2023~2024学年江苏淮安盱眙县马坝高级中学高三上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年江苏淮安盱眙县马坝高级中学高三上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、命题“ ”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知复数 满足 ，则 （ ）
A.2
B.4
C.
D.
4、已知 ，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、函数 的零点所在的区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、若 ， ， ，则事件A与 的关系是（ ）
A.事件A与 互斥
B.事件A与 对立
C.事件A与 相互独立
D.事件A与 既互斥又相互独立
7、已知曲线C1： ，C2： ，则错误的是（ ）
A.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动 个单位长度，得到曲
线
B.把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动 个单位长度，得到曲
线
C.把 向左平行移动 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲
线
D.把 向左平行移动 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲
线
8、已知函数 （ ）在 上恰有2个零点，则 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 中心对称
D. 在区间 上单调递增
10、在 中，角 所对的边为 ，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A.若 ，则 为等腰直角三角形
B.若 ，则
C.若 ，则符合条件的 有两个
D.在锐角三角形 中，不等式 恒成立
11、在正方体 中，E，F，G分别为BC， ， 的中点，则（ ）
A.直线 与直线AF异面
B.直线 与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D.三棱锥A-CEF的体积是正方体 体积的
12、函数 的定义域为 ，已知 是奇函数， ，当 时，
，则下列各选项正确的是（ ）
A.
B. 在 单调递增
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 ．
14、数据4、7、6、8、2、5、9、20的第70百分位数为 .
15、已知在 中， ， ，则 边上的高为 ．
16、三棱锥 的四个顶点都在表面积为 的球O上，点A在平面 的射影是线段 的中点，
，则平面 被球O截得的截面面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在 中,角 所对的边分别是 ,若 ,且 .
（Ⅰ）求 的值;
（Ⅱ）若 ,求 的面积.
18、（本小题12分）
已知向量 .
(1) 求函数 的单调递减区间；
(2)若 ，求 的值.
19、（本小题12分）
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
20、（本小题12分）
如图，正方形 和直角梯形 所在平面互相垂直， ， ，且 ，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的 余弦值．
21、（本小题12分）
“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有
甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青
菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问：
(1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的 条件下，第二个是肉馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄
馅的概率.
22、（本小题12分）
已知 ， ．
(1)若 在其定义域上为减函数，求 的取值范围；
(2)若函数 在 上有且只有1个零点，求 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
由题意知： ， ，
所以： ，故D项正确.
故选：D.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
因为存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“ ”的否定是“ ”.
故选：C．
3、
<答 案>:
C
<解析>:
设 ，则 ， ，
所以 ，
故选：C
4、
<答 案>:
B
<解析>:
，
根据充分条件、必要条件的定 义可知：
对于A， 是 的充要条件,A错误 ；
对于B， 是 的必要不充分条件， B正确；
对于C， 是 的充分不必要条件，C错误；
对于D， 是 的既不充分也不必要条件，D错误．
故选:B．
5、
<答 案>:
A
<解析>:
， ，
由 ，根据零点定理，则 在 上存在零点；
当 时，函数 与函数 单调递增，则 单调递增，
所以函数 仅在 中存在一个零点.
故选：A.
6、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意，
， ， ，
∴ ，
∴事件 与 相互独立、事件 与 不互斥，故不对立.
故选：C.
7、
<答 案>:
D
<解析>:
对于A. 上各点横坐标缩短到原来的 倍，得到 \sin2 ，再向左平移 个单位长度，得到
，正确；
对于B. 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，得到 \sin2 ，再向右平移 个单位长度，得到
，正确；
对于C. 向左平移 个单位长度，得到 ，再把各点横坐标缩短到原来的 倍，得到
，正确；
对于D. 向左平移 个单位长度，得到 ，再把各点横坐标缩短到原来的 倍，得到
，错误.
故选：D
8、
<答 案>:
B
<解析>:
因为： ，所以： ，
令： ，则得： .
因为： 在 上有 个零点，
所以： ，解得： .
故 的取值范围为： ，故B项正确.
故选：B.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;C;D
<解析>:
的最小正周期 ，A正确；
令 ，解得 ，所以对称轴为 ，故B错；
令 ，解得 ，所以 的对称中心为 ，故C正确；
令 ，解得 ，所以单调递增区间为
，当 时满足题意，故D正确.
故选：ACD.
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
A选项， ， ，
故 或 ，解得 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，A错误；
B选项， ，由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，
因为 ，所以 ，故 ， ，
因为 ，故 ，B正确；
C选项，若 ，则 ，
则符合条件的 有0个，C错误；
D选项， 为锐角三角形，故 为 锐角，
由余弦定理得， ，故不等式 恒成立，D正确.
故选：BD
11、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
对于选项A，易知AF与 异面，选项A正确；
对于选项B，取 的中点为M，连接 、G M，则 ， ，易证平面 平面
，从而 平面 ，选项B正确；
对于选项C，连接 ， ，易知平面 AEF截正方体所得的截面为等腰梯形 ，选项C正确；
对于选项D．设正方体棱长为a，三棱锥A-CEF的体积 ，选项D错误．
故选：ABC．
12、
<答案 >:
A;C
<解析>:
∵ 是奇函数，则 ，
∴ ，故C正确；
又 ，故 ，
所以 ，即 是 的一个周期，故A正 确；
由 关于 中心对称，即函数 在 上的单调性与 上的单调性 一致，
由 ，则 时， ，此时函数单调递减，即B错误；
由上知： ，故D错误.
故选：AC
三、填空题
13、
<答案 >:
/
<解析>:
由三角函数的诱导公式，可得：
．
故答案为： .
14、
<答案 >:
8
<解析>:
将数据从小到大排列为2、4、5、6、7、8、9、20，一共8个数据，
％ ，则该数据的第70百分位数为8，
故答案为：8.
15、
<答案 >:
6
<解析>:
，所以 .
，
所以 ，
所以 ，
所以 .
又 ，且在 中， ，
所以 ，
所以 .
由正弦定理 可知， .
设 边上的高为h，则 ，
所以 .
故答案为：6
16、
<答案 >:
<解析>:
设球O的半径为 ，则 ，解得 ，
因为点A在平面 的射影是线段 的中点 ，即 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
由三线合一可知， ，
因为 ，所以 为等边三角形，
故 ， ，且球心O在平面 上的投影为 的中心 ，
即 ，
过点O作 ⊥平面 于点 ，连接 ，故 ，
则 与 平行，故 ，
由勾股定理得 ，
平面 被球O截得的截面为圆，半径为2 ，
故面积为 .
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
（Ⅰ） ;（Ⅱ） .
<解析>:
（Ⅰ） 可得
所以 ，所以 ，
所以
所以
（Ⅱ）由（1）可得
在△ 中，由正弦定理
∴ ,
∴ .
18、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）
，
令 ，
解得 ，
函数 的单调递减区间为 .
（2）由（1）知， ，
又 ，
，则 ，
，
则
.
19、
<答案 >:
(1)
(2)答案见解析
<解析>:
（1）函数 的定义域为 ， .
当 时， ， ，
因而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）由 ，
①当 时， ，函数 为 上的增函数，函数 无极值；
②当 时，令 ，解得 ，
所以 时， ， 在 上的单调递减，
时， ， 在 上的单调递增.
所以函数 在 处取得极小值，且极小值为 ，无极大值.
综上所述，当 时，函数 无极值；
当 时，函数 在 处取得极小值 ，且极小值为 ，无极大值.
20、
<答案 >:
(1)证明见解析；
(2)
<解析>:
（1）由正方形 的性质知： ，又 平面 ， 平面 ， ∥平面 ，
， 平面 ， 平面 ， ∥平面 ， ， 平面
，
平面 ∥平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 平面
，
又 ，则 平面 ，又 ，则 两两垂直，以 为原点，
的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，由
得：
，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 得 ，
又易得平面 的一个法向量为 ，则 ，
又二面角 为锐角，则二面角 的余弦值为 .
21、
<答案 >:
(1)
(2)
(3)
<解析>:
（1）设事件 “取出青团是蛋黄馅”， .
（2）设事件 “甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件 “取出第二个青团是肉馅”，
.
（3）设事件 “从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”.
设事件 分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团 ”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”，
22、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由题知 在 上恒成立，
∴ ，令 ，则 ，
由 ，得 ，∴ 在 上单调递增，
由 ，得 ，∴ 在 上单调递减，
∴当 时， 取得最小值 ，
∴ ；
（2）由题知， ， ，
∴ ，
由 ，得 ，
当 时， ，使得 ，
因为函数 在 上单调递增，
则当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
∴当 ，即 时， 在 上无零点，
当 ，即 时， 在 上有一个零点；
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
又 ， ，
故 在 上无零点．
综上， 的取值范围为 ．