2023-2024学年山东省淄博市高二下学期期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年山东省淄博市高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
2.若函数满足，则( )
A. B. C. D.
3.设是等比数列，且，，则公比( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，含的项的系数为( )
A. B. C. D.
5.某志愿者小组有人，从中选人到、两个社区开展活动，其中人到社区，则不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.直线与曲线相切，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~N(3,1),则下列说法正确的是( )
A. 若Y=X+3,则E(Y)=6 B. 若Y=3X+1,则D(Y)=3
C. P(X2)=P(X4) D. P(0X4)=1-2P(X4)
10.若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 有两个极大值点 B. 有一个极小值点
C. D.
11.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列如数列，，，，它的前后两项之差组成新数列，，，新数列，，为等差数列，则数列，，，被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，，设其通项公式则下列结论中正确的是( )
A. 数列的公差为 B.
C. 数列的前项和最大 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知随机变量的分布列如下：
若，则 ．
14.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知
求并写出的表达式
证明：．
16.本小题分
近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为．
随机抽取名成年人，并调查这名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：
成年男性 成年女性 合计
养宠物
不养宠物
合计
依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关
记年的年份代码依次为，，，，，，中国宠物经济产业年规模为单位：亿元，由这年中国宠物经济产业年规模数据求得，关于的回归方程为，且求相关系数，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式及数据：，其中
回归方程，其中，，相关系数若，则认为与有较强的相关性其中．
17.本小题分
在一个不透明的密闭纸箱中装有个大小、形状完全相同的小球，其中个白球，个黑球小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸次，记随机变量为小张摸出白球的个数．
若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和
若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式
数列的通项，求的前项和
在任意相邻两项与其中之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列记为数列的前项和，求的值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
若函数有两个极值点，
求实数的取值范围
证明：函数有且只有一个零点．
答案简析
1.
【简析】解：由等差数列的通项公式可得：．
故选：．
2.
【简析】解：函数可导，
则，
所以
故选：．
3.
【简析】解：由题意，得，
则公比
4.
【简析】解： 的展开式的通项公式为 ，，，，，
令 ，可得，所以的系数为 ，
故选B．
5.
【简析】解：先给社区选人，有种方法，再给社区选人，有种，
根据分步乘法计数原理可得共有种选法．
6.
【简析】解：设直线与曲线的切点为，
由，所以，解得，
所以．
故选C．
7.
【简析】解：由，，
所以．
故选：．
8.
【简析】解：设，则，
当时，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数．
原不等式可化为，即，结合，可得，
所以原不等式的解集为，即．
9.AC
【简析】解：因为随机变量X~N(3,1),所以E（X）=3，D（X）=1，
选项A，Y=X+3,则E(Y)=E（X）+3=3+3=6，A正确；
选项B，Y=3X+1,则D(Y)=32D（X）=9，B错误；
选项C，因为2和4关于x=3对称，由正态分布的对称性可知，P(X2)=P(X4)，C正确；
选项D，由正态分布的对称性可知，1-2P(X4)=P(2X4)＜P(0X4)，D错误.
故选AC.
10.
【简析】解：由题意可知：当时，当时，
可知在，单调递增，在，单调递减，
可知：，，且的极大值点为，，极小值点为，
故AB正确CD错误．
11.
【简析】解：选项，二阶等差数列的前项为：，，，，，，所以数列的项为：，，，，，成等差数列，公差为，故A错误；
选项，由得，累加法得，所以，故B正确
选项，由选项可得，所以，，所以数列的前项和最大，故C错误
选项，由选项可得，所以，故D正确，
故选BD．
12.
【简析】解：中，
令，得，
即．
令可得，
．
13.
【简析】解：由，得，解得，
依题意．
故答案为：
14.
【简析】解：记为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，
记为事件“股票价格上涨”，
依题设知，，，，
于是
．
故答案为．
15.解：因为，令解得，所以
构造，．
当时，，于是在单调递增
当时，，于是在单调递减，
所以，于是，所以．
【简析】求导，令，代入求出，即可求出的表达式；
构造，求出函数的最大值即可求解。
16.解：因为，
依据小概率值的独立性检验，可以认为是否养宠物与性别有关联．
由的取值依次为，，，，，，得，，
因为回归方程为，
所以，
所以，
所以．
因为，所以与有较强的相关性，该同归方程有价值．
【简析】首先计算，再和比较大小，即可判断结论；
根据回归直线方程，结合和相关系数的公式，即可求解相关系数．
17.解:(1)由已知得,X~B(4,0.8),
所以E(X)=40.8=3.2,
D(X)=40.8(1-0.8)=0.64.
(2)由已知得,X服从超几何分布,
且P(X=k)=,k=2,3,4,
P(X=2)==，
P(X=3)==，
P(X=4)== ，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
【简析】(1)由已知得,X~B(4,0.8),根据二项分布即可求解；
(2)X服从超几何分布,且P(X=k)=,k=2,3,4,即可求解.
18.解：已知数列的前项和为，且满足，
则，
则当时，，
又满足上式，
即数列的通项公式为；
由可知，
所以，
所以，
则
，
所以
在任意相邻两项与其中之间插入个，
使它们和原数列的项构成一个新的数列，
则为数列的第项，
则，
则．
【简析】由已知可得，然后求数列的通项公式即可；
利用错位相减法求和即可；
由题意可得为数列的第项，则，然后结合等比数列的求和公式求解即可．
19.解：因为，
当时，在单调递减
当时，
当，．
当，．
当，．
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减
当时，在单调递增，单调递减．
由知．
由知极大值为，
因为，
又因为．
所以函数有且只有一个零点．
【简析】求出，然后对进行分类讨论，利用导数和单调性的关系即可求解
由即可求解
求出极大值，结合零点存在定理即可判断．
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