2023~2024学年江西宜春丰城市东煌学校高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 2023~2024学年江西宜春丰城市东煌学校高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-12 16:43:30 | ||
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文档简介
2023~2024学年江西宜春丰城市东煌学校高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点为B，则 点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知椭圆 的右顶点为 ，下顶点为 ， 为坐标原点，且点 到直线 的距离
为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、如图，在平行六面体 中，若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知 ， ， ，则 与 的夹角是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知左、右焦点分别为 ， 的双曲线 上一点 到左焦点 的距离为 ，点 为坐
标原点，点 为 的中点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知平面 ，其中 ，法向量 ，则下列各点中不在平面 内的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
7、以下四个命题中，正确的是（ ）
A.向量 与向量 平行
B. 为直角三角形的充要条件是
C.
D.若 为空间的一个基底，则 ， ， 构成空间的另一基底
8、已知点P为直线 上的一点，M，N分别为圆 ： 与圆 ：
上的点，则 的最小值为（ ）
A.5
B.3
C.2
D.1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知双曲线 ： 的焦点在 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线 的实轴长为6
B.双曲线 的虚轴长为2
C.双曲线 的焦距为
D.双曲线 的离心率为
10、下列说法正确的是（ ）
A.任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.直线的方向向量有且仅有一个
11、已知空间中三点 ， ， ，则（ ）
A.
B. 方向上的单位向量坐标是
C. 在 上的投影向量的模为
D. 与 夹角的余弦值是
12、（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以
是（ ）
A.
B.
C.1
D.2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知直线 的倾斜角 ，直线 与 的交点为 ，直线 和 向上的方向所成的角为 ，如图，则
直线 的倾斜角为 ．
14、已知空间向量 两两夹角均为 ，其模均为1，则 .
15、在四面体 中，空间的一点 满足 ，若 ， ， 共面，则
．
16、已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点为A、 ， ， ．则直线
被椭圆 截得的弦长为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 ， .
(1)当 // 时，求实数 的值;
(2)当 时，求实数 的值.
18、（本小题12分）
已知抛物线 ： 上的一点 到焦点F的距离为 .
(1)求抛物线方程；
(2)若直线 交E于S，T两点，О为坐标原点，证明 .
19、（本小题12分）
如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面 外任意一点，且平面 中的小方格均为单位正方形，在图中
标出点P，Q，R，S，使得 ，
.
20、（本小题12分）
（1）己知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 边上的高 所
在直线方程为 ，求直线 的方程；
（2）求经过点 ，且在 轴上的截距和 轴上的截距相等的直线的方程.
21、（本小题12分）
已知直线 和点 ， ．
(1)在直线l上求一点P，使 的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使 的值最大．
22、（本小题12分）
已知定点 ，动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是 ．
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（2）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F、G是曲线 D上不同的两点，对于定点 ，有|QF||QG|=4．试
问无论F、G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明
理由．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
由题意知，在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点为 .
故选:B.
2、
<答 案>:
B
<解析>:
通过题意知 ， ，
所以直线 的方程为 即 ，
所以点 到直线 的距离为 ，所以 ，
所以 ．
因此正确答案为：B．
3、
<答 案>:
A
<解析>:
解： ，又因 ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
故选：A.
4、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 与 的夹角是 .
故选：C.
5、
<答 案>:
A
<解析>:
由 ，得 ，∴点 在双曲线左支上，故 ，∴ ，得双曲线方
程为 ，∴双曲线 的渐近线方程为 .
故选： .
6、
<答 案>:
A
<解析>:
若点在平面 内，则 ，
对于A： ，所以A选项的点不在平面 内；
对于B： ，满足要求，所以在平面内；
对于C： ， 满足要求，所以在平面内；
对于D： ，满足要求，所以在平面内，
故选：A
7、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 为空间的一个基底，设 ，即 ，无解，
所以 ， ， 不共面，则 ， ， 构成空间的另一基底，故D正确；
因为 ，所以 和 不平行，故A错误；
为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是 ，所以无法推出 ，故B错误；
，当 时， ，故C错误.
故选：D.
8、
<答 案>:
B
<解析>:
如下图所示，由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
可得圆心距 ，
如下图所示， ，
所以 ，
当 共线时，取得最小值，
故 的最小值为 .
因此正确答案为：B
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B
<解析>:
由题设 ，而 ，故 ，则 ，
所以双曲线方程为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
故A、B对，C、D错.
故选：AB
10、
<答案 >:
A;C
<解析>:
对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A无误，B有误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C无误；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D有误.
因此正确答案为：AC
11、
<答案 >:
B;D
<解析>:
由 ，则 ，A错；
方向上的单位向量坐标是 ，B对；
由 ，则 在 上的投影向量的模为 ，C错；
由 ，则 ，D对.
故选：BD
12、
<答案 >:
B;C
<解析>:
抛物线 的准线与x轴交于点Q，
准线为 ，Q点的坐标 ，
又直线l过点Q，且斜率必存在，
可设l： ，
联立 ，可得 ，
当 时，得 ，即交点为 ，
当 时，由 得，即 ，
解得， 或 ，
综上，k的取值范围是 ．
故选：BC.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
设直线 的倾斜角为 ，因为 和 向上的方向所成的角为 ，
所以， ，故 ．
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
单位向量 两两夹角均为 ，则 ，
所以
.
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
法一：由题意 ，
， ，
因为 ， ， 共面，
所以存在实数唯一实数对 ，使得 ，
即 ，
所以 ，解得 ．
法二：由 ， ， 共面得 四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得， ，即 ．
故答案为： .
16、
<答案 >:
．
<解析>:
设椭圆的半焦距为 ，由 ， ，
可得 ， ，解得 ， ，
则 ，
即有椭圆的方程为 ，
联立直线 和椭圆 ，
可得 ，
设被椭圆 截得的弦的端点 的横坐标分别为 ， ，
则 ， ，
可得弦长为 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）解：因为 ， ，
所以 // ，
，
解得 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
18、
<答案 >:
(1) ；
(2)证明见解析 .
<解析>:
（1）由抛物线定义知： ，则 ，
∴抛物线方程为 .
（2）令 ，联立 与 ，整理得： ，
∴ ， ，则 ，
而 ， ，
∴ ，得证.
19、
<答案 >:
详见解析.
<解析>:
如图， ，则 ，
设 ，则 ，点 即为 Q 点，
令 ，则点 即为 R 点， ，
令 ，则 即为 S 点， .
20、
<答案 >:
（1） ；（2） 或
<解析>:
（1）由题意知：点 在直线 上，则可设 ，
中点为 ， ，解得： ，
， ， 直线 方程为： ，即 ，
由 得： ，即 ；
直线 的方程为： ，即 ；
（2）设直线在 轴上的截距分别为 ，
当 时，直线经过原点，则直线斜率 ，
直线方程为 ，即 ；
当 时，可设直线方程为 ，则 ，
直线方程为 ；
综上所述：直线方程为 或 .
21、
<答案 >:
(1)
(2) ．
<解析>:
（1）通过找出点A关于直线l的对称点为 ，将 的最小值转化为 的最小值，利用三角
形三边的关系可知 ，即可求点P的坐标;
（2）利用三角形的三边关系可知 ，再求 出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.
（1）
设A关于直线l的对称点为 ，则 ，
解得 ，故 ，
又∵P为直线l上的一点，则 ，
当且仅当B，P， 三点共线时等号成立，此时 取得最小 值 ，
点P即是直线 与直线l的交点．
由 ，解得 ，
故所求的点P的坐标为 ．
（2）
通过题 意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则 ，当且仅当A，B，P三点共线时等号 成立，
此时 取得最大值 ，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为 ，
∴由 ，解得 ，
故所求的点P的坐标为 ．
22、
<答案 >:
（1）答案见解析；（2）直线FG与定圆 相切，理由见解析.
<解析>:
（1）设动点P(x,y)，由 |PO|=|PA|得： ，
整理得： ，又 ，
当 时 ，曲线是线段OA的垂直平分线；
当 时 ，即曲线是 ( ,0)为圆心， 为半径的圆．
（2）当 时曲线D为 ，表示圆心是D( )，半径是2的圆．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
面积相等得： ，且圆的半径 ，即 =1．
于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，即动直线FG与定圆 相切．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点为B，则 点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知椭圆 的右顶点为 ，下顶点为 ， 为坐标原点，且点 到直线 的距离
为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、如图，在平行六面体 中，若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知 ， ， ，则 与 的夹角是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知左、右焦点分别为 ， 的双曲线 上一点 到左焦点 的距离为 ，点 为坐
标原点，点 为 的中点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知平面 ，其中 ，法向量 ，则下列各点中不在平面 内的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
7、以下四个命题中，正确的是（ ）
A.向量 与向量 平行
B. 为直角三角形的充要条件是
C.
D.若 为空间的一个基底，则 ， ， 构成空间的另一基底
8、已知点P为直线 上的一点，M，N分别为圆 ： 与圆 ：
上的点，则 的最小值为（ ）
A.5
B.3
C.2
D.1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知双曲线 ： 的焦点在 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线 的实轴长为6
B.双曲线 的虚轴长为2
C.双曲线 的焦距为
D.双曲线 的离心率为
10、下列说法正确的是（ ）
A.任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.直线的方向向量有且仅有一个
11、已知空间中三点 ， ， ，则（ ）
A.
B. 方向上的单位向量坐标是
C. 在 上的投影向量的模为
D. 与 夹角的余弦值是
12、（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以
是（ ）
A.
B.
C.1
D.2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知直线 的倾斜角 ，直线 与 的交点为 ，直线 和 向上的方向所成的角为 ，如图，则
直线 的倾斜角为 ．
14、已知空间向量 两两夹角均为 ，其模均为1，则 .
15、在四面体 中，空间的一点 满足 ，若 ， ， 共面，则
．
16、已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点为A、 ， ， ．则直线
被椭圆 截得的弦长为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 ， .
(1)当 // 时，求实数 的值;
(2)当 时，求实数 的值.
18、（本小题12分）
已知抛物线 ： 上的一点 到焦点F的距离为 .
(1)求抛物线方程；
(2)若直线 交E于S，T两点，О为坐标原点，证明 .
19、（本小题12分）
如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面 外任意一点，且平面 中的小方格均为单位正方形，在图中
标出点P，Q，R，S，使得 ，
.
20、（本小题12分）
（1）己知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 边上的高 所
在直线方程为 ，求直线 的方程；
（2）求经过点 ，且在 轴上的截距和 轴上的截距相等的直线的方程.
21、（本小题12分）
已知直线 和点 ， ．
(1)在直线l上求一点P，使 的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使 的值最大．
22、（本小题12分）
已知定点 ，动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是 ．
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（2）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F、G是曲线 D上不同的两点，对于定点 ，有|QF||QG|=4．试
问无论F、G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明
理由．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
由题意知，在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点为 .
故选:B.
2、
<答 案>:
B
<解析>:
通过题意知 ， ，
所以直线 的方程为 即 ，
所以点 到直线 的距离为 ，所以 ，
所以 ．
因此正确答案为：B．
3、
<答 案>:
A
<解析>:
解： ，又因 ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
故选：A.
4、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 与 的夹角是 .
故选：C.
5、
<答 案>:
A
<解析>:
由 ，得 ，∴点 在双曲线左支上，故 ，∴ ，得双曲线方
程为 ，∴双曲线 的渐近线方程为 .
故选： .
6、
<答 案>:
A
<解析>:
若点在平面 内，则 ，
对于A： ，所以A选项的点不在平面 内；
对于B： ，满足要求，所以在平面内；
对于C： ， 满足要求，所以在平面内；
对于D： ，满足要求，所以在平面内，
故选：A
7、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 为空间的一个基底，设 ，即 ，无解，
所以 ， ， 不共面，则 ， ， 构成空间的另一基底，故D正确；
因为 ，所以 和 不平行，故A错误；
为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是 ，所以无法推出 ，故B错误；
，当 时， ，故C错误.
故选：D.
8、
<答 案>:
B
<解析>:
如下图所示，由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
可得圆心距 ，
如下图所示， ，
所以 ，
当 共线时，取得最小值，
故 的最小值为 .
因此正确答案为：B
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B
<解析>:
由题设 ，而 ，故 ，则 ，
所以双曲线方程为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
故A、B对，C、D错.
故选：AB
10、
<答案 >:
A;C
<解析>:
对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A无误，B有误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C无误；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D有误.
因此正确答案为：AC
11、
<答案 >:
B;D
<解析>:
由 ，则 ，A错；
方向上的单位向量坐标是 ，B对；
由 ，则 在 上的投影向量的模为 ，C错；
由 ，则 ，D对.
故选：BD
12、
<答案 >:
B;C
<解析>:
抛物线 的准线与x轴交于点Q，
准线为 ，Q点的坐标 ，
又直线l过点Q，且斜率必存在，
可设l： ，
联立 ，可得 ，
当 时，得 ，即交点为 ，
当 时，由 得，即 ，
解得， 或 ，
综上，k的取值范围是 ．
故选：BC.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
设直线 的倾斜角为 ，因为 和 向上的方向所成的角为 ，
所以， ，故 ．
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
单位向量 两两夹角均为 ，则 ，
所以
.
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
法一：由题意 ，
， ，
因为 ， ， 共面，
所以存在实数唯一实数对 ，使得 ，
即 ，
所以 ，解得 ．
法二：由 ， ， 共面得 四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得， ，即 ．
故答案为： .
16、
<答案 >:
．
<解析>:
设椭圆的半焦距为 ，由 ， ，
可得 ， ，解得 ， ，
则 ，
即有椭圆的方程为 ，
联立直线 和椭圆 ，
可得 ，
设被椭圆 截得的弦的端点 的横坐标分别为 ， ，
则 ， ，
可得弦长为 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）解：因为 ， ，
所以 // ，
，
解得 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
18、
<答案 >:
(1) ；
(2)证明见解析 .
<解析>:
（1）由抛物线定义知： ，则 ，
∴抛物线方程为 .
（2）令 ，联立 与 ，整理得： ，
∴ ， ，则 ，
而 ， ，
∴ ，得证.
19、
<答案 >:
详见解析.
<解析>:
如图， ，则 ，
设 ，则 ，点 即为 Q 点，
令 ，则点 即为 R 点， ，
令 ，则 即为 S 点， .
20、
<答案 >:
（1） ；（2） 或
<解析>:
（1）由题意知：点 在直线 上，则可设 ，
中点为 ， ，解得： ，
， ， 直线 方程为： ，即 ，
由 得： ，即 ；
直线 的方程为： ，即 ；
（2）设直线在 轴上的截距分别为 ，
当 时，直线经过原点，则直线斜率 ，
直线方程为 ，即 ；
当 时，可设直线方程为 ，则 ，
直线方程为 ；
综上所述：直线方程为 或 .
21、
<答案 >:
(1)
(2) ．
<解析>:
（1）通过找出点A关于直线l的对称点为 ，将 的最小值转化为 的最小值，利用三角
形三边的关系可知 ，即可求点P的坐标;
（2）利用三角形的三边关系可知 ，再求 出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.
（1）
设A关于直线l的对称点为 ，则 ，
解得 ，故 ，
又∵P为直线l上的一点，则 ，
当且仅当B，P， 三点共线时等号成立，此时 取得最小 值 ，
点P即是直线 与直线l的交点．
由 ，解得 ，
故所求的点P的坐标为 ．
（2）
通过题 意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则 ，当且仅当A，B，P三点共线时等号 成立，
此时 取得最大值 ，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为 ，
∴由 ，解得 ，
故所求的点P的坐标为 ．
22、
<答案 >:
（1）答案见解析；（2）直线FG与定圆 相切，理由见解析.
<解析>:
（1）设动点P(x,y)，由 |PO|=|PA|得： ，
整理得： ，又 ，
当 时 ，曲线是线段OA的垂直平分线；
当 时 ，即曲线是 ( ,0)为圆心， 为半径的圆．
（2）当 时曲线D为 ，表示圆心是D( )，半径是2的圆．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
面积相等得： ，且圆的半径 ，即 =1．
于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，即动直线FG与定圆 相切．