2023-2024学年河南省许昌市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省许昌市高二下学期7月期末教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列，为其前项和若，公差，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知圆与抛物线的准线相切，则
A. B. C. D.
3.在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则
A. B. C. D.
4.已知三个正态密度函数的图像如图所示，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知平面上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是；；；．
A. B. C. D.
6.一圆形餐桌依次有、、、、、共有个座位．现让个大人和个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为
A. B. C. D.
7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有
A. B. C. D.
10.下列命题中，正确的命题的序号为( )
A. 已知随机变量服从二项分布，若，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大
11.若正方体的棱长为，且其中，，则下列结论正确的是
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 若，点的轨迹为一段圆弧
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则的方差为
13.已知，则
14.现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球每个取后不放回，若第四次取出的球为白球的概率是，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．年月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表年份代码分别对应的年份是：
年份代码
销量万台
求氢能源乘用车的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测年氢能源乘用车的销量；
为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各名，得到如表所示的数据：
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
(ⅰ)根据已知条件，填写上述列联表；
(ⅱ)依据的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，，
17.本小题分
如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是的中点，且．
求证：平面平面；
若斜三棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
函数
讨论的单调性；
若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：
19.本小题分
已知是抛物线：上任意一点，且到的焦点的最短距离为直线与交于，两点，与抛物线：交于，两点，其中点，在第一象限，点，在第四象限．
求抛物线的方程．
证明：．
设，的面积分别为，，其中为坐标原点，若，求．
答案解析
1.
【解析】解：由已知 ，得 ，
又 ，又 ，
所以 ，解得 或 舍去，
故．
故选：．
2.
【解析】解：圆与抛物线的准线相切，
抛物线的准线为 ，
圆 的圆心为，半径为，
，解得
3.
【解析】解：由题意可知，连续闯过前两关的概率，所以，
又闯过第一关的概率为，所以，
故．
故选C．
4.
【解析】解：因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以．
又图象的对称轴在图象的对称轴的左边，故有．
越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”，
由图象可知正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显更“矮胖”，
从而可知．
所以，，D错误，C正确．
5.
【解析】解：点，，点使，
点的轨迹是以、为焦点，的双曲线的右支，
可得，双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线没有公共点，
直线经过点斜率，与双曲线的右支也没有公共点，
而直线、与直线都与双曲线的右支有交点，
因此，在与上存在点使，满足“单曲型直线”的条件，
只有正确，
故选：．
6.
【解析】解：一圆形餐桌依次有、、、、、共有个座位、不妨看作是大、小、大、小、大、小或者
小、大、小、大、小、大两类型，三个大人的入座方法种，三个小孩的入座方法种，因而不同的入座方法总数为．
故选：．
7.
【解析】解：由题意可知，可作图如下，
点为过，两点且和轴相切的圆的切点，线段中点坐标为，
斜率为，
线段的垂直平分线方程为，
以为弦长的圆的圆心在直线上，
故设该圆圆心为，
又因为该圆与轴相切，所以圆的半径，，
所以，解得或，
当时，是钝角，故舍去．
所以，此时圆的方程为．
故选C．
8.
【解析】解：因为函数有三个零点，
所以方程有三个根，
即方程有三个根，
令，，
当时，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
，
当时，，
当时，，
，
所以在上，，单调递减，
作出的图象：
所以由图象可得，
故选D．
9.
【解析】解：由图可得，，故B错误，C正确，
，故A正确，D错误．
故选：．
10.
【解析】
解：对于，，解得，A错误；
对于，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；
对于，服从正态分布，，C正确；
对于，，则，，
由，解得，所以D正确．
故选BCD．
11.
【解析】解：因为，其中，，
所以点在平面内运动，
对于取中点、中点，连接，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
当时，则，
所以点在线段上运动，
因为平面，
所以无论点在任何位置，到平面的距离不变，即高不变，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确
对于取中点，中点，连接
当时，，
所以点在上运动，
假设平面，
又，平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面，与已知矛盾，故假设不成立，
所以不平行平面，
所以在上运动时，到平面的距离在变化，
所以三棱锥的体积不是定值，故B错误
对于连接，，，当时，可得、、三点共线，
将沿翻折至与平面共面，如下图所示
连接，当为与交点时，最小，即为，
因为，，均为面对角线，
所以，即为等边三角形，
又，，
所以，，
所以
在中，由正弦定理得，
所以，故C正确
对于以为原点，以、、为，，轴正方向建系，如图所示，
则，，设，
所以，，
所以
因为平面，平面，
所以，
又，，
所以，
所以，
整理得，
所以，即，，
所以点轨迹为线段，故D错误
故本题选AC．
12.
【解析】解：随机变量，
，
变量，
．
故答案为．
13.
【解析】解：由题意，．
故答案为．
14.
【解析】解：设选出的是第个袋子，连续四次取球的方法数为，
第四次取出的是白球的种数为：，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，
故对于任意的正整数，求第四次取出为白球的概率为：
．
所以，解得
故答案为．
15.解：因为，所以，
当时，，
由于满足，所以的通项公式为．
因为，所以
因为，
所以，
所以
．
【解析】
由数列的前项和，根据当时，即可求出数列的通项公式，根据等差数列通项公式求得进而可得．
由求得，利用求和公式、裂项求和方法即可求得结果．
16.解：年份的平均数，销量的平均数，
所以，
，
所以 ，
所以，
所以氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程为，
令，得，
所以预测年氢能源乘用车的销量约为万台．
根据男生和女生各名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
零假设该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得，
，
依据的独立性检验，可以推断不成立，
即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．
【解析】
利用已知数据和公式求线性回归方程，由方程进行数据预测
根据男生和女生各名补全列联表；
计算，与临界值比较下结论．
17.证明：取中点为，连接，
在底面内的射影恰好是中点，
平面，
又平面，，
又，，
平面，平面，，
平面，
又平面，
平面平面
解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，斜棱柱的高为，
，，，，，
， ，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】
取中点为，连接，推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面
建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值．
18.解：定义域为，，
对于方程，，
当，即时，，，在上单增，
当，即或时，方程有两不等根，，，
而，，
所以当时，，在上恒成立，在上单增；
当时，，或时，，时，，
所以在和上单增，在上单减，
综上，当时，在上单增；当时，在和上单增，在上单减；
所以要证，即证，即证，也即证成立．
设，函数，由知在上单增，且，所以时，，所以成立，原不等式得证．
【解析】
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
求出直线的斜率，要证，即证，令，，即证，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
19.解：设，易知，
准线方程为．
所以．
当时，取得最小值，
由，解得，
所以抛物线的方程为；
证明：设直线与轴交于点，因为直线的斜率显然不为，
所以设直线的方程为．
联立消去得，，
所以，，
所以，
联立消去化简得，，
所以，，
则，
所以；
因为，
所以，
即，
因为，，
所以，
即，
所以，
由知，
所以，
故，
所以，
即，
化简得，
解得或，
若，则，这与矛盾，
所以，，，，
所以．
【解析】
设，易知，准线方程为所以，由到的焦点的最短距离为可得；
设直线方程为，，，利用根与系数的关系计算即可；
由结论推出，从而可得，，，，所以．
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