(共43张PPT)
（沪科版）八年级
上
12.2.4一次函数
一次函数
第12章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.理解分段函数的特点；
2.会根据题意求出分段函数的表达式并画出函数图象;
3.在实际问题中,建立两个或两个以上的一次函数模型;
4.会计算两个一次函数的交点,会比较两个一次函数的大小;
5.能利用一次函数的知识,在实际问题中选择最佳方案.
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
在0—15分是正比例函数，在25—37分是一次函数，在55—80分是一次函数.
新知导入
例5为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8ｍ３时，每立方米收取 1元外加0.3元的污水处理费；超过8ｍ３时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费． 设一户每月用水量为xｍ３，应缴水费y元．
（1）给出y与 x 之间的函数表达式；
（2）画出上述函数图象；
（3）当该市一户某月的用水量为x＝5ｍ３或x＝10ｍ３时，求其应缴的水费；
（4）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量．
新知讲解
任务一：了解分段函数并解决相关问题.
分析：用水时以8ｍ３为界，分成两段，收费标准不一 样：当x≤8时，每立方米收费（1＋0.3）元；当x＞8时，超出部分每立方米收费（1.5＋1.2）元． 另外，收费时x一般取整数，不足1ｍ３的可并入下月计费．
新知讲解
解：（1）y关于x的函数关系式为y=
新知讲解
30
20
10
8
16
O
y/元
x/m3
.
.
(8,10.4)
(16,32)
（2）函数图象如图所示：
解：（3）当x=5 m3时，y=1.3×5=6.5（元）；
当x=10m3时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）.
即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；
当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元.
（4）y=26.6>1.3×8，可知该户这月用水超过8m3,
因此，2.7x-11.2=26.6，
解方程，得 x=14.
即该户本月用水量为14m3.
新知讲解
分段函数:
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的
形式，这样的函数称为分段函数.
新知讲解
注意：表示函数关系的表达式，每一段后面必须加上自变量的取值范围.
由分段函数的图象确定函数解析式的方法：
(1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型；
(2)设函数式：设出函数的解析式；
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程 (组)，求出该段内的解析式；
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
新知讲解
例6 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地 H处旅游． 当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人100元． 经联系协商， 甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠． 问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？
新知讲解
任务二：利用一次函数进行方案决策
分析：假设该单位参加旅游人数为 x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用（60x＋1000）元． 问题变为比较80x与60x＋1 000的大小了．
新知讲解
解法一:设该单位参加旅游人数为x.那么选甲旅行社，应付费用80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元).
记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1与y2的图象交于点(50,4000).
新知讲解
观察图象，可知：
当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；
当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少.
新知讲解
解法二:设选择甲、乙旅行社费用之差为y，
则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.
画出一次函数y= 20x-1000的图象如图，它与ｘ轴交点为（５０，０）．由图可知：
新知讲解
（1）当x=50时，y=0，即y1=y2；甲、乙两家旅行社的费
用一样；
（2）当x＞50时，y ＞ 0，即y1＞ y2；乙旅行社的费用较低；
（3）当x＜50时，y ＜0，即y1 ＜ y2.甲旅行社的费用较低.
新知讲解
本题还可按下面方法来解，即： 当80x－（60x＋1000）＝0，
即x＝50时，选甲或乙旅行社费用一样，都是80×50＝4000元；
当80x－（60x＋1 000）＞0，即x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当80x－（60x ＋1 000）＜0，即x＜50时，选甲旅行社费用较少．
新知讲解
（一）观察图象选择方案
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
列出两个一次函数，画出图象，计算两个一次函数的交点；
观察自变量在不同的取值范围内，函数值的大小，比较两个函数值，根据实际需要，选择最佳方案.
新知讲解
（二）用作差法比较函数值的大小
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
列出两个一次函数，用作差法构建一个新的函数，通过判断新函数与x轴的交点，判断原来两个函数值的大小关系.
根据实际需要，选择最佳方案.
新知讲解
1.如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时的销售量（ ）
A.小于4件 B.大于4件
C.等于4件 D.大于或等于4件
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠( )
A. 方案A B. 方案B
C. 两种方案一样优惠 D. 不能确定
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算．
＞1500
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解：由题意得:
当0≤t≤2时，T=20；
当2函数表达式为：
T =
4.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数表达式，并画出函数图象.
T=20(0≤t≤2)
T=5t+10(220
10
40
T/℃
t/h
O
1
2
30
4
3
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5. 一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s(km)与行驶时间t(h)的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前_____h到达B地．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2
6.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦 .时）关于已行驶路程x(千米）的函数图象.
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦 .时时汽车已行驶的路程.当0≤x≤150时， 求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦 时
时汽车已行驶了150千米.1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为 =6（千米）.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.
解：(2)设y关于x的函数解析式为y= kx + b,把点（150,35）,（200,10）代入，得解得
∴y=-0.5x+110.
当 x= 180 时，y=-0. 5×180 + 110 = 20.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7.某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．
(1)分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
解：yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；
【综合拓展类作业】
课堂练习
(2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；
解：∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；
【综合拓展类作业】
课堂练习
(3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
解：设两地运费之和为y元，
则y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50.
∵y随x的增大而减小，x最大为50，
∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元．
【综合拓展类作业】
课堂练习
课堂总结
1.分段函数:
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的
形式，这样的函数称为分段函数.
2.方案选择：
（一）观察图象选择方案
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
列出两个一次函数，画出图象，计算两个一次函数的交点；
观察自变量在不同的取值范围内，函数值的大小，比较两个函数值，根据实际需要，选择最佳方案.
课堂总结
2.方案选择：
（二）用作差法比较函数值的大小
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
列出两个一次函数，用作差法构建一个新的函数，通过判断新函数与x轴的交点，判断原来两个函数值的大小关系.
根据实际需要，选择最佳方案.
板书设计
1.分段函数:
2.方案选择问题:
课题：12.2.4一次函数
1.如图是某复印店复印收费y（元）与复印页数（8开纸）x（页）的函数图象,那么从图象中可看出，复印超过100页的部分,每页收费（ ）
A. 0. 4 元 B. 0. 45 元
C.0.47 元 D.0.5 元
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图中的直线ABC，为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式的图象．
当t≥2时，该图象的解析式为 ；从图象中可知，通话2分钟需付电话费 元；通话7分钟需付电话费 元．
y＝t－0.6
1.4
6.4
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位高度为6米,水位以每小时0. 3米的速度匀速上升，则 水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为 .
y=6+0.3x
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4.某商店销售一种商品，售出部分商品后进行了降价促销，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则降价后每件商品的销售价格为 元.
12.5
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
甲种客车 乙种客车
载客量（座/辆） 60 45
租金（元/辆） 550 450
5.某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表．
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；
解：（1）由题意，得y=550x+450（7﹣x），化简得y=100x+3150，
即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y=100x+3150；
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5.某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表．
(2)当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元．
解：(2)由题意得60x+45（7﹣x）≥380，解得，x≥．
∵y=100x+3150，∴k=100＞0，∴x=5时，租车费用最少，最少为：y=100×5+3150=3650（元），
即当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3650元．
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
6.某文化用品商店出手书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一：买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款.购买时，顾客只能选用其中的一种方案.某校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）.设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）.
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的表达式：
方案一：y1= ；方案二：y2= .
9x+180
10x+150
【综合拓展类作业】
作业布置
解：当x=20时，y1=10×20+150=350元，y2=9×20+180=360
（2）若购买20个文具盒，比较以上两种方案中哪种更省钱？
∵y1∴方案一更省钱
【综合拓展类作业】
作业布置
（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到
个文具盒.
40
解：当10x+150≤540，解得x≤39;当9x+180≤540,解得x≤40.
故学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒，答案为40.
【综合拓展类作业】
作业布置
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册、第12章
课标要求 【内容要求】(1)函数的概念①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。(2)一次函数①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。②能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx +b (k ≠0)探索并理解k > 0和k <0时图象的变化情况;理解正比例函数。③体会一次函数与二元一次方程的关系。④能用一次函数解决简单实际问题。【学业要求】(1)函数的概念能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步的抽象能力;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念;能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义;能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值;能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律;能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测。(2) 一次函数能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式;会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y= kx +b(k≠0)，探索并理解.k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律。会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。
内容分析 函数是中学数学的重要内容,它不仅是后继学习数学的基础,同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建立楼型的基本工具.函数概念比较抽象，学生的理解把握有一定困难, 因而教科书从展示大量实际情境入手，螺旋式地上升对函数概念的理解.本内容是函数知识的入门教学,是最基本的函数知识内容.教科书从不同的侧面展示实际问题中的常量和变量、自变量与函数以及它们之间互相转化、相互依存的关系,让学生从生活实例中感受常量、变量和函数的基本概念;再通过对最简单的函数一次函数的图象、性质以及与方程、方程组、不等式的联系与对应关系的学习研究，初步把握学习研究函数的基本方法,在感悟函数概念的同时，培养学生应用数学的意识与分析归纳的能力.
学情分析 学习一次函数，意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习，学生的思维方式要随之而变这是对学生思维能力的考验，也是其数学认识的一次重要飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单问题(如简单地应用待定系数法求一次函数、直接应用图象特征判别问题特征等)往往能根据课堂所学的概念知识，加上阅读书本知识，画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度。但随着时间的推移，随着问题情境复杂化，他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够，停留在感性认识多些，理性认识少些，对一次函数解析式的直接应用多些，对解析式与图象间的内在联系运用薄弱些，需要多练、 多探、多问、总结经验。学生在学习中遇到的困难主要表现在以下三个方面:(1)将复杂问题情境转化为一次函数图象;(2)结合题意理解一次函数所表达的信息;(3)结合题意把图象信息转化为数量关系。
单元目标 教学目标1.了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式;了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数.2.了解函数的三种表示方法(列表法、解析法和图象法)，能结合图象分析简单的函数关系;能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.3.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，掌握待定系数法，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题。4.通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系.5.学会建立一次函数模型的方法;能用一次函数解决简单的实际问题;能结合对函数的关系式的分析，尝试对变量的变化规律进行预测;提高综合运用所学函数知识分析和解决问题的能力。教学重点、难点教学重点：正比例函数及一次函数的图象及基本性质，利用函数图象及基本性质解决实际问题。教学难点：体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1函数4课时12.2一次函数5课时12.3一次函数与二元一次方程1课时12.4综合与实践 一次函数模型的应用1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1.1函数1.探索数量关系和变化规律.；2.了解常量、变量，能分清实例中出现的常量、变量、自变量与因变量.1.掌握常量及变量的含义2.能判别实际问题中出现的常量、变量与自变量.任务一：以生活中的例子为背景，引出新课任务二：掌握变量与常量任务三：判别实际问题中出现的常量、变量与自变量.12.1.2函数1.会用列表法和解析式法表示函数，会求函数自变量的取值范围；2.能利用给定的自变量求函数的值，能列简单的函数表达式。 1.了解并掌握函数的三种表示方法，会用列表法和解析式法表示函数；2.会求函数自变量的取值范围及函数值；3.能根据实际问题的已知条件,列出简单的函数关系的表达式。任务一：复习函数的概念及判断函数关系的方法任务二：了解并掌握函数的三种表示方法任务三：掌握函数自变量范围的确定和函数值的求法.任务四：能根据实际问题的已知条件,列出简单的函数关系的表达式.12.1.3函数1.会用图象法表示函数；2.知道画图象的步骤，即列表、描点、连线. 1.会用列表、描点、连线画函数图象.2.会用图象法表示函数任务一：复习列表法及解析法的概念任务二：用列表、描点、连线画函数图象.任务三：图象法的实际应用.12.1.4函数1.能从函数图象中获取与函数有关的信息,解决函数中的问题；2.能通过函数间变量的关系,理解图象中的点或线段代表的实际意义；3.体会数形结合思想,提高解决问题的能力. 1.会从函数图象中获得信息2.能利用函数图象解决实际问题任务一：通过图象例子引出新课任务二：通过思考问题，学会从函数图象中获取信息任务三：总结如何从图象中获得有用信息12.2.1一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念；2.能通过两点画出正比例函数的图象；3.掌握正比例函数图象的性质.1.掌握一次函数和正比例函数的概念；2.会用两点画出正比例函数的图象；3.掌握正比例函数图象的性质。任务一：复习函数及函数值的概念任务二：理解一次函数和正比例函数的概念.任务三：通过两点画正比例函数的图象.任务四：探究正比例函数图象的性质.12.2.2一次函数1.通过观察一次函数图象，掌握一次函数的性质；2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.1.理解并会画一次函数的图象；2.掌握一次函数图象的性质；3.会用一次函数的图象和性质解决有关问题。任务一：复习正比例函数及一次函数的概念及满足条件，正比例函数的图象和性质任务二：理解一次函数的图象.任务三：探究一次函数图象的性质.12.2.3一次函数1.掌握待定系数法的概念；2.能够熟练地运用待定系数法求一次函数表达式.1.掌握待定系数法的概念；2.能够熟练地运用待定系数法求一次函数表达式.任务一：复习一次函数的图象及性质任务二：用待定系数法求一次函数表达式.12.2.4一次函数1.理解分段函数的特点；2.会根据题意求出分段函数的表达式并画出函数图象;3.在实际问题中,建立两个或两个以上的一次函数模型;4.会计算两个一次函数的交点,会比较两个一次函数的大小;5.能利用一次函数的知识,在实际问题中选择最佳方案.1.掌握分段函数的特征，会求分段函数的表达式并能画出图象；3.会在实际问题中,建立两个或两个以上的一次函数模型;4.会计算两个一次函数的交点,会比较两个一次函数的大小;5.能利用一次函数的知识,在实际问题中选择最佳方案.任务一：以生活中的实际问题为背景，引出新课任务二：了解分段函数并解决相关问题.任务三：利用一次函数进行方案决策12.2.5一次函数1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；2.会用图象法求一元一次方程和一元一次不等式的解和解集.1.理解一次函数与一元一次方程的关系；2.理解一次函数与一元一次不等式的关系；3.会用图象法求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.任务一：以生活的自然现象为背景，引出新课任务二：理解一次函数与一元一次方程的关系.任务三：理解一次函数与一元一次不等式的关系.任务四：用图象法求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集.12.3一次函数与二元一次方程1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.1.理解一次函数与二元一次方程的关系；2.会根据一次函数的图象求二元一次方程组的解；3.会根据二元一次方程的系数判断解的情况。任务一：复习一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系任务二：探究一次函数与二元一次方程的关系任务三：一元二次方程组的图象解法任务四：根据二元一次方程的系数判断解的情况12.4综合与实践 一次函数模型的应用1.学会建立一次函数模型的方法,掌握基本步骤;2.能用一次函数模型解决简单的实际问题.1.会建立一次函数模型的方法,掌握基本步骤;2.能用一次函数模型解决简单的实际问题.任务一：以模具为背景，引出新课任务二：一次函数模型的应用
《第12章 》一次函数 单元教学设计
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分课时教学设计
《 12.2.4一次函数 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时的主要内容是一次函数的应用，分段函数问题及方案选择问题，让学生知道如何应用一次函数解决生活中的实际问题，体会数学与实际生活的联系，感受数学的重要性。
学习者分析 本课时主要围绕分段函数及利用一次函数进行应用决策，这些内容是一次函数和实际应用问题联系起来的重要范例，需要学生在生活中处处留心生活中的数学知识，并运用所学解决生活中的实际问题。八年级学生具有一定分析问题，解决问题的能力，本课时的学习要求学生通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法，提高解决问题的能力，增强应用意识和创新意识.
教学目标 1.理解分段函数的特点； 2.会根据题意求出分段函数的表达式并画出函数图象; 3.在实际问题中,建立两个或两个以上的一次函数模型; 4.会计算两个一次函数的交点,会比较两个一次函数的大小; 5.能利用一次函数的知识,在实际问题中选择最佳方案.
教学重点 根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式；根据分段函数选择合适的方案.
教学难点 根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式；根据分段函数选择合适的方案.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 在0—15分是正比例函数，在25—37分是一次函数，在55—80分是一次函数.学生活动1： 学生仔细审题，动脑思考，并积极回答.活动意图说明： 通过生活中的实际问题，激发学生的兴趣，进而引出新课.环节二：了解分段函数并解决相关问题.教师活动2： 例5为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8ｍ３时，每立方米收取 1元外加0.3元的污水处理费；超过8ｍ３时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费． 设一户每月用水量为xｍ３，应缴水费y元．
（1）给出y与 x 之间的函数表达式；
（2）画出上述函数图象；
（3）当该市一户某月的用水量为x＝5ｍ３或x＝10ｍ３时，求其应缴的水费；
（4）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量． 分析：用水时以8ｍ３为界，分成两段，收费标准不一 样：当x≤8时，每立方米收费（1＋0.3）元；当x＞8时，超出部分每立方米收费（1.5＋1.2）元． 另外，收费时x一般取整数，不足1ｍ３的可并入下月计费． 解：（1）y关于x的函数关系式为 y （2）函数图象如图所示： （3）当x=5 m3时，y=1.3×5=6.5（元）；
当x=10m3时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）.
即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；
当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元.
（4）y=26.6>1.3×8，可知该户这月用水超过8m3,
因此，2.7x-11.2=26.6，
解方程，得 x=14.
即该户本月用水量为14m3. 分段函数: 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：表示函数关系的表达式，每一段后面必须加上自变量的取值范围. 由分段函数的图象确定函数解析式的方法： (1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型； (2)设函数式：设出函数的解析式； (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程 (组)，求出该段内的解析式； (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.学生活动2： 学生分组讨论，交流，派代表展示答案. 学生在教师的指导下，学生归纳总结分段函数的概念，及其注意事项. 活动意图说明： 经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，建立起分段函数的概念，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心，体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.同时锻炼学生的总结归纳能力和语言表达能力.环节三：利用一次函数进行方案决策教师活动3： 例6 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地 H处旅游． 当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人100元． 经联系协商， 甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠． 问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？ 分析：假设该单位参加旅游人数为 x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用（60x＋1000）元． 问题变为比较80x与60x＋1 000的大小了． 解法一:设该单位参加旅游人数为x.那么选甲旅行社，应付费用80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元).
记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1与y2的图象交于点(50,4000). 观察图象，可知：
当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；
当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少. 解法二:设选择甲、乙旅行社费用之差为y，
则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.
画出一次函数y= 20x-1000的图象如图，它与x轴交点为（50，0）．由图可知： （1）当x=50时，y=0，即y1=y2；甲、乙两家旅行社的费 用一样；
（2）当x＞50时，y ＞ 0，即y1 ＞ y2；乙旅行社的费用较低；
（3）当x＜50时，y ＜0，即y1 ＜ y2.甲旅行社的费用较低. 本题还可按下面方法来解，即： 当80x－（60x＋1000）＝0，即x＝50时，选甲或乙旅行社费用一样，都是80×50＝4000元；
当80x－（60x＋1 000）＞0，即x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当80x－（60x ＋1 000）＜0，即x＜50时，选甲旅行社费用较少． （一）观察图象选择方案 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，画出图象，计算两个一次函数的交点； 观察自变量在不同的取值范围内，函数值的大小，比较两个函数值，根据实际需要，选择最佳方案. （二）用作差法比较函数值的大小 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，用作差法构建一个新的函数，通过判断新函数与x轴的交点，判断原来两个函数值的大小关系. 根据实际需要，选择最佳方案.学生活动3： 学生观察、思考，小组讨论，派代表阐述结论. 活动意图说明： 通过分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转化为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征.通过这种表征，把实际问题转化为函数问题.
板书设计 课题：12.2.4一次函数 1.分段函数: 2.方案选择问题:
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时的销售量（ B ） A.小于4件 B.大于4件 C.等于4件 D.大于或等于4件 2.电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠( B ) A. 方案A B. 方案B C. 两种方案一样优惠 D. 不能确定 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x__＞1500______时，选用个体车较合算． 一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数表达式，并画出函数图象. 解：由题意得: 当0≤t≤2时，T=20； 当2课堂总结 1.分段函数: 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 2.方案选择： （一）观察图象选择方案 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，画出图象，计算两个一次函数的交点； 观察自变量在不同的取值范围内，函数值的大小，比较两个函数值，根据实际需要，选择最佳方案. （二）用作差法比较函数值的大小 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，用作差法构建一个新的函数，通过判断新函数与x轴的交点，判断原来两个函数值的大小关系. 根据实际需要，选择最佳方案.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图是某复印店复印收费y（元）与复印页数（8开纸）x（页）的函数图象,那么从图象中可看出，复印超过100页的部分,每页收费（ A ） A. 0. 4 元 B. 0. 45 元 C.0.47 元 D.0.5 元 2.如图中的直线ABC，为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式的图象． 当t≥2时，该图象的解析式为 y＝t－0.6 ；从图象中可知，通话2分钟需付电话费 1.4 元；通话7分钟需付电话费 6.4 元． 3.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位高度为6米,水位以每小时0. 3米的速度匀速上升，则 水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为 y=6+0.3x . 选做题： 4．某商店销售一种商品，售出部分商品后进行了降价促销，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则降价后每件商品的销售价格为 12.5 元. 某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表． 设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式； (2)当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元． 解：（1）由题意，得y=550x+450（7﹣x），化简得y=100x+3150， 即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y=100x+3150； (2)由题意得60x+45（7﹣x）≥380，解得，x≥． ∵y=100x+3150，∴k=100＞0，∴x=5时，租车费用最少，最少为：y=100×5+3150=3650（元）， 即当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3650元． 【综合拓展类作业】 6.某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一：买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款.购买时，顾客只能选用其中的一种方案.某校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）.设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）. （1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的表达式： 方案一：y1= 10x+150 ；方案二：y2= 9x+180 . （2）若购买20个文具盒，比较以上两种方案中哪种更省钱？ 解：当x=20时，y1=10×20+150=350元，y2=9×20+180=360 ∵y1教学反思 本节课通过由学生自行分析问题，构建函数关系式,激发学生学习的主动性，通过分析、归纳、总结，提高解决实际问题的能力.通过例题讲解来提高学生的学习兴趣，然后通过教师和学生的双边活动让学生掌握一次函数的应用，并拓展到决策性问题的探究，以锻炼学生的探究归纳能力，并通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法，提高解决问题的能力，增强应用意识和创新意识.
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