(共27张PPT)
华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
4.1 相交线
3.同位角、内错角、同旁内角
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
1. 同位角、内错角、同旁内角都是指两个角之间的位置关
系，而不是大小关系.
2. 在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角的关键
是将复杂的图形分解为以下几个基本图
形： .其中，“ ”形构成同位角；“ ”
形构成内错角；“ ”形构成同旁内角.
知识点1 同位角
1. [2024·无锡锡山区月考]如图，直线 a ， b 被直线 c 所截，
下列各组角是同位角的是( B )
A. ∠1与∠2 B. ∠1与∠3
C. ∠2与∠3 D. ∠3与∠4
(第1题)
B
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2. 如图，直线 AB ， CD 被直线 EF 所截，如果∠2＝100°，
那么∠1的同位角等于 度.
(第2题)
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3. 如图，同位角有 对.
(第3题)
【点拨】
10
∠ PMN 和∠ PEF ，∠ PMN 和∠ PED ，∠ PMB 和
∠ PEF ，∠ PMB 和∠ PED ，∠ PMA 和∠ PEC ，∠ QMA
和∠ QEC ，∠ QMN 和∠ QEF ，∠ QMN 和∠ QED ，
∠ QMB 和∠ QEF ，∠ QMB 和∠ QED 都是同位角，一共
有10对.
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知识点2 内错角
4. 如图，与∠1是内错角的是( C )
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
(第4题)
C
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5. 如图，下列有关角的说法正确的是( C )
A. ∠1与∠2是同位角 B. ∠3与∠4是内错角
C. ∠3与∠5是对顶角 D. ∠4与∠5相等
(第5题)
C
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知识点3 同旁内角
6. [2024·重庆八中期末]如图，∠1的同旁内角为( D )
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
(第6题)
【点拨】
D
本题考查同旁内角的定义，关键是理解定义，能找到角
的同旁内角.
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7. 如图，下列说法中正确的是( B )
A. ∠2和∠5是内错角
B. ∠4和∠5是同旁内角
C. ∠3和∠5相等
D. ∠3和∠1相等
B
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知识点4 相交线所成的角的关系
8. [情境题 手指舞]数学课上老师用双手形象地表示了“三线
八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代
表截线).从左至右依次表示的是( D )
D
A. 同旁内角、同位角、内错角
B. 同位角、内错角、对顶角
C. 对顶角、同位角、同旁内角
D. 同位角、内错角、同旁内角
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9. [母题 教材P178练习T2] 如图，若∠2＝110°，则∠1的
内错角等于 ，∠1的同位角等于 ，∠1的
同旁内角等于 ，∠1的内错角等于它的
，因为它们是 角.
(第9题)
70°
70°
110°
同位
角
对顶
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易错点 对三种位置角的基本图形理解不透彻而致错
10. 如图，下列说法中不正确的是( D )
A. ∠1和∠2是同旁内角
B. ∠1和∠ ACE 是内错角
C. ∠ B 和∠4是同位角
D. ∠3和∠1不是内错角
(第10题)
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【点拨】
通过分离图形，把每一对角从复杂图形中分离出来，
观察分离出的角的形状结构特征，按定义法加以区分.本
题易因对三种位置角的形状结构图理解不透彻而致错.
【答案】D
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利用同位角的定义识别角
11. 如图，已知直线 EF 与 AB 交于点 M ，与 CD 交于点 O ，
OG 平分∠ DOF ，∠ COM ＝120°，∠ EMB ＝
∠ COF .
(1)求∠ FOG 的度数；
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【解】因为∠ COM ＝120°，∠ COM
＝∠ DOF ，
所以∠ DOF ＝120°.
因为 OG 平分∠ DOF ，
所以∠ FOG ＝ ∠ DOF ＝60°.
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(2)写出与∠ FOG 互为同位角的角；
【解】与∠ FOG 互为同位角的角是
∠ BMF .
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(3)求∠ AMO 的度数.
【解】因为∠ COM ＝120°，∠ COM ＋∠ COF ＝180°，
所以∠ COF ＝60°.
因为∠ EMB ＝ ∠ COF ，所以∠EMB ＝30°，
所以∠ AMO ＝∠ EMB ＝30°.
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利用相交角的定义对角进行计数
12. [新考法 分解基本图形法]复杂的数学问题我们常会把它
分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一
种常见的数学解题思想.
(1)如图①，直线 l1， l2被直线 l3所截，在这个基本图形
中，形成了 对同旁内角；
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(2)如图②，平面内三条直线 l1， l2， l3两两相交，交点分
别为 A ， B ， C ，图中一共有 对同旁内角；
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(3)平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同
旁内角；
(4)平面内 n ( n ≥3)条直线两两相交，最多可以形成
对同旁内角.
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n
( n －1)( n －2)
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利用“三线八角”的特征探究角的关系
13. 如图，直线 DE ， BC 被直线 AB ， AC 所截.
(1)∠2与∠ B 是什么角？若∠1＝∠ B ，则∠2与∠ B 有何
数量关系？请说明理由.
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【解】∠2与∠ B 是同旁内角.∠2＋∠B ＝180°.
理由：因为∠1＋∠2＝180°，
∠1＝∠ B ，
所以∠2＋∠ B ＝180°.
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(2)∠3与∠ C 是什么角？若∠4＋∠ C ＝180°，则∠3与
∠ C 有何数量关系？请说明理由.
【解】∠3与∠ C 是同位角.∠3＝∠ C .
理由：因为∠4＋∠3＝180°，∠4＋∠ C ＝180°，
所以∠3＝∠ C .
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利用相交角探求路线的描述
14. [新考法 模拟描述法]如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则
是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以
后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位角或
内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始角∠1跳到终
点角∠3的路径有：
路径1：∠1 ∠9 ∠3.
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路径2：
∠1 ∠12 ∠6 ∠10 ∠3.
试一试：(1)写出从起始角∠1跳到终点角∠8的一种
路径；
【解】路径：
∠1 ∠12 ∠8.(答案不唯一)
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(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺
序跳，能否跳到终点角∠8？能的话，写出其路径.
【解】从起始角∠1依次按同位角、内
错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终
点角∠8.其路径为
∠1 ∠10 ∠5 ∠8
.
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华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
4.1 相交线
2.垂线 第2课时 垂线段
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
垂线、垂线段和点到直线的距离的区别与联系
区别：它们是三个不同的概念，不能混淆，垂线是直线；
垂线段是线段，垂线和垂线段是几何图形；点到直线的距
离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量. 联系：它们
都与垂直相联系.
知识点1 垂线段及其性质
1. [情境题 生活应用]如图，斑马线的作用是引导行人安全地
通过马路，小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更
为合理，这一想法体现的数学依据是( A )
A
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A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 两点之间，线段最短
2. [2024·杭州上城区月考]如图，点 P 是直线 l 外一点， PQ
⊥ l ，垂足为点 Q ，点 T 是直线 l 上的一个动点，连结
PT ，则( C )
A. PT ≥2 PQ
B. PT ≤2 PQ
C. PT ≥ PQ
D. PT ≤ PQ
C
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知识点2 点到直线的距离
3. 如图， AB ⊥ AC ， AD ⊥ BC ，垂足分别为 A ， D ，则图
中能表示点到直线的距离的线段的长有( D )
A. 2条 B. 3条
C. 4条 D. 5条
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【点拨】
利用点到直线的距离的定义分析，可得线段 AB 的长表
示点 B 到 AC 的距离，线段 CA 的长表示点 C 到 AB 的距
离，线段 AD 的长表示点 A 到 BC 的距离，线段 BD 的长表
示点 B 到 AD 的距离，线段 CD 的长表示点 C 到 AD 的距
离，故选D.
【答案】D
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易错点 对垂线段的性质理解不透彻而致错
4. [2024·北京四中月考]点 P 为直线 m 外一点，点 A ， B ， C
为直线 m 上三点， PA ＝4 cm， PB ＝5 cm， PC ＝2 cm，
则点 P 到直线 m 的距离( D )
A. 等于4 cm B. 等于2 cm
C. 小于2 cm D. 不大于2 cm
【点拨】
点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度.虽
然垂线段最短，但是本题中并没有说明 PC 是垂线段，所
以垂线段的长度可能小于2 cm，也可能等于2 cm.
D
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利用垂线段的性质进行方案设计
5. 如图，平原上有 A ， B ， C ， D 四个村庄，为解决当地缺
水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 的位置，使
它到四个村庄的距离之和最小.
【解】如图，连结 AD ， BC ，交于点 H ，则 H 点为蓄水池的位置.
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(2)计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短？并说明
根据.
【解】如图，过点 H 作 HG ⊥
EF ，垂足为 G ，则沿 HG 开渠
最短.根据：连结直线外一点与
直线上各点的所有线段中，垂
线段最短.
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利用垂线段的性质探究原理
6. [新考法 建模思想]噪声对环境的影响与距离有关，与噪声
来源距离越近，噪声越大.如图，一辆汽车在笔直的公路
AB 上由点 A 向点 B 行驶， M 是位于 AB 一侧的某所学校.
通过画图回答下列问题，并说明理由.
(1)汽车行驶到什么位置时，学校 M 受噪声影响最严重？
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【解】如图，过点 M 作 AB 的垂
线，垂足为 P ，当汽车行驶到 P
点时，与学校 M 距离最近，学校
M 受噪声影响最严重.
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(2)在什么范围内，学校 M 受噪声影响越来越大？在什么
范围内，学校 M 受噪声影响越来越小？
【解】如图，汽车行驶在 AP 段时，与学校 M 的距离越来越近，学校 M 受噪声影响越来越大；汽车行驶在 PB 段时，与学校 M 的距离越来越远，学校 M 受噪声影响越来越小.
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6(共32张PPT)
华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
4.2 平行线
1.平行线
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系：(1)相
交；(2)平行.重合的直线视为一条直线，不属于相交与
平行中任何一种位置关系.
2. 平行线的定义的“三要素”：(1)同一平面内；(2)两条直
线；(3)不相交.
知识点1 两直线的位置关系
1. [2024·衡水三中月考]在同一平面内，不重合的两条直线的
位置关系是( C )
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 平行、相交或垂直
C
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2. [新考法 操作实践题]如图，将一张长方形纸对折三次，则
产生的折痕与折痕间的位置关系是( C )
A. 平行 B. 垂直
C. 平行或垂直 D. 无法确定
C
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3. [荣德原创题]如图，能相交的是 ，平行的
是 .(填序号)
②
③
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知识点2 平行线的画法
4. 如图， P 是线段 AB 的中点，过点 P 画 BC 的平行线交 AC
于点 Q ，再过点 Q 画 AB 的平行线交 BC 于点 S .
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(1)用刻度尺测量后确定 AQ 与 QC ， CS 与 BS 的数量
关系.
经测量得到 AQ ＝ QC ， CS ＝ BS .
(2)用刻度尺测量后确定 PQ 与 BC ， QS 与 AB 的数量
关系.
经测量得到 PQ ＝ BC ，
QS ＝ AB .
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(3)你发现了什么？用简洁的语言把你发现的规律叙述
出来.
【解】所画图形如图所示.
经过三角形一边的中点，画另一边的平行线，则这条
平行线平分第三边；连接三角形两边中点的线段的长
度等于第三边长度的一半.
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知识点3 平行线的唯一性
5. [母题 教材P183做一做] 已知直线 AB 和一点 P ，过点 P
画直线 AB 的平行线，可画( C )
A. 1条 B. 0条
C. 1条或0条 D. 无数条
【点拨】
若点 P 在直线 AB 外，过点 P 只能画出1条直线与直线
AB 平行，若点 P 在直线 AB 上，过点 P 不能画出与直线
AB 平行的直线.
C
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6. 在同一平面内，直线 m ， n 相交于点 O ，且 l ∥ n ，则直
线 l 和 m 的关系是( B )
A. 平行 B. 相交
C. 重合 D. 以上都有可能
B
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7. [2024·济南外国语学校月考]如图， MC ∥ AB ， NC ∥
AB ，则点 M ， C ， N 在同一条直线上.理由是
.
(第7题)
过直线
外一点有且只有一条直线与这条直线平行
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知识点4 平行线的传递性
8. 互不重合的三条直线 a ， b ， c ，若 a ∥ c ， b ∥ c ，则 a
与 b 的位置关系是( B )
A. a ⊥ b B. a ∥ b
C. a ⊥ b 或 a ∥ b D. 无法确定
B
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9. 如图， AB ∥ CD ，过点 E 画 EF ∥ AB ，则 EF 与 CD 的位
置关系是 ，理由是
.
(第9题)
EF ∥ CD
如果两条直线都和第
三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
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易错点 对平行线的唯一性理解不透彻而致错
10. 如图，平面内有 A ， B ， C 三点，且三点不在同一条直
线上，过这三点画两条平行线，这样的平行线能画几
种？画图说明.
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【解】能画三种，如图所示.
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利用平行线的画法按要求作图
11. 如图，在方格纸中，有两条线段 AB ， BC .
(1)利用方格纸完成以下操作：①过点 A 作 BC 的平行
线；②过点 C 作 AB 的平行线，与①中的平行线交于
点 D ；③过点 B 作 AB 的垂线 BE ，与①中的平行线交
于点 E ；
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【解】如图所示.
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(2)用符号表示所作图形中的平行和垂直关系.
【解】 AB ∥ CD ， AE ∥ BC ， BE ⊥ AB ， BE ⊥ DC .
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利用平行线的定义找出平行线
12. [情境题 生活应用]如图，在书写艺术字时，常常运用画
“平行线段”这种基本作图方法，此图是书写的字母
“M”.
(1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平
行线段，并用字母表示出来.
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【解】(答案不唯一)正面： AB ∥ EF ；上面：
A ' B '∥ AB ；右面： DD '∥ HR .
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(2) EF 与A'B'有何位置关系？CC'与 HR 有何位置关系？
【解】 EF ∥ A ' B '， CC '∥ HR .
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(3)图中 AB 所在的直线与 RH 所在的直线有公共点吗？若
没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出
一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平
行线的概念时，应注意什么？
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【解】没有公共点；不能说明这两条直线平行；具有类似位置关系的直线：直线BB'与直线 EF (答案不唯
一)；这样的两条直线不在同一个平面内，所以在叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
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利用度量法探究画平行线中角的关系
13. [新考法 实验比较法]实践：
(1)画∠ AOB ＝60°，在∠ AOB 内任取一点 P ，过点 P
作直线 CD ∥ OA ，再过点 P 作直线 EF ∥ OB ；
(2)测量∠ CPE ，∠ EPD ，∠ DPF ，∠ CPF 的度数.
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利用度量法探究画平行线中角的关系
13. [新考法 实验比较法]实践：
(1)画∠ AOB ＝60°，在∠ AOB 内任取一点 P ，过点 P
作直线 CD ∥ OA ，再过点 P 作直线 EF ∥ OB ；
【解】实践：如答图所示.
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【解】 ∠ CPE ＝120°，∠ EPD ＝60°，∠ DPF ＝
120°，∠ CPF ＝60°.
(2)测量∠ CPE ，∠ EPD ，∠ DPF ，∠ CPF 的度数.
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【解】探究：平行.
探究：
(1)这些角的边与∠ AOB 的边有何位置关系？
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(2)这些角与∠ AOB 之间存在什么关系？
发现：把你的发现用一句话概括出来.
【解】相等或互补.
发现：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相
等或互补.
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利用直线的位置关系探究直线分平面的情况
14. [新考法 数形结合法]先阅读，然后解答.
问题：两条直线将平面分成几部分？
解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部
分；如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四
部分.
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(1)上面问题的解题过程应用了 (填“转化”“分
类”或“整体处理”)的数学思想.
分类
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(2)三条直线将平面分成几部分？请画出来.
【解】(2)如答图，三条直线将平面分成四或六或
七部分.
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华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
4.1 相交线
2.垂线 第1课时 垂线及其性质
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
1. 有关垂线或垂直的题目中，一定要明确垂线，直角与垂
直之间存在着“形影不离”的关系，只要知其一，即可
得到90°的角，并由此找到解题的切入点.
2. 垂线的基本事实理解：(1)大前提是“在同一平面内”；
(2)“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指
“唯一”；(3)“过一点”的“点”在直线“外”或在直
线“上”.
知识点1 垂直的定义
1. 如图，若 CD ⊥ EF ，∠1＝∠2，则 AB ⊥ EF ，请说明理
由(补全解题过程).
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解：因为 CD ⊥ EF ，
所以∠1＝ °(垂直的定义).
所以∠2＝∠1＝ °.
所以 AB EF (垂直的定义).
90
90
⊥
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2. 已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；②两条直线
互相垂直；③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因
果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有
( D )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
D
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3. [新趋势·跨学科 2023 江西]如图，平面镜 MN 放置在水平
地面 CD 上，墙面 PD ⊥ CD 于点 D ，一束光线 AO 照射到
镜面 MN 上，反射光线为 OB ，点 B 在 PD 上，若∠ AOC
＝35°，则∠ OBD 的度数为( C )
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 65°
(第3题)
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【点拨】
利用光的反射得∠ BOD ＝∠ AOC ＝35°，根据垂直的
定义得∠ ODB ＝90°，再利用三角形内角和等于180°即
可得出答案.
【答案】C
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4. [2023·北京]如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝
126°，则∠ BOC 的大小为( C )
A. 36° B. 44°
C. 54° D. 63°
(第4题)
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【点拨】
因为∠ AOC ＝90°，∠ AOD ＝126°，
所以∠ COD ＝∠ AOD －∠ AOC ＝36°.
因为∠ BOD ＝90°，
所以∠ BOC ＝∠ BOD －∠ COD ＝90°－36°＝54°.
【答案】C
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知识点2 垂线的画法
5. [母题 教材P173试一试] 下列选项中，利用三角尺过点 P
画直线 AB 的垂线 CD ，画法正确的是( C )
C
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6. 用无刻度直尺在网格中画图(图中的点 A ， B ， C 都在网
格的格点上，不写作法).
(1)过点 A 作 BC 的垂线 OA ，垂足为 O ；
【解】如图.
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(2)作线段 BC 的垂直平分线 EF .
【解】如图.
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知识点3 垂线的基本事实
7. [2024·石家庄桥西区月考]如图，在平面内作已知直线 m 的
垂线，可作( D )
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 无数条
D
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8. 已知直线 AB ， CB ， l 在同一平面内，若 AB ⊥ l ，垂足
为 B ， CB ⊥ l ，垂足也为 B ，则符合题意的图形可以是
( C )
【点拨】
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直.
C
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易错点 考虑问题不全，忽视特殊情况而致错
9. 在同一平面内，若 A ， C 是直线 l 上两点， B ， D 是直线 l
外两点，则过点 A 能画 条直线与 l 垂直；过点 B 能
画 条直线与 l 垂直；过 C ， D 两点 (填
“能”“不能”或“不一定能”)画一条直线与 l 垂直.
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不一定能
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在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.这里的“过一点”无论是指过直线上一点还是直线外
一点，结论都成立，所以前两空均填1；第三空填“不一
定能”，因为两点确定一条直线，要过 C ， D 两点画直
线，直线的位置就确定了，这条直线可能垂直于直线 l ，
也可能不垂直于直线 l .
【点拨】
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利用垂直的定义说明两直线垂直
10. (1)如图①， OC 是∠ AOE 内的一条射线， OB 是∠ AOC
的平分线， OD 是∠ COE 的平分线，∠ AOE ＝120°，
求∠ BOD 的度数；
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【解】因为 OB 是∠ AOC 的平分线，所以∠ BOC ＝
∠ AOC . 同理，∠ DOC ＝ ∠ EOC .
所以∠ BOD ＝∠ BOC ＋∠ DOC ＝ ∠ AOC ＋
∠ EOC ＝ (∠ AOC ＋∠ EOC )＝ ∠ AOE .
因为∠ AOE ＝120°，所以∠ BOD ＝ ×120°＝60°.
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(2)如图②，点 A ， O ， E 在一条直线上， OB 是∠ AOC
的平分线， OD 是∠ COE 的平分线，请说明 OB ⊥
OD .
【解】由(1)可知∠ BOD ＝ ∠ AOE .
又因为∠ AOE ＝180°，所以∠ BOD ＝ ×180°＝90°.
所以 OB ⊥ OD .
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利用垂线说明两角的关系
11. [2024·上海黄浦区月考]已知：如图， OA ⊥ OC 于点 O ，
OB ⊥ OD 于点 O ( OB 在∠ AOC 内部)，∠ BOC ＝24°.
(1)求∠ AOD 的度数；
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【解】因为 OA ⊥ OC ，
所以∠ AOC ＝90°.
又因为∠ BOC ＝24°，
所以∠ AOB ＝∠ AOC －∠ BOC ＝
90°－24°＝66°.
因为 OB ⊥ OD ，所以∠ BOD ＝90°.
所以∠ AOD ＝∠ BOD ＋∠ AOB ＝
90°＋66°＝156°.
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(2)推断∠ BOC 与∠ AOD 的关系，并说明理由.
【解】∠ BOC 与∠ AOD 是互补关系.
理由如下：
由(1)知∠ AOB ＝∠ AOC －∠ BOC ＝90°－
∠ BOC ，∠ AOD ＝∠ BOD ＋∠ AOB ，
所以∠ AOD ＝90°＋90°－∠ BOC ＝180°－∠ BOC .
所以∠ AOD ＋∠ BOC ＝180°.
即∠ BOC 与∠ AOD 是互补关系.
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利用垂线的性质探求两角关系
12. [新考法 操作度量法]点 P 与∠ A 的位置关系如图.
(1)在图①、图②中，以 P 为顶点作出∠ P (0°＜∠ P ＜
180°)，使∠ P 的两边分别和∠ A 的两边垂直.
【解】略.
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(2)量一量∠ P 和∠ A 的度数，分别写出∠ P 与∠ A 的数
量关系.
在图①中，∠ P ＝ ；
在图②中，∠ P ＝ .
【解】量角的度数略.
180°－∠ A
∠ A
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利用垂直的定义求角的度数
13. [新考法·传承数学文化 2023 金昌]汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”.为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 AB 与地面 CD 所成夹角∠ ABC ＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 EF 与地面的夹角∠ EBC ＝( B )
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如图，根据 BM ⊥ CD ，得∠ CBM ＝90°.所以
∠ ABE ＋∠ FBM ＝180°－90°－50°＝40°.再由题意
得∠ ABE ＝∠ FBM ，所以∠ ABE ＝∠ FBM ＝20°，
即可得∠ EBC ＝20°＋50°＝70°.
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 85°
【点拨】
【答案】B
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13(共26张PPT)
华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
4.2 平行线
3.平行线的性质
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
说明两角数量关系的方法：
1. 利用同角(或等角)的余角相等；
2. 利用同角(或等角)的补角相等；
3. 利用对顶角相等；
4. 利用邻补角互补；
5. 利用两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角
互补；
6. 利用等式的性质.
知识点1 两直线平行，同位角相等
1. 将一个含45°角的直角三角尺按如图所示的位置摆放在直
尺上.若∠1＝28°，则∠2的度数为( C )
A. 152° B. 135°
C. 107° D. 73°
(第1题)
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【点拨】
如图，
因为∠1＝28°，∠3＝45°，
所以∠4＝180°－∠1－∠3＝107°.
因为直尺上下两边平行，
所以∠2＝∠4＝107°.
故选C.
【答案】C
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2. [2024·长沙开福区月考]如图， AB ∥ CD ， AE ∥ CF ，∠
BAE ＝75°，则∠ DCF 的度数为( C )
A. 65° B. 70°
C. 75° D. 105°
(第2题)
C
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3. [新考法 过程性学习]阅读下列材料，①～④步中数学依据
错误的是( B )
如图，已知直线 b ∥ c ， a ⊥ b ，试说明： a ⊥ c .
解：因为 a ⊥ b (已知)，
①所以∠1＝90°(垂直的定义).
又因为 b ∥ c (已知)，
②所以∠1＝∠2(同位角相等，两直线平行).
③所以∠2＝∠1＝90°(等量代换).
④所以 a ⊥ c (垂直的定义).
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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【点拨】
因为 a ⊥ b (已知)，
①所以∠1＝90°(垂直的定义).
又因为 b ∥ c (已知)，
②所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).
③所以∠2＝∠1＝90°(等量代换).
④所以 a ⊥ c (垂直的定义).
所以错误的是②.
故选B.
【答案】B
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知识点2 两直线平行，内错角相等
4. [情景题·生活应用 2023 广东]如图，街道 AB 与 CD 平行，
拐角∠ ABC ＝137°，则拐角∠ BCD ＝( D )
A. 43°
B. 53°
C. 107°
D. 137°
D
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5. [2023·岳阳]如图，已知 AB ∥ CD ，点 E 在直线 AB 上，点
F ， G 在直线 CD 上， EG ⊥ EF 于点 E ，∠ AEF ＝
40°，则∠ EGF 的度数是( C )
A. 40° B. 45°
C. 50° D. 60°
(第5题)
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【点拨】
因为 EG ⊥ EF ，所以∠ FEG ＝90°.
又因为∠ AEF ＋∠ FEG ＋∠ BEG ＝180°，∠ AEF ＝
40°，
所以∠ BEG ＝180°－∠ AEF －∠ FEG ＝50°.
因为 AB ∥ CD ，
所以∠ EGF ＝∠ BEG ＝50°.故选C.
【答案】C
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知识点3 两直线平行，同旁内角互补
6. [2023·重庆]如图， AB ∥ CD ， AD ⊥ AC ，若∠1＝
55°，则∠2的度数为( A )
A. 35° B. 45°
C. 50° D. 55°
(第6题)
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【点拨】
因为 AB ∥ CD ，
所以∠ BAC ＋∠1＝180°.
因为∠1＝55°，所以∠ BAC ＝125°.
因为 AD ⊥ AC ，所以∠ CAD ＝90°，
所以∠2＝∠ BAC －∠ CAD ＝35°.
故选A.
【答案】A
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7. [母题·教材P195习题T5 2023 陕西]如图， l ∥ AB ，∠ A ＝
2∠ B . 若∠1＝108°，则∠2的度数为( A )
A. 36° B. 46°
C. 72° D. 82°
(第7题)
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如图，
因为∠1＝108°，
所以∠3＝∠1＝108°.
因为 l ∥ AB ，
所以∠3＋∠ A ＝180°，
【点拨】
【答案】A
∠2＝∠ B ，
所以∠ A ＝180°－∠3＝72°.
因为∠ A ＝2∠ B ，所以∠ B ＝36°，所以∠2＝36°.
故选A.
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8. [2024·湖北荆州期中]如图①是一个由齿轮、轴承、托架等
元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如
图②是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知
AB ∥ CD ， CG ∥ EF ，∠ BAG ＝145°，∠ C ＝130°，
则∠ AGC 的度数为 .
85°
(第8题)
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易错点 利用平行线的性质时易忽视“两直线平行”这一前
提而出错
9. 已知∠1与∠2是同旁内角.若∠1＝50°，则∠2的度数是
( D )
A. 50° B. 130°
C. 50°或130° D. 不能确定
【点拨】
本题易忽略利用平行线的性质的前提而误用平行线的性
质.本题没有说明两直线平行，因此同旁内角的数量关系
是不确定的.
D
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利用平行线的性质求角的度数
10. 如图， AB ∥ CD ，三角形 EFG 的顶点 F ， G 分别落在
直线 AB ， CD 上， GE 交 AB 于点 H ， GE 平分∠ FGD .
若∠ EFG ＝90°，∠ E ＝35°，求∠ EFB 的度数.
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【解】在三角形 EFG 中，
∠ EFG ＝90°，∠ E ＝35°，
所以∠ EGF ＝180°－90°－35°＝55°.
因为 GE 平分∠ FGD ，
所以∠ EGF ＝∠ EGD ＝55°.
因为 AB ∥ CD ，所以∠ EHB ＝∠ EGD ＝55°.
又因为∠ EHB ＝180°－∠ AHE ＝180°－(180°－
∠ EFB －∠ E )＝∠ EFB ＋∠ E ，
所以∠ EFB ＝∠ EHB －∠ E ＝55°－35°＝20°.
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利用平行线的性质说明两角互补
11. 如图，已知 AD ⊥ BC ， EF ⊥ BC ，∠1＝∠2.
(1)试说明 EF ∥ AD ；
【解】因为 AD ⊥ BC ， EF ⊥ BC ，
所以 EF ∥ AD .
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(2)试说明∠ BAC ＋∠ AGD ＝180°.
【解】因为 EF ∥ AD ，
所以∠1＝∠ BAD .
又因为∠1＝∠2，
所以∠2＝∠ BAD ，
所以 DG ∥ BA ，
所以∠ BAC ＋∠ AGD ＝180°.
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利用平行线的性质说明角的关系
12. 如图，已知 AD ⊥ BC 于点 D ， EG ⊥ BC 于点 G ，∠ E
＝∠3. AD 是∠ BAC 的平分线吗？若是，请说明理由.
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【解】 AD 是∠ BAC 的平分线.理由如下：
因为 AD ⊥ BC ， EG ⊥ BC ，
所以 EG ∥ AD .
所以∠3＝∠1，∠ E ＝∠2.
又因为∠ E ＝∠3，
所以∠1＝∠2，即 AD 是∠ BAC 的平分线.
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利用平行线的判定和性质求角的度数
13. [新考法 构造基本图形法] (1)如图①，若 AB ∥ DE ，∠ B
＝135°，∠ D ＝145°，求∠ BCD 的度数.
【解】如图①，
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过点 C 作 CG ∥ AB ，
所以∠ B ＋∠ BCG ＝180°.
因为 AB ∥ DE ，所以 CG ∥ DE .
所以∠ GCD ＋∠ D ＝180°.
所以∠ B ＋∠ BCG ＋∠ GCD ＋∠ D ＝180°＋
180°，即∠ B ＋∠ BCD ＋∠ D ＝360°.
所以∠ BCD ＝360°－∠ B －∠ D ＝360°－135°－
145°＝80°.
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(2)如图②， AB ∥ EF ，直接写出∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠
E 的度数.
【解】∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E
＝540°.
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华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
4.1 相交线
1.对顶角
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
1. 判断两个角是否为对顶角，需看它们是否满足以下两
点：(1)有公共顶点；(2)一个角的两条边分别是另一个角
的两条边的反向延长线.
2. 解决相交线中求角的度数的问题时，通常用“对顶角相
等”这一等量关系将未知角和已知角联系起来.
知识点1 邻补角和对顶角
1. [母题 教材P172练习T1] 下列图形中，∠1和∠2不是对
顶角的有( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
C
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2. 如图，∠1的邻补角是( B )
A. ∠ BOC
B. ∠ BOE 和∠ AOF
C. ∠ AOF
D. ∠ BOE 和∠ AOF 和∠ DOF 和∠ BOC
B
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3. 平面上三条不同的直线相交最多能形成对顶角( A )
A. 6对 B. 5对
C. 4对 D. 3对
A
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知识点2 对顶角的性质
4. [情境题·生活应用 2024 广州韶关期中]生活中常见的伸缩
门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当
∠AOB 减小10°时，∠ COD 的度数( A )
A. 减小10° B. 增大10°
C. 增大20° D. 不变
(第4题)
A
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5. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，若∠1＝80°，∠2＝
30°，则∠ AOE 的度数为( B )
A. 30° B. 50°
C. 60° D. 80°
(第5题)
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【点拨】
因为∠ AOD ＝∠1＝80°，
所以∠ AOE ＝∠ AOD －∠2＝80°－30°＝50°.
故选B.
【答案】B
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易错点 因图形不明确，考虑问题不全面而出错
6. 两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是( x －
20)°和(3 x －100)°，则 x ＝ .
40或75
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利用邻补角和对顶角的定义和性质求角的度数
7. 如图，直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O .
(1)请写出∠ AOC ，∠ AOE ，∠ EOC 的对顶角；
【解】∠ AOC 的对顶角是∠ BOD ，
∠ AOE 的对顶角是∠ BOF ，∠ EOC 的
对顶角是∠ DOF .
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(2)若∠ AOC ＝40°，求∠ BOD ，∠ BOC 的度数.
【解】因为∠ AOC 的对顶角是∠ BOD ，
∠ AOC ＝40°，
所以∠ BOD ＝40°.
因为∠ BOC 是∠ BOD 的邻补角，
所以∠ BOC ＝180°－40°＝140°.
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利用对顶角的定义探究对顶角计数规律
8. [新考法 基本图形法]如图中的直线都相交于一点.
(1)请填写下表：
图形编号 ① ② ③ …
对顶角/对 2 6 12 …
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(2)若 n 条直线相交于一点，则共有多少对对顶角？
【解】共有 n ( n －1)对对顶角.
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8(共27张PPT)
华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
4.2 平行线
2.平行线的判定
01
认知基础练
02
素养提升练
目 录
CONTENTS
名师点金
判定两直线平行的方法：
1. 角的大小关系：同位角相等，两直线平行；内错角相
等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
2. 直线的位置关系：在同一平面内，垂直于同一条直线的
两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行.
知识点1 同位角相等，两直线平行
1. 如图，直线 a ， b 被直线 c 所截，当∠1 ∠2时， a
∥ b .(填“＞”“＜”或“＝”)
(第1题)
＝
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2. [情境题 交通运输]如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁
轨平行，添加的下列条件中，正确的是( C )
A. ∠2＝90° B. ∠3＝90°
C. ∠4＝90° D. ∠5＝90°
(第2题)
C
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知识点2 内错角相等，两直线平行
3. [2024·山西实验中学月考]下列选项中，由∠1＝∠2能得到
AB ∥ CD 的是( B )
B
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4. 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图中所有平行的直线
是( D )
A. AB ∥ CD ∥ EF
B. CD ∥ EF
C. AB ∥ EF
D. AB ∥ CD ∥ EF ， BC ∥ DE
(第4题)
D
【点拨】
因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
所以 AB ∥ CD ， BC ∥ DE ， CD ∥ EF .
所以 AB ∥ CD ∥ EF .
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知识点3 同旁内角互补，两直线平行
5. 如图，将一款教室护眼灯用两根电线 AC ， BD 吊在天花
板 EF 上， A ， B 是护眼灯上的两个固定点， C ， D 是天
花板上的两个固定点，已知∠ ACD ＝90°，为保证护眼
灯与天花板平行(即 AB ∥ EF )，下面添加的条件中，正确
的是( D )
D
A. ∠ BDC ＝90° B. ∠ BDF ＝90°
C. ∠ ACE ＝90° D. ∠ BAC ＝90°
(第5题)
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6. 如图，给出下面的推理：
(第6题)
①因为∠ B ＝∠ BEF ，所以 AB ∥ EF ；
②因为∠ B ＝∠ CDE ，所以 AB ∥ CD ；
③因为∠ DCE ＋∠ AEF ＝180°，所以 AB ∥ EF ；
④因为∠ A ＋∠ AEF ＝180°，所以 AB ∥ EF .
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其中正确的推理是( B )
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
【点拨】
因为∠ B ＝∠ BEF ，所以 AB ∥ EF ，故①正确；
因为∠ B ＝∠ CDE ，所以 AB ∥ CD ，故②正确；
因为∠ DCE ＋∠ AEF ＝180°，
所以 CD ∥ EF ，故③错误；
B
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因为∠ A ＋∠ AEF ＝180°，所以 AB ∥ EF ，故
④正确.
综上所述，正确的推理是①②④.
故选B.
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知识点4 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
平行
7. [2024·武汉江汉区月考]如图，工人师傅用角尺画出工件边
缘 AB 的垂线 a 和 b ，得到 a ∥ b ，理由是
.
在同一平面
内，垂直于同一条直线的两条直线平行
(第7题)
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8. 将一副三角尺如图摆放，则 ∥ ，理由
是
.
(第8题)
BC
ED
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
(理由不唯一)
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易错点 填错理由而致错
9. [母题 教材P188练习T1] 如图，已知 AB ⊥ BD 于点 B ，
CD ⊥ BD 于点 D ，∠1＝∠2，那么 CD 与 EF 平行吗？为
什么？
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解： CD ∥ EF .
理由：因为∠1＝∠2( )，
所以 AB ∥ EF ( ).
因为 AB ⊥ BD ， CD ⊥ BD ，
所以 AB ∥ CD (
).
所以 CD ∥ EF (
).
已知
同位角相等，两直线平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的
两条直线平行
平行于同一条直线的两条直线平
行
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利用尺规作平行线
10. [2024·河南焦作期中]如图，已知直线 AB 及直线外一点
P .
(1)请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺，过点 P 作直
线 CD ，使得 CD ∥ AB . (保留作图痕迹，不写作法)
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【解】如图，作∠ MPD ＝∠ AMP ，直线 CD 即为
所求.
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(2)在(1)中， CD ∥ AB 的依据是
.
内错角相等，两直线
平行
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利用同位角探究两线段的位置关系
11. 如图，∠ ABC ＝∠ ACB ， BD 平分∠ ABC ， CE 平分
∠ ACB ，∠ DBF ＝∠ F . CE 与 DF 的位置关系怎样？
试说明理由.
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【解】 CE ∥ DF . 理由如下：
因为 BD 平分∠ ABC ， CE 平分∠ ACB ，
所以∠ DBC ＝ ∠ ABC ，∠ BCE ＝ ∠ ACB .
因为∠ ABC ＝∠ ACB ，所以∠ DBC ＝∠ BCE .
因为∠ DBF ＝∠ F ，所以∠ BCE ＝∠ F ，
所以 CE ∥ DF .
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利用两角互余探究两直线的位置关系
12. [新考法 整体求值法]如图， BE 平分∠ ABD ， DE 平分
∠ BDC ，∠1＋∠2＝90°，试判断 AB 与 CD 的位置关
系，并说明理由.
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【解】 AB ∥ CD . 理由如下：
因为 BE 平分∠ ABD ， DE 平分∠ BDC ，所以∠ ABD ＝
2∠1，∠ BDC ＝2∠2.
又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠ ABD ＋∠ BDC ＝2∠1
＋2∠2＝2(∠1＋∠2)＝180°.
所以 AB ∥ CD .
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利用平行线的判定方法探求平行条件
13. [新考法 逆向推理法]如图，将一副三角尺两个直角顶点
C 重合叠放在一起，其中∠ A ＝30°，∠ B ＝60°，
∠ D ＝∠ E ＝45°.
(1)若∠ BCD ＝110°，则∠ ACE ＝ .
70°
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(2)试猜想∠ BCD 与∠ ACE 的数量关系，并说明理由.
【解】∠ BCD ＋∠ ACE ＝180°.理由如下：
因为∠ BCD ＝∠ ACB ＋∠ ACD ＝90°＋∠ ACD ，
所以∠ BCD ＋∠ ACE ＝90°＋∠ ACD ＋∠ ACE ＝90°＋90°＝180°.
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(3)若按住三角尺 ABC 不动，三角尺 DCE 绕顶点 C 转动
一周，试探究∠ ACE 等于多少度时， CE ∥ AB ，请
画出图，并说明理由.
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【解】分两种情况：
①如答图①，当∠ ACE ＝30°时， CE∥ AB .
理由：因为∠ ACE ＝30°，∠ ACB ＝90°，
所以∠ BCE ＝∠ ACB ＋∠ ACE ＝90°＋30°＝120°.
又因为∠ B ＝60°，
所以∠ B ＋∠ BCE ＝60°
＋120°＝180°.
所以 CE ∥ AB .
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②如答图②，当∠ ACE ＝150°时， CE ∥ AB .
理由：因为∠ ACE ＝150°，∠ ACB ＝90°，
所以∠ BCE ＝∠ ACE －∠ ACB ＝150°－90°＝
60°.
又因为∠ ABC ＝60°，
所以∠ BCE ＝∠ ABC ，所以 CE ∥ AB .
故∠ ACE 等于30°或150°时， CE ∥ AB .
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华师版 七年级上
第4章 相交线与平等线
全章热门考点整合应用
名师点金
本章知识是中考的必考内容，也是后面学习有关几何
证明和计算的基础.其常见的题目涉及角度的计算、垂线段
及其应用、平行线的判定和性质，命题形式有填空题、选
择题、解答题，题目难度不大.本章的热门考点可概括为三
个概念、两个判定、两个性质、两个方法、一种思想.
三个概念
概念1 相交线
1. [2024·广东广州期中]下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是
( C )
A
B
C
D
C
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2. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分∠ AOC ，
∠ COF ＝35°，∠ BOD ＝60°，求∠ EOF 的度数.
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【解】因为∠ AOC ＝∠ BOD ＝60°， OE 平分∠ AOC ，
所以∠ COE ＝ ∠ AOC ＝ ×60°＝30°.所以∠ EOF ＝
∠ EOC ＋∠ COF ＝65°.
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概念2 三线八角
3. 如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同位角等
于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角
等于 .
80°
80°
100°
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4. [母题 教材P179练习T3] 如图，点 E 在 AB 的延长线上，
指出下面各组中的两个角分别是由哪两条直线被哪一条直
线所截形成的？它们是什么角？
(1)∠ A 和∠ D ；
【解】∠ A 和∠ D 是由直线 AE ，
CD 被直线 AD 所截形成的，它们是
同旁内角.
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(2)∠ A 和∠ CBA ；
【解】∠ A 和∠ CBA 是由直线 AD ， BC 被直线 AE 所截形成的，它们是同旁内角.
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(3)∠ C 和∠ CBE .
【解】∠ C 和∠ CBE 是由直线 CD ， AE 被直线 BC 所截形成的，它们是内错角.
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概念3 平行线
5. 在同一平面内，直线 a 与 b 满足下列条件，写出其对应的
位置关系.
(1) a 与 b 没有公共点，则 a 与 b ；
(2) a 与 b 有且只有一个公共点，则 a 与 b .
平行
相交
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6. 利用方格，按要求作图：
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(1)在图①中过点 A 画出直线 a 的平行线；
【解】如图①.
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(2)在图②中过点 A 画出直线 a 的垂线.
【解】如图②.
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两个判定
判定1 垂线的判定
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7. [2024·四川德阳期中]如图，点 O 是直线 AB 上一点，∠
AOD ＝20°， OD 平分∠ AOC ，∠ COE ＝70°.
(1)说明 DO ⊥ OE .
【解】因为 OD 平分∠ AOC ，所以
∠ DOC ＝∠ AOD ＝20°.
又因为∠ COE ＝70°，
所以∠ DOE ＝90°.所以 DO ⊥ OE .
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(2) OE 平分∠ BOC 吗？为什么？
【解】 OE 平分∠ BOC . 理由：因为∠
BOE ＝180°－∠ AOD －∠ DOC ，∠
COE ＝70°，所以∠ BOE ＝∠ COE .
所以 OE 平分∠ BOC .
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判定2 平行线的判定
8. 如图，已知 CF ⊥ AB 于点 F ， ED ⊥ AB 于点 D ，∠1＝
∠2，猜想 FG 和 BC 的位置关系，并说明理由.
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【解】 FG ∥ BC . 理由：因为 CF ⊥ AB ， ED ⊥ AB ，所
以 CF ∥ DE .
所以∠1＝∠ BCF . 又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠ BCF .
所以 FG ∥ BC .
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两个性质
性质1 垂线段的性质
9. [母题 教材P198复习题T4] 如图， AB 是一条河流，要铺
设管道将河水引到 C ， D 两个用水点，现有两种铺设管道
的方案：
方案一：分别过点 C ， D 作 AB 的垂线，垂足分别为点
E ， F ，沿 CE ， DF 铺设管道；
方案二：连结 CD 交 AB 于点 P ，沿 PC ， PD 铺设管道.
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这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？(忽
略河流的宽度)
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【解】方案一更节省材料.理由如下：由题意知，方案一
铺设管道长度为 CE ＋ DF ，方案二铺设管道长度为 PC ＋
PD . 因为 CE ⊥ AB ， DF ⊥ AB ， CD 不垂直于 AB ，根
据“垂线段最短”可知 CE ＜ PC ， DF ＜ PD ，所以 CE
＋ DF ＜ PC ＋ PD . 所以方案一更节省材料.
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性质2 平行线的性质
10. [立德树人 文化自信]中华文化博大精深，汉字便是其中
一块瑰宝.汉字中存在很多的“平行美”，如汉字
“互”.将汉字“互”转化为几何图形如图所示，已知
AB ∥ CD ∥ FN ， EF ∥ GH ，若∠ BEM ＝100°，求∠
NGD 的度数.
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【解】因为 AB ∥ FN ，∠ BEM ＝100°，
所以∠ EFN ＝180°－∠ BEM ＝80°.
因为 EF ∥ GH ，所以∠ FNG ＝∠ EFN ＝80°.
因为 CD ∥ FN ，所以∠ NGD ＝∠ FNG ＝80°.
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两个方法
方法1 作辅助线构成“三线八角”
11. 如图，已知∠ B ＝25°，∠ BCD ＝45°，∠ CDE ＝
30°，∠ E ＝10°，试说明 AB ∥ EF .
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【解】如图，在∠ BCD 的内部作射线 CM ，使∠ BCM
＝25°，在∠ CDE 的内部作射线 DN ，使∠ EDN ＝
10°.
因为∠ B ＝25°，∠ E ＝10°，
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所以∠ BCM ＝∠ B ，∠ EDN ＝∠ E .
所以 AB ∥ CM ， EF ∥ ND .
因为∠ BCD ＝45°，∠ CDE ＝30°，
所以∠ DCM ＝20°，∠ CDN ＝20°.
所以∠ DCM ＝∠ CDN .
所以 CM ∥ ND . 所以 CM ∥ EF .
所以 AB ∥ EF .
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方法2 作辅助线构成“三线平行”
12. 如图，已知 CD ∥ AB ，试说明∠ AEC ＝∠ C －∠ A .
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【解】如图，过点 E 作 EF ∥ CD ，
则∠ CEF ＋∠ C ＝180°，
所以∠ CEF ＝180°－∠ C .
因为 CD ∥ AB ，
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所以 EF ∥ AB .
所以∠ AEF ＋∠ A ＝180°.
所以∠ AEF ＝180°－∠ A .
所以∠ AEC ＝∠ AEF －∠ CEF ＝(180°－∠ A )－
(180°－∠ C )＝180°－∠ A －180°＋∠ C ＝∠ C －∠
A . 即∠ AEC ＝∠ C －∠ A .
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一种思想——转化思想
13. 如图，在五边形 ABCDE 中， AE ∥ CD ，∠ A ＝107°，
∠ ABC ＝121°，求∠ C 的度数.
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【解】如图，过点 B 作 BF ∥ AE 交 ED 于点 F ，
则∠ A ＋∠ ABF ＝180°.
又因为∠ A ＝107°，
所以∠ ABF ＝180°－107°＝73°.
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又因为∠ ABC ＝121°，
所以∠ FBC ＝121°－73°＝48°.
因为 AE ∥ CD ， BF ∥ AE ，
所以 BF ∥ CD .
所以∠ FBC ＋∠ C ＝180°.
所以∠ C ＝180°－∠ FBC ＝132°.
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