2023-2024学年山东省东营市高二年级第二学期期末质量监测数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省东营市高二年级第二学期期末质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列是等差数列，且满足，则等于( )
A. B. C. D.
2.一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知变量和的统计数据如下表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为( )
A. B. C. D.
5.已知一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用元与抽到的次品数有关，且，则( )
A. 97 B. 98 C. 99 D. 100
6.已知二面角的大小为，其棱上有，两点，，分别在这个二面角的两个半平面，内，且都与垂直，已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有三个实数解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知盒中有大小相同的个红球和个蓝球，从中随机摸球，下列说法正确的是( )
A. 每次摸出个球并放回，则第次摸到红球与第次摸到蓝球是相互独立的
B. 每次摸出个球并放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为
C. 每次摸出个球不放回，则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为
D. 每次摸出个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率为
10.已知数列满足，，则( )
A. 存在等差数列满足上述递推公式 B. 存在等比数列满足上述递推公式
C. 存在周期数列满足上述递推公式 D. 存在摆动数列满足上述递推公式
11.已知正方体的棱长为，点，分别是棱，的中点，点是侧面内一点含边界，若平面，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹为一条线段
B. 三棱锥的体积为定值
C. 的取值范围是
D. 平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量~N(2,),若P(<4)=0.8,则P(0<<2)= .
13.已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为 ．
14.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，设，，分别为棱，，的中点，且．
求证：平面平面求平面与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知等比数列的前项和为，且
求数列的通项公式．
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，其中，，成等差数列成等比数列若存在，求出这样的项若不存在，请说明理由．
17.本小题分
某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关若从该班级中随机抽取名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，．
求和
若该班级共有名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立
未建立
合计
现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取人座谈，再从这人中随机抽取人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为，求的分布列及期望．
附：，
18.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程
讨论的单调性
若有两个零点，求的取值范围．
19.本小题分
在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由
若数列为“数列”，且，数列为等差数列，且，求数列的通项公式
若正项数列为“数列”，且，，证明：．
答案简析
1.
【简析】解：数列是等差数列，且，
，
，
，
故选C．
2.
【简析】解：如图：，
中，，
圆锥侧面积：．
3.
【简析】解：，
若在上单调递减，
则在恒成立，
即 在恒成立，
故只需 ，
令 ，，
在单调递减，
故 ，
故，
故的最小值是，
故选A．
4.
【简析】解：由题意，，
则，解得，
故，
当时，，
故时的残差为
5.
【简析】解：易知X服从二项分布, 即X~B(50,0.02),
所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98，
由Y=10X+300可知
D(Y)=D(10X+300)=D(X)=1000.98=98.
6.
【简析】解：二面角的大小为，其棱上有，两点，
直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，，，，
，
，
，即的长为．
7.
【简析】解：，，，成等比数列，
从而计算可得
故选．
8.
【简析】解：由题意得，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
在平面直角坐标系内画出函数的大致图象如图所示：
因为方程有三个实数解，即函数与的图像有个不同的交点，
由图像可知，实数的取值范围为
9.
【简析】解：对于，设第一次摸到红球为事件，第次摸到篮球为事件，
则，
所以，
所以第次摸到红球与第次摸到蓝球是相互独立的，故A正确；
对于，每次摸出个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数为，则∽，
由二项分布的方差公式可得，故B错误
对于，每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，记事件第一次摸到红球，事件第二次摸到红球，
则，，
由条件概率公式可得，故C正确
对于，第次摸到红球的概率为，故D错误．
10.
【简析】解：由，得或，
当时，因为，则为首项和公差都为的等差数列，则
当时，因为，则为，
对于、当时，存在等差数列满足上述递推公式，故A正确；
对于、不可能存在等比数列满足上述递推公式，故B错误；
对于、当时，存在周期为的数列满足上述递推公式，故C正确；
对于、当时，存在摆动数列满足上述递推公式，故D正确．
11.
【简析】解：取， 的中点分别为．
由正方体的性质易得 ，，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面又，
所以平面平面，又平面，
又点是侧面内一点含边界．
所以点轨迹为，故A正确
的面积为定值，因为平面，
到平面的距离为定值，
则到平面的距离为定值，
故为定值，故B正确．
由勾股定理可得，，
所以由等腰三角形的性质可得到距离，故C错误；
易知，所以平面即为平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，正方体的外接球球心，
设平面的法向量为，
，
则，即
令，则，，故，
则到平面的距离为．
又正方体的外接球半径为，
所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径为，
所以平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确．
故选：．
12.0.3
【简析】解：∵~N(2,),
∴正态曲线的对称轴是x=2，
∵P（ξ＜4）=0.8，
∴P（ξ≥4）=0.2，P（ξ）=0.2，
∴P（0＜ξ＜2）=P（ξ＜2）-P（ξ ）=0.5-0.2=0.3．
故答案为：0.3.
13.
【简析】解：由题意，得棱台的高为，
故棱台的体积为
14.
【简析】解：恒成立，等价于
令函数，
则，故是增函数．
等价于
，即．
令函数，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
．
故实数的取值范围为
15.证明：由，，分别为棱，的中点，得，，，
，，分别为棱，，的中点，且，，，，，
平面，平面，，
所以平面，平面，
所以平面平面；
解：由知平面，又是等腰直角三角形，是中点，所以，
以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，则，，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，所以，，
记平面与平面所成角为，所以，
故平面与平面所成角的正弦值为．
【简析】
根据面面垂直的判定定理判定即可；
建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后即可求夹角．
16.解：由 ，得，两式相减，得．数
列是等比数列，又时，代入可得，，．
由题意得，
即，故．
假设在数列中存在三项，，其中，，成等差数列成等比数列，
则，即，
、、成等差数列，，
则式可化为，故．
这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，其中，，成等差数列成等比数列．
【简析】
根据题意，时，得到并化简，然后讨论 时的情况，进而得到，间的关系，最后根据等比数列的定义得到答案；
假设存在，则必然有，进而得到，，间的关系，然后判断答案．
17.解：因为所以，
因为，，所以，
由，解得，所以，
则，解得．
由题意，
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立
未建立
合计
根据列联表中的数据，经计算得到．
所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关．
从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生
人数为人，不建立个性化错题本的学生人数为人
故的取值是
则，
，
则的分布列为
故的期望为
【简析】
利用条件概率和全概率公式即可求解
完善列联表，由卡方公式求出观测值，对照临界值表即可判断
求出的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望．
18.解：当时，，，
，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即；
的定义域为，
，

；
所以在单调递减，在单调递增
故当时，在上单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
若，由知，至多有一个零点，不满足条件；
(ⅱ)若，由知，当时，
取得最小值，最小值为
当时，由于，故只有一个零点，不满足条件；
当时，由于，即，故没有零点，不满足条件；
当时，，即，
又，
所以在上有一个零点，
设正整数满足，则，，
则，
因为，所以在上有一个零点，
所以若有两个零点，的取值范围为．
【简析】
根据导数的几何意义求解即可；
对进行分类讨论，结合导数与函数单调性的关系，得出答案；
对进行分类讨论，研究各区间内函数零点的个数，得出答案．
19.解：数列不是“数列”，
理由如下：，则，
又，
所以，
因为不是常数，所以数列不是“数列”；
因为数列为“数列”，由，
设数列的公差为，有，
所以，
两式作差得，
又因为数列为“数列”，所以，
所以，
即对成立，则得，
又，，得，所以；
设函数，则，
当时，，则在上单调递减，且，
因为数列为“数列”，则，
因为，，则，故，
由此类推，可得对，，
所以，即，
所以得证．
【简析】
根据数列的新定义判断即可；
根据数列为“数列”，结合“数列”的定义分析求解即可；
设函数，求导证明．
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