2023~2024学年江西吉安吉州区高三上学期期中数学试卷（一中）（PDF版含解析）

2023~2024学年江西吉安吉州区高三上学期期中数学试卷（一中）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.R
D.
2、设 ，若复数 的虚部为3（其中 为虚数单位），则 （ ）
A.
B.
C.
D.3
3、已知 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个
答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题
目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题
目的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.1
5、已知双曲线 的右焦点为 ，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐近线的
两个交点为 ．若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的 是较小的两个数之和，则这五个
数中最大的数为（ ）
A.
B.20
C.
D.
7、 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足 ， 为正
实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为1
C. 的最大值为16
D. 的最小值为4
8、设函数 （ ）（ 为自然对数的底数），若关于 的不等式 的
正整数解有且只有两个，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A.已知 ，若 ，则
B.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从
高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
C.已知 ，若 ，则
D.数据 的 分位数为77
10、已知函数 ，则（ ）
A.函数 的最小正周期为
B.若函数 为偶函数，则
C.若 ，则函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
D.若 ，则函数 的图象的对称中心为
11、已知 ，则关于函数 说法正确的是（ ）
A.函数 在 上为减函数
B.函数 的图象的对称轴为
C. ，使得
D.
12、如图，矩形 中， 为边 的中点，沿 将 折起，点 折至 处 平
面 分别在线段 和侧面 上运动，且 ，若 分别为线段 的中点，则在
折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 面积的最大值为
B.存在某个位置，使得
C.三棱锥 体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积为
D.三棱锥 体积最大时，点 到平面 的距离的最小值为 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数 在点 处的切线方程为 ．
14、已知球O的表面积为100 ，某个高为6的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱的体积为 ．
15、已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为 .
16、在如图所示的三角形数阵中，用 （ ）表示第i行第j个数（ ），已知 （
），且当 时，除第i行中的第1个数和第i个数外，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和.
即 （ ）.若 ，则正整数m的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ，若D为 边上一点，
， ．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．
18、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ，点 在棱 上， ，点
在棱 上， 为 的中点， .
(1)求证： 四点共面.
(2)求直线 与平面 的所 成角的正弦值.
19、（本小题12分）
记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，记数列 的前 项和为 ，试求 除以3的余数.
20、（本小题12分）
本届杭州亚运会是首届采用云上转播的亚运会，预计在云上传输最大60路高清和超高清信号，某企业负责生产
所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为 （ ），且各套设备的生产互不影响．
(1)生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为 ．
①求 ；
②现对该 企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会
被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96%，
求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率．
(2)视 为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取 套，其中恰含 （ ）个次品的概率为 ，求证：
在 时取得最大值．
21、（本小题12分）
已知抛物线 ： （ ）的焦点 也是椭圆 ： 的一个焦点，
是 与 在第一象限的公共点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点，与 交于 两点，且 与 同向.
（i）当直线 绕点 旋转时，判断 的形状；
（ii）若 ，求直线 的斜率.
22、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区 间与极值；
(2)若当 时，恒有 ，求 的 取值范围；
(3)设 ，证明： ．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
依题意： ， ，
所以 .
故选：A.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
复数 ，
依题意， ，所以 .
故选：C
3、
<答 案>:
A
<解析>:
由题设 ，又 ，
所以 ，故 ，
所以 .
故选：A
4、
<答 案>:
C
<解析>:
设事件 表示选 题板中题目，事件 表示选 题板中题目，事件 表示进入下一轮比赛，
由题意， ， ， ，
又 .
故选：C
5、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 ， ，所以三角形 为正三角形，
所以 到直线 的距离为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
因此正确答案为：D
6、
<答 案>:
C
<解析>:
设这五个数分别为 ， ，
由题意可得 ，解得 ，
且 ，解得 ，
则最大的数为 .
故选：C
7、
<答 案>:
D
<解析>:
AB选项，因为 ，所以 ，
故 ，
因为 三点共线，设 ，即 ，
故 ，
令 ，故 ，
为正实数，由基本不等式得 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 ，AB错误；
CD选项， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，C错误，D正确.
故选：D
8、
<答 案>:
B
<解析>:
由题设 在 上有且只有两个正整数解，
所以，在 上 有且只有两个正整数解，
令 且 ，则 ，
当 ， ，则 递减；当 ， ，则 递增；
故极小值 ，
又 恒过 ，只需 ，
故实数 的取值范围是 .
故选：B
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C
<解析>:
对于A：由已知得 ，解得 ，A错误；
对于B：根据分层抽样，高二抽取了 人，则高三抽取了 人，B正确；
对于C：由正态分布的对称性可得 ，C正确；
对于D：将数据从小到大排列：
因为 ，所以 分位数为第5个数，即 ，D错误.
故选：BC .
10、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
由题意，函数
，其中
可得函数 的最小正周期为 ，故A正确；
若函数 为偶函数，则 ，故B错误；
若 ，则函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到，故C正确；
若 ，则函数 ，令 ，求得 ， ，
可得它的图象的对称中心为 ，故D正确，
故选：ACD．
11、
<答案 >:
A;D
<解析>:
当 时，原等式化为 ，
当 时，原等式化为 ，
当 时，原等式化为 ，
当 时，原等式化为 ，此方程无解，
结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：
由图象可知，函数 在 上为减函数，所以A正确；
第一象限的图象为椭圆的部分，不关于 ，所以B错 误；
函数图象不出现在第三象限，所以不存在 ，使得 ，
所以C错误；
因为第四象限部分双曲线 的渐近线与第二象限的双曲线 部分的渐近线都为
，所以结合函数图象 恒成立，所以D正确.
故选:AD.
12、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
对于A，由 ， ，则 ，
所以当 时， 最大，且最大值为 ，故A正确；
对于B，取 的中点 ，连接 ，显然 ，且 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 ，且 ， 为 的中点，
则 与 不垂直，
所以 与 不垂直 ，故B错；
对于C，易知三棱锥 体积最大时，平面 平面 ，交线为 ，
作 ，因为 平面 ，则 平面 ，
取 中点 ，连接 ， ， ，则 ，
由勾股定理可得 ，
又 ，故点 为三棱锥 的外接球的球心，
所以其外接球的半径为 ，表面积为 ，故C正确；
对于D，由选项C可知 ， ，
点 在以 为球心，1为半径的球面上，设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
易知 ， ， ，
， ， ，
所以点 到平面 的距离的最小值为 ，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
由已知 ，
所以 ，又 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，
即 .
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
设球的半径为 ，圆柱的底面半径为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以圆柱的体积为 .
故答案为： .
15、
<答案 >:
.
<解析>:
因为 与 在其定义域单调递增，
所以在各自定义域内不可能有两个点 使得 ，
又因为 ，所以由题意得 ，
故由 得 ，则 所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
故 ，即 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
2026
<解析>:
∵ ，
，
∴
，
因为若 ，则 ，即 ，
因为 ，故 ，所以 ， ，
即 ，
所以正整数m的最小值为2026.
故答案为：2026
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1） ，由正弦定理可得 ，
即 ，
因为 ， ，故 ， ，
又 ，故 .
（2）
因为 ，故 ，
在 中， ，得 ，
在 中， ，得 ，
故 ，而 ， ，
所以 ，
由题意知 ， ，
故 ，即 的取值范围为 .
18、
<答案 >:
(1)证明见解析；
(2)
<解析>:
（1）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，则
.
设 ，则 ，解得 ，
则 ，即 四点共面.
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得 ，
设平面 的法向量为
由 取 ，可得 ，所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线PA与平面AMN所成角的正弦值为 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)2
<解析>:
（1）由 有 ，即 ，
又 ，故 ，
所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
故 ，两式相减得 ，即 ，
所以 ，
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）及 ，有 ，所以 ，
又 ，
因为 均为正整数，所以存在正整数 使得 ，
故 ，
所以 除以3的余数为2.
20、
<答案 >:
(1)① ，② .
(2)证明见解析.
<解析>:
（1）①因为两道生产工序互不影响，所以
②记该款设备自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且 ，
则人工抽检时，抽检的一套设备恰是合格品的概率 ．
（2）因为各套设备的生产互不影响，所以 ，
则 ．
令 ，得 ，
当 时， 为单调增函数；
当 时， 为单调减函数，
所以，当 时， 取得最大值．
21、
<答案 >:
(1)
(2)（i） 为钝角三角形（ii）
<解析>:
（1）因为 是 与 在第一象限的公共点
所以 ，则 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）设 ，
（i）设直线 的方程为 ，联立 得 ，
则 ，
，
所以 为钝角三角形.
（ii）因为 与 同向，且 ，所以 ，
从而 ，即 ，所以 ，
联立 得 ，
则 ，所以 ，
即 ，
所以直线 的斜率为 .
22、
<答案 >:
(1)减区间为 ，增区间为 ；极小值为 ，无极大值；
(2) ；
(3)证明见解析.
<解析>:
（1）因为 ，所以 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
故减区间为 ，增区间为 ；极小值为 ，无极大值；
（2）令 ，则 时 恒成立；
，且 ；
令 ，则 ，且 ；
①当 时， ，则在 上存在点 ，使 时 ，
则 在 上单调递增，此时 ，
在 上单调递增，则 ，不合题意；
②当 时， ，
令 ，则 ， 在 上单调递减，
，即 ， ，则 ，
， 在 上单调递减， ，
在 上单调递减， ，满足题意；
综上所述： 的取值范围为 .
（3）当 时，由（2）知：当 时 恒成立，
令 ，则 ， ，则 ，
，即 对任意 恒成立，
对 ， ，即 ，
.