第12课时-直线、平面平行的性质定理
链教材 夯基固本
激活思维
1．(人A 必二P143T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( D )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
【解析】直线a不平行于平面α，包括两种情况：a α或a∩α＝P.当a α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误；当a α时，α内必然有直线与直线a平行，B错误；由B知C也错误；当a α时，直线a和平面α有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点P，D正确．
2．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( A )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内 D．平行或相交
【解析】如图，把这三条线段放在正方体内，显然AC∥EF.因为AC 平面EFG，EF 平面EFG，所以AC∥平面EFG.
3．(人A 必二P142T2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( D )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
【解析】对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；对于C，直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．
4．(人A 必二P142T1(1)改)(多选)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是( AB )
A．平面A′B′C′D′ B．平面DCC′D′
C．平面BCC′B′ D．平面A′D′DA
【解析】由于AB∥A′B′，AB 平面A′B′C′D′，A′B′ 平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，故A符合．同理证得AB∥平面DCC′D′，故B符合．而AB∩平面BCC′B′＝B，AB∩平面A′D′DA＝A，故C，D不符合．
聚焦知识
1．直线和平面平行
(1) 定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行．
(2) 判定方法：
文字语言 图形语言 符号语言
线线平行 线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 l∥α
面面平行 线面平行 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 a∥β
(3) 性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
线面平行 线线平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 l∥b
2．两个平面平行
(1) 定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行．
(2) 判定方法：
文字语言 图形语言 符号语言
线面平 行 面 面平行 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 α∥β
(3) 性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
面面平行 线线平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
3．常用结论
(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2) 平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3) 垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
研题型 能力养成
举题说法
与线、面平行相关命题的判定
例1 已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是( D )
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a α，b β，a∥b，则α∥β
C．若a∥β，a∥α，则α∥β
D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c
1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；
2．结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
线面平行的判定定理的应用
例2 (2023·武汉调研节选)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得到四棱锥A1-EFCB，P为A1C的中点．求证：FP∥平面A1BE.
【解答】如图，取A1B的中点Q，连接PQ，EQ.因为P为A1C的中点，所以PQ∥BC，且PQ＝BC.又EF∥BC，且EF＝BC，所以PQ∥EF，且PQ＝EF，所以四边形EFPQ为平行四边形，则FP∥EQ.又FP 平面A1BE，EQ 平面A1BE，所以FP∥平面A1BE.
判断或证明线面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点).
(2) 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
(4) 利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
变式 (2024·南京零模节选)如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，G是线段BF的中点，求证：EG∥平面DAF.
【解答】如图，连接OE，OG.在圆柱OE中，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，所以OE∥DA.又OE 平面DAF，DA 平面DAF，所以OE∥平面DAF.在△ABF中，O，G分别是AB和BF的中点，所以OG∥AF.又OG 平面DAF，AF 平面DAF，所以OG∥平面DAF.又OE∩OG＝O，OE，OG 平面OEG，所以平面OEG∥平面DAF.又EG 平面OEG，所以EG∥平面DAF.
线面平行的性质定理的应用
例3 (2023·阳江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点．
(1) 求证：PC∥平面BFD；
【解答】如图，连接AC，交BD于点O，连接OF.因为在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，所以PC∥FO.又因为PC 平面BFD，FO 平面BFD，所以PC∥平面BFD.
(2) 已知点M在PD上，且满足EC∥平面BFM，求的值．
【解答】如图，连接FM，交AD的延长线于点G，连接BG，交CD于点N，连接EF，FN，PG.易得EF∥CN，所以EF与NC共面．因为EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC＝FN，所以EC∥FN，所以四边形EFNC为平行四边形，所以EF＝CN＝CD，所以N为CD中点，所以D为AG中点，所以＝＝2，即＝2.
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
面面平行的判定定理与性质定理的应用
例4 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1) 求证：平面A1BD∥平面CD1B1；
【解答】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，AD∥BC，AD＝BC，所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又因为A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.同理，A1D∥平面CD1B1.又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D 平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2) 若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.
【解答】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝B1D1，所以B1D1∥l.
1．判定面面平行的主要方法：(1) 利用面面平行的判定定理；(2) 利用线面垂直的性质．
2．面面平行条件的应用：(1) 两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行；(2) 两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
变式 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1) 求证：平面A1C1G∥平面BEF;
【解答】因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1.因为A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG.又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G.因为A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2) 若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
【解答】因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，且平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，所以A1C1∥GH，所以GH∥AC.因为G为AB的中点，所以H为BC的中点．
随堂内化
1．(2024·九省联考)设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是( C )
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m α，l β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
【解析】对于A，m，l可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交或平行，故B错误；对于D，α∥β，故D错误；由线面平行的性质得C正确．
2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法错误的是( D )
A．E，F，G，H四点共面
B．平面EGH∥平面ABC1
C．直线A1A与FH异面
D．直线BC∥平面AFH
【解析】由题意知FG∥A1B1，且FG＝A1B1，EHA1B1，所以FG∥EH，则E，F，G，H四点共面，故A正确．因为GH∥BC1，GH 平面ABC1，BC1 平面ABC1，所以GH∥平面ABC1.易得EH∥平面ABC1，又EH∩GH＝H，EH，GH 平面EGH，所以平面EGH∥平面ABC1，故B正确．易得AA1∥平面BB1F，又FH 平面BB1F，且FH与AA1不平行，所以直线A1A与FH异面，故C正确．如图，取CC1的中点M，连接HM.因为HM∥BC，HM与平面AFH相交于点H，所以直线BC与平面AFH相交，故D错误．
3．(2023·合肥期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝( D )
A． B．
C． D．
【解析】如图，连接AC，与BE相交于点O，连接FO.因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FO，所以PA∥FO，则有＝.在平行四边形ABCD中，易得△AEO∽△CBO，所以＝.因为E为AD的中点，所以＝，从而＝.
4．(2024·南昌期初摸底)(多选)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN ∥平面ABC的有( AB )
A B C D
【解析】对于A，如图(1)，设P为AB的中点，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，则MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故A正确．对于B，如图(2)，设P为AB的中点，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故B正确．对于C，如图(3)，设P为AE的中点，连接NP，PB，设NP∩AC＝H，连接BH，则PN∥FE，PN＝FE，而FE∥GB，FE＝GB，故PN∥MB，PN＝MB，即四边形PNMB为平行四边形，所以MN∥PB.又MN 平面PNMB，MN 平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故C错误．对于D，如图(4)，连接AE，与FN交于点H，FN交AC于点G，则H为FN的中点，连接BH，BG.由于B为MF的中点，故BH∥MN.又MN 平面NMF，MN 平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故D错误．
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( C )
A．若m∥n，n α，则m∥α
B．若m α，n β，α∥β，则m∥n
C．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
D．若m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β
2．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不重合的平面．若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( D )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
3．(2023·重庆期末)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是( C )
A．MN∥平面ABE B．MN∥平面ADE
C．MN∥平面BDH D．MN∥平面CDE
【解析】根据题意得到正方体的直观图如图所示，取FH的中点O，连接ON，BO，易知ON与BM平行且相等，所以四边形ONMB为平行四边形，所以MN∥BO，因为BO与平面ABE(即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误. 因为平面ADE∥平面BCF，MN∩平面BCF＝M，所以MN与平面ADE相交，故B错误．因为BO 平面BDH，MN∥BO，MN 平面BDH，所以MN∥平面BDH，故C正确．显然M，N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误．
4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，E，F，G分别是AB，A1C1，A1B1的中点，O是BC1的中点．下列结论错误的是( D )
A．若P是AC1的中点，则OP∥A1B1
B．AC1∥平面B1CE
C．若该三棱柱有内切球，则AB∶AA1＝∶1
D．平面AGF∥平面EB1C
【解析】若P是AC1的中点时，OP∥AB，而AB∥A1B1，有OP∥A1B1，所以A正确．如图，连接OE，由OE为△ABC1的中位线，显然OE∥AC1且OE＝AC1，AC1 平面B1CE，OE 平面B1CE，所以AC1∥平面B1CE，所以B正确．设底面边长为a，球在底面的投影为底面ABC的内切圆，其半径为底面高的，则AA1＝2R＝×a＝AB，所以AB∶AA1＝∶1，所以C正确. 如图，过A作与BC平行的直线l，由l∥FG，可得平面AFG与底面ABC的交线为l，且l与直线EC相交，则平面AGF与平面EB1C相交，所以D错误．
二、 多项选择题
5．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论正确的是( ABC )
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．平面A1C1B∥平面ACD1
D．三棱锥D1-ADC的体积为
【解析】根据异面直线的定义易知直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确．因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以A1C1∥AC.又A1C1 平面ACD1，AC 平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确．同理可证BC1∥平面ACD1，又A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1 平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，故C正确．VD1-ADC＝×2××2×2＝，故D错误．
6．(2023·重庆模拟)如图，A，B，C，P，Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足PQ∥平面ABC的有( BD )
A B C D
【解析】对于A，如图(1)，连接BD，则BD∥PQ，又平面ABC∩BD＝B，则BD 平面ABC，所以PQ不平行于平面ABC，故A错误；对于B，因为PQ∥AC，PQ 平面ABC，AC 平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故B正确；对于C，如图(2)，取FN中点D，连接EF，MN，CD，BD，DQ，由正方体得AB∥EF，PQ∥MN，EF∥MN∥CD，所以AB∥PQ，同理AC∥DQ，CP∥BD，所以A，B，C，D，P，Q六点共面，故C错误；对于D，如图(3)，连接PD交AB于O，连接OC，在正方体中，由于四边形APBD为正方形，所以O为PD中点，又C为DQ中点，所以OC∥PQ，又PQ 平面ABC，OC 平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故D正确．
图(1) 图(2) 图(3)
三、 填空题
7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝____．
【解析】因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，所以EF∥BD1.因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，G在CC1上，BG 平面BD1G，且平面AEF∥平面BD1G，所以AF∥BG，所以＝＝.
8．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，平面α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝__9∶49__．
【解析】因为平面α∥平面ABC，所以A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，所以△PA′B′∽△PAB，△PB′C′∽△PBC，△PA′C′∽△PAC，所以PA′∶PA＝PB′∶PB＝A′B′∶AB，PB′∶PB＝PC′∶PC＝B′C′∶BC，PC′∶PC＝PA′∶PA＝A′C′∶AC，所以A′B′∶AB＝B′C′∶BC＝A′C′∶AC，故△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′2∶AB2.又因为PA′∶A′A＝3∶4，所以PA′∶PA＝A′B′∶AB＝3∶7，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝9∶49.
四、 解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1) 求证：QN∥平面PAD；
【解答】 (1) 因为N，Q分别为PB，PC的中点，所以QN∥BC.因为底面ABCD是菱形，所以BC∥AD，所以QN∥AD.因为QN 平面PAD，AD 平面PAD，所以QN∥平面PAD.
(2) 记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并给出证明．
【解答】直线l与平面PBD平行，证明如下：因为N，M分别为PB，PD的中点，所以MN∥BD.因为MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.因为平面CMN与底面ABCD的交线为l，MN 平面CMN，由线面平行的性质定理可得MN∥l.因为MN∥BD，所以BD∥l.因为BD 平面PBD，l 平面PBD，所以直线l∥平面PBD.
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．
(1) 若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG；
【解答】 因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为G为A1B1中点，所以A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.又A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.
(2) 若D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值．
【解答】如图，连接A1B，AB1，设AB1∩A1B＝O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝＝1.因为平面ACC1A1∩平面BC1D＝C1D，平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AD1，平面BC1D∥平面AB1D1，所以AD1∥C1D，所以＝＝1，即＝1.
B组 滚动小练
11．(2024·青岛期初调研)记Sn为等比数列{an}(an＞0)的前n项和，且a1a3＝16，2S1，S2，S3成等差数列，则S6＝( D )
A．26 B．24
C．128 D．126
【解析】因为2S1，S2，S3成等差数列，所以3S2＝2S1＋S3，即S3－S2＝2(S2－S1)，即a3＝2a2，所以等比数列{an}的公比为q＝＝2.因为{an}是每项均为正数的等比数列，由等比中项的性质可得a2＝＝4，则a1＝＝2，因此，S6＝＝＝126.
12．(2024·南昌期初摸底)如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为h.若h＝2，记圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则＝____．
【解析】如图，作出圆锥的轴截面SAB，设CD为水面，O为圆锥底面中心，O1为水面中心，则SO＝3，OO1＝2，所以SO1＝1，则△SDC∽△SAB，故＝，所以O1D＝R，故圆锥内水的体积为V1＝πR2·SO－π·(O1D)2·SO1＝πR2－πR2＝πR2，圆柱内水的体积为V2＝πr2h＝2πr2.由V1＝V2，得πR2＝2πr2，故＝.
13．(2024·邯郸一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2a sin C－2c cos A.
(1) 求sin 2A；
【解答】 因为c＝2a sin C－2c cos A，由正弦定理＝＝，得sin C＝2sin A sin C－2sin C cos A，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A－cos A＝，所以(sin A－cos A)2＝，得1－2sin A cos A＝ 2sin A cos A＝，即sin 2A＝.
(2) 若a＝2，求△ABC面积的最大值．
【解答】由(1)知sin A－cos A＝，2sin A cos A＝，A∈(0，π)，所以A∈，可得sin A＞0，cos A＞0，与sin2A＋cos2A＝1联立，解得得S△ABC＝bc sin A＝×bc.由余弦定理得cos A＝＝，所以b2＋c2＝4＋bc，得b2＋c2＝4＋bc≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立，即bc≤＝(5＋).故S△ABC≤××(5＋)＝，即△ABC面积的最大值为。(共33张PPT)
第12课时 直线、平面平行的性质定理
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标 解读 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面
面平行的有关性质.
2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中的平行问题.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果 过该直线的平面与此平面相交, 那么__________________ （简记为“线面平行 线线平 行”） _ __________
该直线与交线平行
二、平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面平行， 如果另一个平面 与这两个平面相 交,那么________ ______ _ __________
两条交线平行
知识拓展
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示.
自测诊断
1.已知 , 是空间两个不同的平面,命题“ ”,命题“平面 内有无数条直线与
平行”,则是 的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若 ,则平面 内的任意一条直线平行于另一个平面,故平面 内有无数条
直线与 平行,所以由可以推出 .
根据面面平行的判定定理,如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这
两个平面平行.
若平面 内有无数条直线与 平行,则 与 可能相交,不一定平行,所以由 不能推
出 .故选A.
2.如图,在三棱锥中,,分别是,上的点,且平面 ,
则( )
B
A.与相交 B.
C.与 异面 D.以上均有可能
[解析] 因为平面 平面,平面,所以 .
3.如图,已知平面 ,两条相交直线,分别与平面 , , 相交
于点,,与,,,若,,则 ( )
B
A.10 B.15 C.20 D.30
[解析] 由面面平行的性质定理知,所以 ,所以
.
4.如果直线平面 , ,则过点且平行于 的直线( )
C
A.只有一条,且不在平面 内 B.有无数条,且不一定在平面 内
C.只有一条,且在平面 内 D.有无数条,且一定在平面 内
[解析] 过直线与点作一平面 ,设平面 与平面 的交线为,因为直线平面 ,
所以 .在同一个平面内,过一点作已知直线的平行线,有且只有一条,所以选项C正确.
5.已知四棱锥的底面是平行四边形,点在棱上,,若 平面
,则 的值为( )
A
A.1 B. C.3 D.2
[解析] 如图,连接,交于点,连接, 四棱锥
的底面是平行四边形, 点在棱上, ,
平面,, .故选A.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面平行的性质
角度1 证明问题
典例1 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形, 是
的中点,在上取一点,过点和作平面,交平面 于
,点在线段上.求证: .
证明 如图,连接,设交于点,连接 .
四边形 是平行四边形,
是 的中点.
又是的中点, .
又 平面, 平面 ,
平面 .
又 平面,平面 平面, .
［对点训练1］ 如图所示,在多面体 中,四边形
,,均为正方形,为的中点,过点, ,
的平面交于点.证明: .
证明 ,, ,
四边形 为平行四边形,
.
又 平面, 平面 ，
平面 .
又 平面 平面, 平面 ,
.
角度2 计算问题
典例2 如图所示,四边形为空间四边形 的一个截面,且
该截面为平行四边形.
（1）求证:平面 .
证明 四边形为平行四边形, .
平面, 平面,平面 .
又 平面,平面 平面,.又 平面 ,
平面 ,
平面 .
（2）若,,求四边形 周长的取值范围.
解 设 .
, ,
则根据直线与平面平行的性质易知, ,
.
四边形 为平行四边形,
四边形的周长 .
又,,即四边形周长的取值范围是 .
［对点训练2］ 如图,直线平面 ,是平面 的另一侧的点,点 ,
,,线段,,分别交 于点,,,若, ,
,则 ___.
[解析] 因为 , 平面, 平面,所以 ,
即,所以,则 .
规律方法
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,常常将线面平行转化为该线与过该线的
一个平面和已知平面的交线平行.
题型二 平面与平面平行的性质
角度1 证明问题
典例3 如图①所示,在直角梯形中,,,,为 的中
点,,,分别为,,的中点,将沿折起,得到四棱锥 ,如图②所示.
①
②
求证:在四棱锥中,平面 .
证明 为的中点,为的中点, .
平面, 平面 ,
平面 .
由为的中点,得 .
, .
平面, 平面 ,
平面 ,
平面平面 .
平面,平面 .
［对点训练3］ 如图,在三棱锥中,是的中点,是的中点,点在 上，
且.证明:平面 .
证明 如图,取的中点,连接,,则,,因为 ,
,所以平面平面,所以平面 .
角度2 计算问题
典例4 如图,已知平面 , , ,且点在 , 的同
侧,过点的直线与 , 分别交于点,,过点的直线与 ,
分别交于点,,且,,,求 的长.
解 因为,所以经过直线与可确定平面 .
因为 , 平面, 平面,所以,所以 ,即
,解得,故的长为 .
［对点训练4］ 如图所示,是所在平面外一点,平面 平面
, 分别交线段,,于点,,,若 ,则
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为平面平面,平面与它们的交线分别为 ,
,所以 ,
同理,,易得, .
规律方法
（1）面面平行性质的运用关键是构造过该直线与所证平面平行的平面,这种方法往往
借助于成比例线段或平行四边形.
（2）与平行的性质有关的计算的三个关键点
①根据已知的面面平行关系推出线线平行关系.
②在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.
③利用所得关系计算求值.
题型三 平行关系的综合运用
典例5 在如图所示的正四棱锥 中,
,,为侧棱 上的点，且
.在侧棱上是否存在一点,使得平面 若存在,
求 的值；若不存在,试说明理由.
解 在侧棱上存在一点,使得平面,且 .
理由如下:如图,取的中点 ,
,, .
过点作的平行线交于点,连接,设与交于点 ,连接
,, .
在中,有 ,
平面, 平面 ,
平面 .
, .
又, 平面, 平面 ,
平面 .
, 平面平面 ,
又 平面,平面 .
［对点训练5］ 在长方体中,已知,为
的中点,在线段上是否存在点,使得平面平面 ？若存
在,请加以证明;若不存在,请说明理由.
解 存在,当为线段的中点时,平面平面 .
理由如下:如图,连接, ,
在长方体中,, .
又因为 平面, 平面 ,
所以平面 .
又为的中点,为 的中点,
所以,且 ,
故四边形为平行四边形,所以 .
又因为 平面, 平面,所以平面 .
又因为, 平面, 平面 ,
所以平面平面 .
规律方法
关于空间中线、面平行的内在联系
