2023~2024学年广东东莞市沙田镇东莞市第十高级中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东东莞市沙田镇东莞市第十高级中学高二上学期期中数
学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、过点 的直线的方向向量为 ，则该直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、设 、 是两定点， ，动点P满足 ，则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条射线
D.轨迹不存在
3、直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A.2
B.
C.4
D.
4、一条光线从 射出，经直线 后反射，反射光线经过点 ，则反射光线所在直线方程为
（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 为椭圆 ： 的右焦点，直线 与椭圆交于点 ， ，则 的周长
为 ）
A.4
B.
C.8
D.
6、如图，在圆锥SO中，AB是底面圆 的直径，D，E分别为SO，SB的中点， ， ，则直
线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7、已知圆 ，圆 ，动圆M与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆
圆心M的轨迹方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为双曲
线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知双曲线C的方程为： ，则下列结论正确的是（ ）
A.实轴长为6
B.渐近线方程为
C.顶点坐标为 ，
D.焦距为
10、下列命题中，正确的是（ ）
A.如果 且 ，那么直线 不经过第三象限
B.空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点 的坐标为
C.若 构成空间的一个基底，则 ， ， 不共面
D.点 为圆 上任意一点，则 的取值范围是
11、设椭圆 的左右焦点为 ， ，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A.
B.P到 最小的距离是2
C. 面积的最大值为6
D.P到 最大的距离是9
12、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马
中， 底面 ，且 ，则（ ）
A.直线 与 所成角的余弦值是
B.点 到直线 的距离是
C.直线 与平面 所成角的正弦值为
D.点 到平面 的距离为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若方程 表示圆，则实数 的取值范围是
14、圆 在点 处的切线方程为 ．
15、如图所示,在空间四边形OABC中， ,点 在线段 上，且 ， 为
中点，若 = ，则
16、已知双曲线 （ ， ）的离心率为2， ， 分别是双曲线的左、右焦点，点
， ，点P为线段 上的动点，当 取得最大值和最小值时， 的面积分别为
， ，则 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 和直线 的交点为
(1)求过点 且与直线 平行的直线方程；
(2)若点 到直线 ： 距离为 ，求 的 值.
18、（本小题12分）
赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有 多年的历史，是保存最完整的古代单
孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国
文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱
跨度为 ，拱高为 ，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽 ，水面以上 高 ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
19、（本小题12分）
已知圆 与圆 相交于A， 两点．
(1)求公共弦 的长
(2)求圆心在直线 上，且过A， 两点的圆的方程
20、（本小题12分）
动点M与定点 的距离和它到定直线 的距离比是常数 ，动点M的轨与经过点 且倾斜角
为 的直线交于D、E两点．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)求线段 的长．
21、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为矩形， 为线段 上的
动点， .
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的大小为 ，请确定点 的位置.
22、（本小题12分）
已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C焦点F的 直线l与椭圆C交于A，B两点，且以 为底边的等腰直角三角形的顶点恰好在y轴上，求
直线l的方程．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
由于直线的方向向量为 ，故直线的斜率为 ，
故直线的方程为 ，即 ，
故选：A
2、
<答 案>:
B
<解析>:
依题意， 、 是两个定点，P是一个动点，
且 满足 ，所以动 点P的轨迹是双曲线的一支.
故选：B
3、
<答 案>:
C
<解析>:
圆 ，所以圆心 ，半径 ，
所以弦心距为 ，
所以弦长为 ，
故选：C
4、
<答 案>:
B
<解析>:
设 关于 的对称点为 ，
则有 ，
解得： ，即 ，
反射光线所在直线为 ，
整理得：
故选：B．
5、
<答 案>:
C
<解析>:
直线 恒过定点 为椭圆 的左焦点，
由椭圆的定义知 的周长 .
故选：C
6、
<答 案>:
C
<解析>:
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ．
7、
<答 案>:
D
<解析>:
如下图所示，通过题意得： ， ，其中 ，
所以 ，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以 为焦点的椭圆，设 ，
则 ，解得： ，
故动圆圆心M的轨迹方程为 .
因此正确答案为：D
8、
<答 案>:
C
<解析>:
设 ，
为等边三角形， ， ，又 ，
， ， ，
， ，
，解得： （舍）或 ，
双曲线 的离心率为 .
故选：C.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B
<解析>:
由双曲线方程为： ，焦点在 轴，所以 ，
所以实轴长为 ，故A正确；
渐近线方程为 ，故B正确；
顶点坐标为 ， ，故C错误；
焦距为 ，故D错误.
故选：AB.
10、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
A.由 且 ，可知，直线 的斜率 ，纵截距 ，则直线不经过第
三象限，故A正确；
B. 空间直角坐标系中 ，点 关于平面 对称的点 的坐标为 ，故B正确；
C. 若 构成空间的一个基底，则向量 不共面，
设 ，
则 ，无解，
所以向量 ， ， 不共面，故C正确；
D. 设 ，则 ，因为点 为圆 上任意一点，
所以圆心 到直线 的距离 ，解得： ，故D错误.
故选：ABC
11、
<答案 >:
A;D
<解析>:
由椭圆方程可得： ，则 ，
对A：根据椭圆的定义可得 ，A 正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到 的距离最 小，
最小值为 ，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是 椭圆的上顶点时， 的面积最大，
最大值为 ，C错误；
对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到 的距离最大，
最小值为 ，D正确.
故选：AD.
12、
<答案 >:
A;D
<解析>:
在阳马 中， 底面 ，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
，
于是 ，则直线 与 所成角的余弦值是 ，A正确；
点 到直线 的距离 ，B错误；
设 为平面 的法向量，则 ，令 ，得 ，
，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，C错误；
点 到平面 的距离 ，D正确.
故选：AD
三、填空题
13、
<答案 >:
或写成k<1
<解析>:
试题分析：由 ＞ 解得k<1
考点：本题考查圆的一般方程和二元二次方程表 示圆的条件
点评：解决本题的关键是掌握方程 表示圆的条件为
14、
<答案 >:
<解析>:
由圆 可得圆心坐标为 ，点 在圆 上.
则直线 的斜率为： .
由圆的性质可知：圆 在点 处的切线与直线 垂直.
所以圆 在点 处的切线斜率为 ，则切线方程为
，即 .
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
点 在 上，且 ， 为 的中点
2 2
=
3 3
=
故
故答案为
16、
<答案 >:
<解析>:
由于双曲线的离心率为 ，故 ，
所以直线 的方程为 ，
设 ， ，又焦点 坐标为 ，
则 ， ，
所以
，
由于 ，故当 时取得最小值，此时 ，
当 时取得最大值，此时 ，则 .
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2) .
<解析>:
（1）联立方程组 ，解得 ，所以点 ，
又所求直线与直线 平行，所以所求直线的斜率为 ，
则所求的直线方程为： ，即 ；
（ ）
（2）点 到 ： 的距离为
解方程可得 .
18、
<答案 >:
(1)
(2) 可以从桥下通过，理由见解析
<解析>:
（Ⅰ）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为 ，
因为该拱圆过 ， ， ， ， ， ，
所以 ，解得 ．
所以拱圆的一般方程为 ，
即 ．
（Ⅱ）当 时， ，
得
所以该景区游船可以从桥下通过．
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由两圆方程相减即得 ，此为公共弦 所在的直线方程，
由 ，
即圆心 ，半径 ，
则 到直线 的距离为 ，
公共弦长 ；
（2）法一、由 或 ，
不妨令 ， ， ， ，
中点为 ， ，
易知 ，则 中垂线的斜率为 ，
中垂线的方程为 ，
由 ，
即圆心为 ， ，半径 ，
∴所求圆的方程为 ；
法二、 圆 的圆心 ， 不在 上， 符合题意的圆不是圆 ，
设所求的圆的方程为 ，
即 ，
圆心为 ，在 上，
代入可得 ，
所求圆的方程为 .
20、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）设 ，由已知得 ，
整理得 ，即动点M的轨迹方程为 ；
（2）由已知条件得直线方程为 ，
由 与 消y得
，∴直线与双曲线有两个交点，
设 ，则
所以 .
故线段 的长 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)点 为线段 的一个三等分点.
<解析>:
（1）取 的中点 ，连接 ，
，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 平面 ，
，
Rt Rt ，
，
，
，
平面 平面 ，
平面 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，
为 的中点， 为 的中点 ，四边形 为矩形， ，
两两垂直， 以点 为坐标原点，
分别为 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系，
所以 ，
设 ，有 ，
有 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，有
取 ，可得平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
又由 ，有 ，
，
可得 ，
又由 ，有 ，解得 或 ，
故若直线 与平面 所成的角为 ，则点 为线段 的一个三等分点.
22、
<答案 >:
(1)
(2) 或 .
<解析>:
（1）解：由题意得： ，
又 ，解得 ，
所以椭圆的方程为：
（2）如图所示：
当直线l与x轴重合时，符合题意；
当直线l与x轴垂直时， ， ，N ，不符合题意；
当直线l与x轴不重合，不垂直时，设直线方程为 ，
，
联立 ，消去y得 ，
则 ， ，
，
线段AB的中点坐标为 ，
则线段AB的中垂线方程为 ，即 ，
令 ，得 ，
由题意知： ，则 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
整理解得 ，即 ，
所以直线方程为： ，
综上：直线的方程为： 或 .