2023~2024学年广东湛江霞山区湛江市第二十中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东湛江霞山区湛江市第二十中学高二上学期期中数学试
卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则k＝（ ）
A.4
B.
C.5
D.
2、直线 过圆 的圆心，并且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、如图所示，在正方体 中，下列各组向量的夹角为 的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
5、已知圆C的方程为 ，则圆C的半径为（ ）
A.
B.2
C.
D.8
6、已知平面内的两个向量 ， ，则该平面的一个法向量为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、两平行直线 和 间的距离是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知椭圆 为椭圆的对称中心， 为椭圆的一个焦点， 为椭圆上一点，
轴， 与椭圆的另一个交点为点 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 ∥ 的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知直线 ，点 ， ，下列结论正确的是（ ）
A.直线l恒过定点
B.当 时，直线l的斜率不存在
C.当 时，直线l的倾斜角为
D.当 时，直线l与直线 垂直
11、已知椭圆 ， ， 是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A.椭圆离心率为
B. 的最大值为3
C.
D.
12、（多选题）点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则
（ ）
A.实数 的取值范围为
B.当 时， 的最小值为 ，最大值为
C.当圆 和圆 外切时，
D.当圆 的圆心在圆 上时，圆 和圆 的相交弦的长度为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 三点共线，则实数m的值为 ．
14、已知 三点共线， 为空间任意一点， ，则 .
15、已知圆 与圆 ，则两圆的公共弦所在的直线方
程为 .
16、已知椭圆 的一个焦点坐标是 ，则实数 的值是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知向量 ， .
(1) 求 与 ；
(2)当 为何值时，向量 与 垂直？
18、（本小题12分）
在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ，请你再从条件① ；② ；
③ 中任意选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形.（注：如果选择多个条件分别解答，按
第一个解答计分）
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
19、（本小题12分）
（1）求经过直线 ， 的交点，且过点 的直线的方程；
（2）求经过直线 和 的交点，且与直线 垂直 的直线的方
程．
20、（本小题12分）
如图所示，在底面是矩形的四棱锥 中， ⊥底面 ，E，F分别是 的中点，
， .
求证：
(1) 平面 ；
(2)平面 ⊥平面 .
21、（本小题12分）
已知直线 ，椭圆 .试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)相交；
(2)相切；
(3)相离？
22、（本小题12分）
如图，已知菱形 和矩形 所在的平面互相垂直， ，
.
(1)求直线 与平面 的夹角；
(2)求点 到平面 的距离.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
∵ ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选：D
2、
<答 案>:
D
<解析>:
由 可知圆心为 ，
又因为直线 与直线 垂直，
所以直线 的斜率为 ，
由点斜式得直线 ，
化简得直线 的方程是 ．
故选：D ．
3、
<答 案>:
C
<解析>:
根据题意,要使方程 表示焦点在 轴上的椭圆,
需满足 ,解得 .
故选:C.
4、
<答 案>:
A
<解析>:
以 为原点，分别以 所成在的直线为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得
，
则 ，
由 ，
因为 ，所以 ，所以A正确；
由 ，
因为 ，所以 ，所以B不正确；
由 ，所以 ，所以C不正确；
由 ，
因为 ，所以 ，所以D不正确；
故选：A.
5、
<答 案>:
C
<解析>:
由圆C的半径得 ，所以圆C的半径为 ，
故选：C
6、
<答 案>:
C
<解析>:
显然 与 不平行，设该平面的一个法向量为 ，
则有 ，即 ，
令 ，得 ，所以 ，故A,B错误，
令 ，得 ，则此时法向量为 ，故D 错误.
故选：C.
7、
<答 案>:
A
<解析>:
直线 化为 ，
因此所求距离为 ，
故选：A．
8、
<答 案>:
B
<解析>:
AI
如图，不妨设 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，解得 ，
所以 ，
又因为 为等腰直角三角形，所以 ,
即 ，即 ，所以 ，
解得 或 （舍），
故选:B.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;D
<解析>:
对于选项A：因为 ，所以有可能使 ∥ ，故A正确；
对于选项B：因为 ，所以不可能使 ∥ ，故B错误；
对于选项C：因为 ，所以不可能使 ∥ ，故 C错误；
对于选项D：因为 ，则 ，有可能使 ∥ ，故D正确；
故选：AD.
10、
<答案 >:
C;D
<解析>:
直线 ，故 时， ，故直线l恒过定点 ，故A错误；
当 时，直线 ，斜率 ，故B错误；
当 时，直线 ，斜率 ，故倾斜角为 ，故C正确；
当 时，直线 ，斜率 ，而 ，
故 ，故直线 与直线 垂直，故D正确.
故选：CD.
11、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
由椭圆 ，可得 ，则 ，
对于A中，由椭圆 的离心率为 ，所以A正确；
对于B中，由椭圆的几何性质，当点 为椭圆的右顶点时，可得 ，
所以B 正确；
对于C中，当 点 为椭圆的短轴的端点时，可得 ， ，
所以 ，根据椭圆的几何性质，可得 ，所以C正确；
对于D中，由椭圆的定义，可得 ，所以D错误.
故选：ABC.
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
圆 的圆心 ，半径 ，
圆 ： ，即 ，
则圆 的圆心 ，半径 ，
A 对于 ，由题意， ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，故A正确；
当 时，圆 的半径 ，
因为 ，
所以两圆外离，
所以 的最小 值为 ，最大值为 ，故B正确；
对于C，当圆 和圆 外切时， ，
即 ，解得 ，故C错误；
对于D，当圆 的圆心在圆 上时，
则 ，解得 ，
所以圆 ： ，
两圆的方程相减得 ，
即两圆的公共弦所在直线的方程为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以公共弦长为 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13、
<答案 >:
0
<解析>:
由 三点共线可得 ，
即 ，解得 .
故答案为：0.
14、
<答案 >:
<解析>:
因为 三点共线，∴ ，
即 ， ，
又 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
15、
<答案 >:
<解析>:
圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
于是 ，即圆 相交，
由 消去二次项得 ，即 ，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为 .
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
由椭圆 ，可得 ，
因为椭圆的一个焦点坐标为 ，可得 且 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）因为 ， ，故 ，
. 故
（2） ， ，
因为向量 与 垂直，故 ，故 .
18、
<答案 >:
(1)选择条件①不合题意；选择条件② ；选择条件③ .
(2)选择条件② ；选择条件③ .
<解析>:
（1）选择条件①， ，由正弦定理 ，得 ，此时 或
，三角形不唯一，不合题意．
选择条件②， ，由于 ， ，
所以 ，解得 ；
选择条件③， ，由于 ， ，由正弦定理 ， .
（2）选择条件②， ，由 ，则 ，满足 ，
故 为直角三角形，
所以 ；
选择条件③， ，在 中， ，
所以 .
19、
<答案 >:
（1） ；（2）
<解析>:
（1）设 的交点为 ，
联立 ，解得 ，
所以 的交点为 ,
所以 ,
由点斜式可得， 整理得 .
（2）设 的交点为 ，
联立 ，解得 ，
所以 的交点为 ,
设所求直线方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，
所以所求直线方程为 .
20、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)证明见解析
<解析>:
（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， , ， ， ，
∴ ， ， ，
， ， ， .
， ，
即 ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2） ，
，
∴ ，即
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 .
21、
<答案 >:
(1)
(2)
(3) 或 .
<解析>:
（1）联立 ，得 ，
，
当直线与椭圆相交，即 ，则 ，解得： ；
（2）当直线与椭圆相切，即 ，则 ，解得： ；
（3）当直线与椭圆相离，即 ，则 ，解得： 或 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）设 ，因为菱形 和矩形 所在的平面互相垂直，所以易得 平面 ，
以 点为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 点且平行于 的方向为 轴正方向，建立
空间直角坐标系，
由已知得 ， ，
因为 轴垂直于平面 ，因此可令 平面 的一个法向量为 ，
又 ，设直线 与平面 的夹角为 ，
则有 ，即 ，
所以直线 与平面 的夹角为 .
（2）由（1）空间直角坐标系，得 ， ，所以 ， ，
可设平面 的法向量为 ，则 ，得 ，
令 ，得 ， ，即 ，
又因为 ，
所以点 到平面 的距离为 .