2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的图象在点处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.在的展开式中，项的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.假设，是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
6.小明用摸球的方式决定周末去或地游玩规则如下：箱子里装有质地和大小完全相同的个红球和个白球，从中任取个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去地，否则去地，则小明去地游玩的概率为( )
A. B. C. D.
7.随机变量的分布列如下，则方差的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，满足是自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r越接近于1
B. 用不同的模型拟合同一组数据, 则残差平方和越大的模型拟合的效果越好
C. 随机变量~N(2,),P(<4)=0.8,则P(2<<4)=0.3
D. 随机变量X~B(10,0.7),则当k=7时,P(X=k)最大
10.甲乙两人进行投篮比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是( )
A. 关于点对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.如果一个四位数各个位数上的数字之和为，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有 个“幸运数”．
14.如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向正、反方向均可移动一步要么以的概率沿平行于方向正、反方向均可移动一步设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在时取得极小值．
求实数，的值
求在区间上的最值．
16.本小题分
某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于年月日开始在各电视媒体投放统计该企业年前个月的销售收入，获得数据如下：
月份
销售收入万元
已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业年月份的销售收入
为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
观看广告 未观看广告 总计
购买
未购买
总计
请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联
参考数据：．
参考公式：最小二乘法估计，．
，其中．
17.本小题分
已知函数．
证明：
设，为方程的两个根，且，求证：．
18.本小题分
年月日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项志愿者参加特展讲解可获得个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应的纪念品某班有名学生男生人，女生人参加志愿活动，每个人的选择互不影响．
若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率
若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，且选择一项参加和选择两项参加的概率都为现从人中随机选取两人，记两人积分之和为，求的分布列和期望．
19.本小题分
定义一：整数，，，，的排列称为级排列，例如：是一个级排列．
定义二：在一个级排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为例如：级排列中的逆序有，，，，所以．
求级排列的逆序数
称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列．
(ⅰ)判定级排列，的奇偶性
(ⅱ)现将一个级排列中的任意两个数交换位置，其余数位置不变，得到一个新的级排列，证明：与的奇偶性不同．
答案简析
1.
【简析】解：，，
函数的图象在点处的切线的斜率
．
故选A．
2.
【简析】解： 由题意知将这个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，
三个新节目一个一个插入节目单中，
原来的个节目连同两端形成个空，在这个位置上插入第一个节目，共有种结果，
原来的个和刚插入的一个，形成个空，有种结果，同理最后一个节目有种结果，
根据分步计数原理得到共有插法种数为，
故选C．
3.
【简析】解： 的展开式的通项公式为： ，
令，所以含 项的系数为： ，
故选B．
4.
【简析】解：从导函数的图象可知：
恒成立，所以函数单调递增，排除；
设的图象与轴交于点，
则时，；时，；
所以函数先单调递减再单调递增，排除，
故选A．
5.
【简析】解：对于，由题知 ，，故A正确；
对于，由 ，，故当 时才有 ，故B错误；
对于，由，，无法判断，故C错误；
对于，由 ， ，，无法判断，故D错误；
故选A．
6.
【简析】解：记事件：任取个小球，取出的红球个数不少于白球个数，即红球个数大于等于，
分为红球个数为，，三种情况：
，，，
故．
7.
【简析】解：由题可知，即，，
，
．
，
令，，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故的最大值为．
8.
【简析】解：由得，且，
由得，且，
对选项，令函数，函数是单调增函数，
所以，，
故，所以，故A错误；
对选项，由选项，，，所以，故B错误．
对选项，由选项，因为，
所以，
故，故C错误．
对选项，若证明，只需证明，
即，
又函数是单调增函数，
只需证明，
而，，
故D正确．
9.
【简析】解：对于A，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误；
对于B，用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故B错误；
对于C，随机变量~N(2,),P(<4)=0.8,
则P(2<<4)=P(<4)-P(≤2)=0.8-0.5=0.3，故C正确；
对于D，随机变量X~B(10,0.7),
则P（X=k）=，
设k=7时，P(X=k)最大，
则,
,
即，解得，
又k∈N，故k=7时P(X=k)最大，故D正确.
10.
【简析】解：由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，，而 ，所以，易知，故C错误；
：，正确；：，错误；：，
又，故，
故当时，的最小值为，正确．
故选：．
11.
【简析】解：由 为奇函数知 ，
，，
关于 对称， ，A正确；
所以函数关于直线对称，
，
因为为奇函数，所以，
，B正确；
由得 得 ，
即 ，
所以关于直线对称，
结合，根据关于直线对称可知关于点对称，
将代入中可得，
所以关于点对称，
综上可得，函数与均是周期为的周期函数，
，不正确；
根据函数关于直线对称，关于点对称，
结合函数的性质易知，，，
，
所以 ，故D正确．
12.
【简析】解：令，则 ，
令，则 ，
故 ，
故答案为．
13.
【简析】
解：
若后三位中有三个，故只有，这样的四位数有个；
若后三位中有两个，这样的四位数有个；
若后三位中有一个，这样的四位数有个
若后三位中没有，这样的四位数有个
综上所述，符合题意的四位数有个
14.
【简析】解：已知沿平行于方向走得概率为，沿平行方向走得概率为．
即移动两次后回到点的概率，有两种可能：沿平行方向移动或者沿平行方向移动故
．
同理，掷两次后停在点概率为，记作，
设掷次骰子后回到点的概率为，
可以得到递推公式：两式相减得，
故是等比数列，首项为，公比为，
所以．
15.解：，
，
在时有极值，
或
当时，，
所以在定义域上单调递增，无极值，故舍去；
所以，，经检验，符合题意．
由知：，
故在上单调递减，上单调递增，
又，，．
所以在上得最小值为，
最大值为．
【简析】
已知函数在处有极值，即，，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得、的值，并检验得到答案；
解，分析可得函数的单调区间，从而确定最值．
16.解：因为，，，，
，
，
所以经验回归方程为，
当时，万元．
所以预测年月份该公司销售金额为万元．
列联表如下．
观看广告 未观看广告 总计
购买
未购买
总计
零假设购买产品与观看广告无关，
根据以上数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，认为购买产品与观看广告有关联．
【简析】
根据公式得出和，可得经验回归方程，代入可得预测值；
先得出列联表，由公式得出，对照临界值表可得结论．
17.证明：由已知的定义域为，，
当时，，即在上单调递增
当时，，即在上单调递减
所以．
由知在上单调递增在上单调递减，
且当时，时，当，，则，，
又，为方程的两个根，
则，，且，
所以，，
则
要证：，即证：，
即证：，
设，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，则有，
所以，
故得证．
【简析】
利用研究单调性，即可得证；
由，为方程的两个根，得，要证：，即证，设，利用导数研究单调性即可得证．
18.解：；
若男生，积分和为分
男女，积分和的可能取值为，，分．
若女生，积分和的可能取值为，，，，，分，
故的所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
．
【简析】
根据古典概型公式可得结果；
易得的所有可能取值为，，，，，，得出对应概率，可得的分布列和期望．
19.解：逆序有：，，，，，，故共个，故F
由逆序数定义，
当，，时，为偶数，排列是偶排列
当，，时，为奇数，排列是奇排列．
证明：设将排列中的与，交换，其余数位置不变，
如果与相邻，即，则除与外其余元素的逆序数不变，
故时，时，．
所以与奇偶性不同．
如果与不相邻，记，，
则可将排列，
经过次相邻变换将移动到之前，
得到排列，
再经过次相邻变换，将移动到之后，
得到，
从而排列可经过次相邻元素之间的变换得到排列，
每一次相邻元素间的变换奇偶性都改变一次，
所以与奇偶性不同．
综上：排列与排列奇偶性不同．
【简析】
根据逆序数的定义求解即可；
根据定义求解逆序数，再对分情况讨论求解；
分调换位置的两个元素相邻与不相邻讨论求解．
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