方程2x＋3y＝7的解的是( B ) A. (1，2) B.(2，1) C.(－1，－2) D. (－2，－1) 2.如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 3.把二元一次方程2x－y－3＝0写成一次函数y＝ 2x－3 ；把一次函数y＝6－2x写成二元一次方程为 2x＋y＝6 . 4.若方程组中两个二元一次方程的图象如图所示，则此方程组的解是多少？ 解：此方程组的解是 选做题： 5.已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解 ,那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为( B ) A.(1，2) B.(2，1) C.(－1，2) D.(－2，1) 6.利用函数图象解方程组： 解：直线y=- x+2与直线y＝2x＋7的交点坐标为（﹣2，3），所以原方程组的解为 【综合拓展类作业】 7.已知二元一次方程3x－y－2＝0所在的直线，在平面直角坐标系中与两坐标轴交于两点A、B，O为坐标原点，求三角形AOB的面积. 解:因为3x－y－2＝0，所以y＝3x－2，所以A、B的坐标为(，0)，(0，－2)， 所以三角形AOB的面积是××2＝.
课堂总结 1.一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k≠ 0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 一次函数与二元一次方程组的关系： 3.二元一次方程组的图象解法： 用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系. 4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解 5.二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知x＝2是方程kx＋b＝0的解，则一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为( A ) A.(2，0) B.(0，2) C.(－2，0) D.(0，－2) 2.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组 的解为（ B ） B. C. D. 3.如图，函数y=mx+n和y=-2x的图象交于点A（a,4），则方程mx+n=-2x的解是 x=-2 . 选做题： 4.如图，在平面直角坐标系中，函数y= mx+n与y=kx+b的图象交于点P(-2,1)，则方程组的解是( A ) A. B. C. D. 5．若函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，求a的值. 解:因为函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，即x＝a＝. 【综合拓展类作业】 6.已知二元一次方程2x-y=2. （1）请任意写出此方程的三组解； 解析：本题可转化为求直线y=2x-2图象上三个点的坐标. 解：（1） , , 若为此方程的一组解，我们规定(,)为某一点的坐标，请根据你在（1）中写出的三组解，对应写出三个点的坐标并将这三个点描在平面直角坐标系中； 解：（2）（0,-2）;（1,0）;（2,2） 观察这三个点的位置，你发现了什么？ 解析：本题实际求的是直线y=2x-2，求出方程的三组解实际上是求直线y=2x-2上的三个点的坐标，求出的三个点自然都在直线y=2x-2上. 解：（3）这三个点在一条直线上.
教学反思 教学设计上，突出以学生的“数学活动”为主线，教师应激发学生的学习积极性.通过学习，初步理解二元一次方程和一次函数的关系;掌握二元一次方程和对应的直线之间的关系.通过方程与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中;在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神.结合例题，总结出利用函数的图象解二元一次方程组的解题步骤，让学生进一步理解一次函数与二元一次方程组的关系，学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法，通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.
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