2023-2024学年广东省清远市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年广东省清远市高二下学期期末教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是( )
A. B. C. D.
2.以下求导计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.某市高二数学统考,满分为150分.假设学生考试成绩X~N(100,),如果从高到低按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩分为A,B,C,D四个等级,则A等级分数线大概为（）(参考数据:若X~N(,),则P(-X+)0.6827,P(-2X+2)0.9545,P(-3X+3)0.9973)
A. 134 B. 120 C. 116 D. 110
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的有人调查了位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：
父亲身高
儿子身高
并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为( )
A. B. C. D.
6.在数学试卷的单项选择题中，共有道题，每道题有个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得分，选错得分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是某同学道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差( )
A. 1.5 B. 7.5 C. 20.5 D. 37.5
7.甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用局胜制，则甲通过局比赛获得胜利的概率是( )
A. B. C. D.
8.现要对三棱柱的个顶点进行涂色，有种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示：
则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，，则下列选项中正确的是( )
A. 的值域为
B. 在处取得极小值为
C. 在上是增函数
D. 若方程有个不同的根，则
11.现有数字，，，，，，，，下列说法正确的是( )
A. 可以组成个没有重复数字的六位数
B. 可以组成个没有重复数字的六位偶数
C. 可以组成个六位数
D. 可以组成个相邻两个数字不相同的八位数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 ．
13.在的展开式中，含项的系数为 ．
14.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有名接受乙种疗法的患者中治愈的有名．
根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表单位：人
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好
根据疗效按照分层抽样的方法，从这名患者中抽取名患者，再从这名患者中随机抽取名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
16.本小题分
如图，在正四棱锥中．
求证：
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有个蛋黄馅的“粽子”和个绿豆馅的“粽子”，乙同学有个蛋黄馅的“粽子”和个绿豆馅的“粽子”．
若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取次，每次任取个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望
若先从甲同学的“粽子”中任取个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率．
18.本小题分
设函数．
当时，求在上的最大值
讨论的单调性
若，证明只有一个零点．
19.本小题分
若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为指形数列若数列满足：，且时，有，则称数列为凹形数列．
若，判断数列是不是指形数列若是，证明你的结论，若不是，说明理由
若，证明指形数列也是凹形数列
若指形数列是递减数列，令，，，求使得成立的最小正整数．
答案简析
1.
【简析】解：当时，样本数据正相关，
当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强．
故选A．
2.
【简析】解：，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，故D错误．
故选C．
3.D
【简析】解：因为P(X110)=0.16,
所以A等级分数线约为110,
故选D.
4.
【简析】解：，
，
曲线在点处的切线的斜率为：
，
切线方程为：，
即：
5.
【简析】解：由表可知，
，
将样本中心代入回归方程，解得，
所以当时，．
故选C．
6.
【简析】解：设该同学答对题目数量为Y,
则Y~B(8,0.25),
故D(Y)=80.250.75=1.5,
因为X=5Y,
所以D(X)=D(5Y)=1.5=37.5,
故选D.
7.
【简析】解：依题意知甲通过局比赛获得胜利，
则甲在前局比赛中应该胜局输局，并且在第局比赛中取得胜利，
故其胜利的概率为．
故选B．
8.
【简析】解：分两类情况完成：
使用种颜色，第步选色有种，
第步涂三个顶点有种，
第步涂三个顶点有种，
所以共有种
使用种颜色，第一步涂三个顶点有种，
第步涂第种颜色有种，
第步涂剩下的两个顶点有种，
所以共有种．
所以共有种．
故选A．
9.
【简析】解：依题意知，解得或，
又因为，所以舍去，故，所以B正确，A错误
因为，所以C正确
因为，所以D正确．
故选BCD．
10.
【简析】解：因为，
所以令得，
令得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增C错误
又因为，，，所以的值域为，A正确
由上面计算可知，在处取得极小值为，B正确
在同一坐标系中画出函数，及的图象，
可知，D错误，
故选AB．
11.
【简析】解：对于，没有重复数字的六位数应由，，，，，组成，共有个，A正确
对于，没有重复数字的六位偶数有两类情况，
末位为的有个，
末位不为的有个，
共有个，B错误
对于，没有重复数字的六位数有个，
有两个的六位数有个，
有三个的六位数有个，
共有个，C正确
对于，先排，，，，，首位为的有个，首位不为的有个，
再插入，，，共有个，D正确，
故选ACD．
12.
【简析】解：函数，则，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为．
故答案为：．
13.
【简析】解：二项式的展开式的通项公式为，
令
则
所以含项的系数为，
故答案为：．
14.
【简析】解： 的定义域为 ，
，
令 ，得 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ，即 ，即 ．
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
，
又当 趋近于时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于，
作出 的草图如图，
由图可知，当 时，方程 有两个正根，从而函数 有两个极值点．
15.解：根据所给数据，可得列联表单位：人
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
零假设疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，
我们推断出不成立，即认为疗法有差异，可知乙种疗法的效果比甲种疗法好．
按照分层抽样，未治愈患者应抽取人，治愈患者应抽取人，
的可能取值为，，．
，
，
，
故的分布列为
的数学期望为．
【简析】
先完成列联表，由公式得出，对照临界值表可得结论；
易得的可能取值为，，，得出对应概率，可得的分布列及数学期望．
16.证明：如图，连接交于，连接，
在正四棱锥中，平面，
是正方形，平面，，．
又，平面，且，平面．
平面，．
解：在正四棱锥中，平面，四边形是正方形，
，，两两垂直以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
，，
，，，，
则，．
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，所以，
又因为平面的一个法向量为，
所以有，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

【简析】
先得出平面，再由线面垂直的性质即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可．
17.解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
由于X~B(3,),所以X的数学期望为E(X)=3=.
(2) 设事件A为“从乙同学的粽子中任取1个,取出的这个粽子是绿豆馅”,
事件为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是蛋黄馅”,
事件为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子都是绿豆馅”,
事件为“从甲同学的粽子中取出的2个粽子为1个蛋黄馅和1个绿豆饱，
则事件,,彼此互斥,
P()===,P()===,
P()===,P()=,
P()=,P()=,
所以P(A)=P()P()+P()P()+P()P()
=++=,
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率为.
【简析】
（1）易得X的可能取值为0,1,2,3,得出对应概率，可得X的分布列及数学期望;
（2）根据全概率公式可得结果.
18.解：当时，，则，
时，时，．
时，为增函数时，为减函数．
，当时，在上的最大值为．
，
．
当时，时有，时有，
故时，在上为增函数，在上为减函数
当时，，则在上为增函数
当时，在区间及上有，在区间上有，
故当时，在及上为增函数，在上为减函数
当时，在区间及上有，在区间上有，
故当时，在及上为增函数，在上为减函数．
由可知：
当时，在上为增函数，且，，
故当时，在上只有一个零点
当时，在及上为增函数，在上为减函数，
故的极大值为，
且．
令，，
则，，
在上为减函数．
，时，，即，
，
故当时，只有一个零点．
当时，在及上为增函数，在上为减函数，
故的极大值为，
且．
令，，且，
则，则在上为增函数，
故时有，即，
故当时，只有一个零点．
综上所述，当时，只有一个零点．
【简析】
当时，求，判断正负，得函数单调性，可得函数最大值；
求得，讨论及，可得函数单调性；
讨论时，时，时，函数零点，可证结论．
19.解：数列是指形数列．
当时，，，
，
即数列是指形数列．
方法若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，．
当，且时，
，
，等号不成立，，
即若，则指形数列也是凹形数列．
方法若是指形数列，且，则，
，，
此时数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
下同方法．
若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
该指形数列是递减数列，
即，
得，
．
，，，，．
令等于不大于的最大正整数，
当时，
当时．
【简析】
由题意和对数运算可得为定值，结合新定义可得结论；
由新定义和对数运算，分别从为等差数列，或为等比数列两种角度有两种证法；
由题意和新定义可得，由求和公式以及解不等式可得，可得．
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