1.1菱形的判定与性质 同步训练 北师大版九年级数学上册（含详解）

北师大版九年级数学上册 1.1菱形的判定与性质 同步训练
一、单选题
1．关于菱形的性质，以下说法错误的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上， ， ，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．10cm B．20cm C．30cm D．cm
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（　　）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
5．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　）
A．cm B．2cm C．1cm D．2cm
6．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①
7．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：① ；② ；③ ；④ ，⑤ ．从中随机抽取一张卡片，能判定 是菱形的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形.
乙：分别作 ∠A 与 ∠B 的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形.
对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
9．如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若AE＝6，AB＝5，则BF的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．12
10．下列说法中错误的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为　 　．
12．如图 ， 已知菱形ABCD，E、F分别为 △ABD和△CBD的重心， 如果边AB=5， 对角线BD=6， 那么EF的长为　 　．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为　 　．
14．如图，在四边形 中， ，E，F，G，H分别是 ， ， ， 的中点，要使四边形 是菱形，四边形 还应满足的一个条件是　 　.
15．如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有　 　个．
16．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 　 　cm2．
三、解答题
17．如图，在菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，连接AE，EC，CF和FA．已知AB＝2 ，四边形AECF是正方形，求BD的长．
18．如图，在中，，是的中线，点E是的中点，过点C作CF∥AB交的延长线于点F，连接．请判断四边形的形状，并加以证明．
19．已知线段AC
（1）尺规作图：作菱形ABCD，使AC是菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形的边长．
20．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，连接AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．
（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．
23．如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF.
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积.
24．已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
1．答案：B
解析：解：A、菱形的四条边都相等，A不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：B．
分析：根据菱形的性质逐项判断即可。
2．答案：A
解析：解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，
∵菱形OABC，
∴OC=OA=4
∵ ，
∴∠OCE=30°
∵OC=4
∴OE=2
∴CE=
∴点C的坐标为 .
故答案为：A.
分析：过C作CE⊥OA，垂足为E，根据菱形的性质可得OC=OA=4，易得∠OCE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OE，利用勾股定理求出CE，据此可得点C的坐标.
3．答案：D
解析：解：分别连接图1与图2中的AC，
在图1中：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB= AC＝10cm，
在图2中，BC=AB＝10cm，∠B=90°，
∴cm，
故答案为：D．
分析：先求出△ABC是等边三角形，再求出AB= AC＝10cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
4．答案：A
解析：解：∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，AC、BD互相平分，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
分析：先利用菱形的性质和勾股定理求出BC的长，再结合即可求出AE的长。
5．答案：B
解析：解：
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2cm，
∴OA＝1（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），
∴BD＝2OB＝2（cm），
故答案为：B．
分析：由菱形的性质得到AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证明△ABC是等边三角形，得到AC＝AB＝2cm，则OA=1cm，然后由勾股定理求出OB=，即可求解。
6．答案：A
解析：解：① ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故①符合题意；
② ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故②不符合题意；
③ ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定 ABCD是菱形；故③符合题意；
④ ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故④不符合题意．
故正确的为①③
故答案为：A．
分析：根据菱形的证明方法逐项判断即可。
7．答案：B
解析：解：① ；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定 是菱形；② ；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定 是矩形；③ ；是 本身具有的性质，无法判定 是菱形；④ ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定 是菱形；⑤ ．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定 是矩形
∴共有5种等可能结果，其中正确的有2种
∴能判定 是菱形的概率为
故答案为：B．
分析：根据菱形的判定方法求解即可．
8．答案：C
解析：解：甲的作法如图所示，
四边形ABCD是平行四边形
又 垂直平分AC
又
四边形AFCE为平行四边形
又
四边形AFCE为菱形
所以甲的作法正确.
乙的作法如图所示
AE平分
同理可得
又
四边形ABEF为平行四边形
四边形ABEF为菱形
所以乙的作法正确
故答案为：C
分析：由甲乙的做法，根据菱形的判定方法可知正误
9．答案：C
解析：解：设交于点，如下图：
由题意可得：，平分，，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故选：C．
分析：设交于点，根据题意即可推导出垂直平分，，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再证明结合根据平行四边形的判定得到四边形为平行四边形，进而得到，根据菱形的判定即可得到平行四边形为菱形，最后根据菱形的性质结合勾股定理即可求解.
10．答案：B
解析：解：∵四边相等的四边形是菱形
∴A选项不符合题意
∵菱形的对角线长度不一定等于边长，
∴B选项符合题意
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴C选项不符合题意
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形
∴选项D不符合题意
故答案为：B．
分析：根据菱形的判定和菱形的性质，逐项判断即可。
11．答案：24
解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，
在Rt△AOB中，BO=，
则BD=2BO=，
故=AC×BD=．
故答案为：24．
分析：由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2BO，利用勾股定理求出BO=4，即得BD=8，利用=AC×BD计算即可.
12．答案：
解析：解：连接AE并延长交AB于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，如图
∵四边形ABCD是菱形
∴，AC=2OA=2OC，AC⊥BD
∵E点是△ABD的重心
∴点M是AB的中点
∴OM是△ABD的中位线
∴OM∥AD，AD=2OM
∴△OEM∽△AED
∴
∴AE=2OE
即
同理
∴EF=OE+OF=
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
∴AC=2OA=8
∴
故答案为：
分析：连接AE并延长交AB于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，根据菱形的性质得出，AC=2OA=2OC，AC⊥BD，利用相似得出△OEM∽△AED， ，AE=2OE，同理，在Rt△AOB中，由勾股定理得OA的值，由此得出结论。
13．答案：16
解析：解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O
∴点O是AC的中点
∵E为DC的中点
∴OE为△CAD的中位线
∴AD=2OE=2×2=4
∴菱形的周长为：4×4=16
故答案为：16
分析：由菱形的性质可得点O是AC的中点，从而得出OE为△CAD的中位线，可得AD=2OE=4，根据菱形的四边相等即可求解.
14．答案：
解析：解：还应满足 .
理由如下： ，F分别是 ， 的中点，
且 ，
同理可得： 且 ， 且 ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
即 ，
是菱形.
故答案是： .
分析：利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH，由此可推出四边形EFGH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此添加AD=BC即可.
15．答案：4
解析：解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；
②中，同①的证明方法；
③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；
④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分．
故有4个．
分析：根据菱形的判定方法即可得出答案.
16．答案：
解析：解：过点A作 ， ，垂足分别为E，F，如下图：
∴
由题意可得：
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∵纸条的宽都为4cm
∴
由勾股定理得：
∵
∴四边形 是平行四边形
在 和 中
∴
∴ ，
∴平行四边形 为菱形
重叠部分（图中阴影部分）的面积
故答案为
分析：先得出 为等腰直角三角形，得出 ，由纸条的宽都为4cm，得出，由勾股定理得出AB的值，由平行线的性质得出四边形 是平行四边形，由全等三角形的性质得出，得出 ，由此得出平行四边形 为菱形，从而得出图中阴影部分的面积。
17．答案：解：连接AC，与BD交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD与AC互相垂直且平分，
∵四边形AECF是正方形，
∴ ，
∵点E，F是对角线BD的三等分点，
∴ ，
∴ ，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得 ，即 ，
∴ ，
∴ ．
解析：先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
18．答案：证明：四边形BFCD是菱形，理由如下：
在中，∵，是的中线，
∴ ，
∵点是的中点，
∴AE=EF，
∵CF∥AB，
∴∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE，
∴△ADE≌△FCE，
∴CF=AD，
∴CF=BD=CD，
∵CF∥AB，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵CF=CD，
∴四边形BFCD是菱形．
解析：先利用三角形全等的性质得出△ADE≌△FCE，再根据菱形的判定定理即可证出结论。
19．答案：（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求作的菱形；
（2）解：∵AC＝8，BD＝6，且四边形ABCD是菱形，
∴AO＝ 4，DO＝ 3，且∠AOD＝90°
则AD＝ ＝ ＝5．
解析：（1）先画出AC的垂直平分线，垂足为O，然后截取OB=OD即可；（2）根据菱形的性质及勾股定理即可求出边长．
20．答案：（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝2，
∴DE＝AE＝AC＝AB＝2， ，
∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝ AC＝2 ，
∴BD＝BE﹣DE＝2 ﹣2．
解析：（1）利用旋转的性质得出AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，再根据AB＝AC，得出AE＝AF，再根据旋转的性质即可得出结论；
（2）根据四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝2，得出△ABE为等腰直角三角形，从而得出结论。
21．答案：（1）证明：∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，
∴∠BCE＝60°，BC=EC．
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACE＝30°=∠ACB．
∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACE(SAS)，
∴AB=AE；
（2）解：∵△ABC 绕点C顺时针旋转得到△DEC ，
∴AC=DC，AB=ED，
由（1）可知AB=AE，
∴AE=DE，
若AB=AC，则AC=AE，
∴AC=DC=DE=AE，
∴四边形ACDE是菱形．
解析：（1）由△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，得出∠BCE＝60°，BC=EC．而∠ACB＝30°，得出∠ACE＝30°=∠ACB．证出△ACB≌△ACE(SAS)， 即可得出结论；
（2）根据△ABC 绕点C顺时针旋转得到△DEC ，AB=AC， 得出AC=DC=DE=AE， 即可得出证明。
22．答案：（1）解：如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．
（2）解：四边形CDEF是菱形，
理由如下：
如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，
∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC，
∵BD＝BD，BE＝BC，
∴△DBE≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠BCD＝90°，
∴CD＝BD，ED＝BD，
∵F为BD的中点，
∴CF＝BD，EF＝BD，
∴CD＝ED＝CF＝EF，
∴四边形CDEF是菱形．
解析：（1）由旋转得出∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，可求出∠BCE的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数；
（2）证明△DBE≌△DBC（SAS），得出∠BED＝∠BCD＝90°，有直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半得出CD＝BD，ED＝BD，而F为BD的中点，则CF＝BD，EF＝BD，得出CD＝ED＝CF＝EF，即可得出结论。
23．答案：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形.
（2）解：菱形EBFD的面积= .
解析：（1）根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，根据AE=CF可推出OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，然后结合AC⊥EF以及菱形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行计算.
24．答案：（1）证明：
∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）解：（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
解析：（1）利用AAS证明，得出 ， 从而得出 四边形BCDE为平行四边形， 再根据 CE⊥BD， 即可得出结论；
（2） （ⅰ）根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE， 则 ∠BEO=∠DEO， 再根据平角的定义即可得出答案； （ⅱ）利用AAS证明，即可得出结论。