2023-2024学年安徽省淮南第一中学等校高二下学期7月期末质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年安徽省淮南第一中学等校高二下学期7月期末质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
2.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )
A. 等边三角形的边长与其面积
B. 匀速直线行驶的汽车的位移与行驶时间
C. 杂交水稻植株的高度与土壤湿润度
D. 某班的学生人数与该班某次数学考试的平均分
3.若圆和圆的交点为，，则线段的中垂线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两名同学计划今年暑假各自从黄山、琅琊山、天堂寨、三河古镇个旅游景点中随机选择一个游玩现已知至少有一名同学选择了琅琊山，则两名同学选择的景点不同的概率为( )
A. B. C. D.
7.过点能向曲线作切线的条数为( )
A. B. C. D.
8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数的导函数的图象，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知随机变量X~N(100,),且P(X>120)=0.1,则下列说法中正确的是( )
A. P(80X120)=0.9 B. 若P(X>2a)=P(X< a-4),则a=68
C. D(X)= D. P(100< X<110)>P(80< X<90)
11.设数列满足，且当时，有则( )
A. ， B. ，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙等名同学站成一排，若甲、乙两名同学相邻，则不同的站法共有 种用数字作答
13.在棱长为的正方体中，，分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 ．
14.已知双曲线的右焦点为，直线与交于，两点，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日，第届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了名男观众和名女观众，已知男观众中有人偏向燃油车，女观众中有人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车．
Ⅰ根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异
偏向燃油车 偏向新能源车
男观众
女观众
Ⅱ现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取人，再从这人中随机抽取人，记表示这人中女观众的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，．
Ⅰ证明：平面
Ⅱ求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和．
Ⅰ求的通项公式
Ⅱ设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，准线过点，过点的直线交于，两点．
Ⅰ求的方程
Ⅱ若的斜率为，求
Ⅲ设点，，且，求的斜率．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，求曲线在点处的切线在轴上的截距；
Ⅱ若只有一个零点，求；
Ⅲ若有两个不同的零点，，证明：．
答案简析
1.
【简析】解：由数列，，，，可得：，，，，，归纳可得其一个通项公式为．
故选B．
2.
【简析】解：对于，等边三角形的边长与其面积是函数关系，不是相关关系；
对于，匀速直线行驶的汽车的位移与行驶时间是函数关系，不是相关关系；
对于，杂交水稻植株的高度与土壤湿润度，之间是相关关系；
对于，某班的学生人数与该班某次数学考试的平均分受总分数和人数的影响，不是相关关系．
故选：．
3.
【简析】解：因为两圆的圆心坐标分别为，，
那么过两圆圆心的直线斜率为，
而线段的中垂线即为过两圆圆心的直线，
故所求直线方程为，
整理可得．
故选B．
4.
【简析】解：由得 ，
当时， 解得．
所以，．
故选A．
5.
【简析】解：展开式的通项为，
，
令，解得，
则可知展开式中常数项为．
故选 A．
6.
【简析】解：记事件至少有一名同学选择了琅琊山，
事件两名同学选择的景点不同，
则．
7.
【简析】解：设切点为且，
， 切线斜率，
切线方程为，
又切线过， ，即
设 ，则，
在且上单调递增，
且时，，，
从而 有一个零点，从而过点能向曲线作切线的条数为，
故选B．
8.
【简析】解：过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为，
把代入可得，不放取，
则过作椭圆的切线方程为，
可得切线的斜率为，
再由可得，
因为切线与直线的倾斜角互补，
所以，结合整理可得，
所以椭圆的离心率．
故选C．
9.
【简析】解：选项，由图象可知，当时，，
所以函数在上单调递增，所以，故A正确；
选项，由图象可知，当时，，
所以函数在上单调递增，所以，故B错误；
选项，由图象可知，当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以无法比较，的大小，故C错误；
选项，由图象可知，当时，，
所以函数在上单调递减，所以，故D正确．
故选AD．
10.BD
【简析】解：随机变量X~N(100,),则=100,D(X)=2，C错误；
由P(X>120)=0.1 ，可得P(80X120)=1-2×0.1=0.8，A错误；
由P(X>2a)=P(X< a-4)可得2a+a-4=200，解得a=68，B正确；
由正态曲线的图像和对称性可知P(100< X<110)>P(80< X<90)，D正确.
故选BD.
11.
【简析】解：由题意， ，
故 ， ， ，
利用累乘法 ， ，
故 ， ．
对于，因为 ，所以 ， ，
故 ， ，A正确
对于，因为 ，所以 ，故 ，
由累乘法 ，故 ， ，
故不存在，，B错误；
对于，因为 ，
所以 恒成立，，C正确
对于，
，D错误．
故选AC．
12.
【简析】解：不同的站法共有种．
13.
【简析】解：以为原点，以、、为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，
，，设平面的法向量为，
则，解得：，令，则，
所以到平面的距离为：．
14.
【简析】解：设双曲线的左焦点为，连接，，由图形的对称性可知，四边形为矩形，
所以，且，设，，由双曲线的定义可知，
即，又，所以四边形为正方形，所以，则，，
所以，由可得，所以，
即，所以，化简得，所以．
15.解：Ⅰ列联表为：
偏向燃油车 偏向新能源车 合计
男观众
女观众
合计
根据列联表中的数据，
经计算得到，
所以根据小概率值的独立性检验，
即判断男观众和女观众买车意向的偏向情况有差异
Ⅱ根据分层抽样的原理，可知男生观众选取人，女生观众选取人，
所以男性、女性观众各选取，人，
所以随机变量的可能取值为，
则，
，
，
，
所以的 分布列如下表
所以．
【简析】Ⅰ写出列联表，根据表中数据计算的观测值，利用独立性检验的思想即可求解；
Ⅱ根据已知条件及分层抽样的定义求出抽取的男性观众和女性观众的人数，求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量对应取值的概率，写出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解．
16.解：Ⅰ由题意，，
，，由，易得，
由勾股定理得，
又面，面，
．
又，，平面，
平面；
Ⅱ交的中点于，可知平面，作交于，
则为平面与平面夹角，
显然，，
因为，所以为直角三角形，则，
．
即平面与平面夹角的正弦值为．

【简析】Ⅰ由勾股定理得，根据线面垂直的性质可知，又，根据线面垂直的判定定理可知面；
Ⅱ交的中点于，可知平面，作交于，则为平面与平面夹角，求解其正弦值即可．
17.解：Ⅰ因为，当时，，
当时，，
而不满足上式，
所以
Ⅱ设，可知
当时，
当时，，
．
两式相减得
所以，且满足该式，
所以．
【简析】Ⅰ当时，可得当时，可得．
Ⅱ由Ⅰ可知，利用错位相减法即可得出．
18.解：Ⅰ由题意知，所以抛物线的标准方程为
Ⅱ直线的方程为，可变为，所以，与抛物线方程联立消去可得，即，，设，的坐标分别为，，所以，由抛物线的定义知，，所以，又，所以；
Ⅲ设直线的斜率为，则直线的方程为，代入抛物线方程消去得，，设，的坐标分别为，，则，，设，则，在以，为焦点的双曲线上，双曲线方程为，与抛物线方程联立消去得，，即，所以，，又，所以，所以，则，所以，则，所以，所以，即直线的斜率为．
【简析】Ⅰ由准线过点可得，可直接写出抛物线方程
Ⅱ把直线的方程代入抛物线方程消去，利用根于系数的关系和抛物线的定义可求得结果；
Ⅲ由可得，应该在以，为焦点的双曲线上，设出双曲线方程，与抛物线方程联立，可得，两点坐标的关系，再结合的直线方程可求得直线的斜率．
19.解：Ⅰ当时，，，
则，，
可知曲线在点处的切线方程为，
令，可得，
即曲线在点处的切线在轴上的截距为．
Ⅱ令，可得，
令，，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，；当时，；
当时，函数与直线有且只有一个交点，
此时方程有且只有一个实根，满足题意；
当或时，可知，
函数与直线有两个交点，
此时有两个不等实根，不满足题意；
综上可得，．
Ⅲ结合Ⅱ可知，若有两个不同的零点，，
则，
不妨设，，
则，，
可得，，
则，
可得，
要证明，等价于证明，
令，，
则转化为证明，即证明，
令，，
则，
可知函数在上单调递增，
则，即，
可得．
【简析】Ⅰ求导，求得和，得到切线方程，即可求得切线在轴上的截距；
Ⅱ令，可得，转化为函数与直线只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，对分类讨论判断即可；
Ⅲ由Ⅱ可得，则有，设，证明即为证明，令，，转化为证明，构造函数，利用导数证明即可．
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