2023~2024学年四川高二上学期期中数学试卷（部分名校联合质量检测）（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 2023~2024学年四川高二上学期期中数学试卷（部分名校联合质量检测）（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-12 16:48:57 | ||
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文档简介
2023~2024学年四川高二上学期期中数学试卷（部分名校联合质量检测）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、在空间直角坐标系 中，点 到 平面的距离为（ ）
A.1
B.3
C.7
D.
2、直线 的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知 为圆 上的一动点， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4、已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ， 为直线 与 轴的交点，若
为等腰三角形，则 （ ）
A.
B.
C.
D.2
5、在空间直角坐标系中，点 在平面 外，点 在平面 内，平面 的一个法向量为
，则点 到平面 的距离为（ ）
A.2
B.1
C.
D.
6、若点 ， 到直线 的距离相等，则 （ ）
A.1
B.
C.1或
D. 或2
7、如图，在四面体 中， 分别为 的中点， 为 的重心，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知 分别是椭圆 的左 右焦点，第一象限内的点 在 上， ，
直线 的斜率为 ，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、在四棱台 中，空间的一个基底可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，点 在椭圆 上，则（ ）
A. 的长轴长为
B. 的短轴长为
C. 的坐标为
D. 的最小值为
11、圆 与圆 的公切线的方程可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知
《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径 折成了直二面
角（其中 对应钟上数字 对应钟上数字9）.设 的中点为 ，若长度为2的时针 指向了
钟上数字8，长度为3的分针 指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针 （安装完秒针后，不考
虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A.若秒针 指向了钟上数字5，如图2，则
B.若秒针 指向了钟上数字5，如图2，则 平面
C.若秒针 指向了钟上数字4，如图3，则 与 所成角的余弦值为
D.若秒针 指向了钟上数字4，如图3，则四面体 的外接球的表面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 ．
14、已知直线 经过定点 ，则点 的坐标为 .
15、已知椭圆 ，过点 ，斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，且 为 的中点，则
．
16、若A，B是平面内不同的两定点，动点 满足 （ 且 ），则点 的轨迹是一个圆，这个轨
迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 是圆 上
的动点，点 ， ，则 的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 经过点 ．
(1)若 经过点 ，求 的斜 截式方程；
(2)若 在 轴上的截距为 ，求 在 轴上的截 距．
18、（本小题12分）
已知圆 与圆 关于直线 对称．
(1)求 的标准方程；
(2)记 与 的公共点 为 ，求四边形 的面积．
19、（本小题12分）
如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上， ， ， ，
.
(1)证明： .
(2)求平面 与平 面 的夹角的余弦值.
20、（本小题12分）
已知 是椭圆 的左顶点，且 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且 ，求 .
21、（本小题12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形 为矩形，平面 平面 ，且 ，正三角形 的边
长为2.
(1)证明： 平面 .
(2)若 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
22、（本小题12分）
圆 称为椭圆 的蒙日圆.已知椭圆 ： 的离心
率为 ， 的蒙日圆方程为 .
(1)求 的方程；
(2)若 为 的左焦 点，过 上的一点 作 的切线 ， 与 的蒙日圆交于 ， 两点，过 作直线 与 交于 ，
两点，且 ，证明： 是定值.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
在空间直角坐标系 中，点 到 平面的距离 .
故选：B
2、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 ，所以直线 的倾斜角为146°.
故选：D
3、
<答 案>:
D
<解析>:
的圆心为 ，半径为 ，
由题意得 ，故 在圆外，
所以 的最大值为 ．
故选：D
4、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意得 ， ，
因为 为等腰三角形，则 ，所以 ，解得 .
故选：A
5、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意得 ，平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故选：A
6、
<答 案>:
C
<解析>:
若 ， 在直线 的同侧，则 ，解得 ．
若 ， 分别在直线 的两侧，则直线 经过 的中点 ，则 ，解得 ．
故选：C
7、
<答 案>:
B
<解析>:
因为 分别为 的中点，所以 .
因为 为 的重心，所以 ，
所以 .
故选：B.
8、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意知直线 的斜率为 ，即得 ，
得 ， 为锐角，
结合 , ，
则 ，
由 ，得 ，
在 中， ，
得 ，所以 ，即 ，
可得 的离心率 ，
故选：C
二、多选题
9、
<答 案>:
B;D
<解析>:
因为 四点共面，所以 不可能是空间的一个基底， 错误.
因为 ，所以 不可能是空间的一个基底，C错误.
不共面、 不共面，所以B，D均正确.
故选：BD
10、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
由椭圆 ，可得 ， ，则 ，
所以，椭圆 的长轴长为 ， 的短轴长为 ，上焦点 的坐标为 ，
根据椭圆的几何性质，得到 的最小值为 ．
故选：ABD.
11、
<答案 >:
C;D
<解析>:
圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
由题意得 ，圆 与圆 的半径之和为 ，半径之差为0，
因为 ，所以圆 与圆 的位置关系为相交．
由题意得 ，因为圆 与圆 的半径相等，所以公 切线的斜率为2．
设公切线的方程为 ，即 ，由 ，得 ，
所以公切线的方程为 或 ．
故选：CD
12、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .
若秒针 指向了钟上数字5，则 ，
则 ， ，所以 ，A正确.
，故 是平面 的一个法向量.
因为 ，所以 ，
所以 与 不垂直，从而 与平面 不平行 ，B不正确.
若秒针 指向了钟上数字4，则 ，
，
，C正确.
由 ，得 .
因为 ，所以 外接圆的半径 ，
则四面体 的外接球的半径 ，则 ，
故四面体 的外接球的表面积为 ，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
由 ， 得 ，
在 方向上的投影向量为 ．
故答案为：
14、
<答案 >:
<解析>:
直线 即 ，由 得 ，
所以点 的坐标为 .
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
设椭圆 上的点 ，则 ，
两式相减得 ，而 ，
即 ，整理得 ，又 ，于是 ，
显然点 在椭圆 内，符合题意，
所以 .
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
由题意得设 ， ，
所以 ，则 ，
由于 是圆 上的点，
所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，如图，
所以 的最大值为 ，
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由题意得 ，则 的方程为 ，
其斜截式方程为 ．
（2）设 的截距式方程为 ，
由题意得 得 ，
所以 在 轴上的截距为 ．
18、
<答案 >:
(1)
(2)9
<解析>:
（1）将 的方程转化为 ，可得 的圆心为 ，半径为3．
设 的圆心为 ，半径为 ，因为 与 关于直线 ： 对称，
所以 解得
故 的标准方程为 ．
（2） ，
根据对称性可知 到直线 的距离 ，
则 ，
则四边形 的面积 ．
19、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) .
<解析>:
（1）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 .
（2）由（1） ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，不妨取 ，则 .
易得 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，且 .
设平面设 与平面 的夹角为 ，
所以 .
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
20、
<答案 >:
(1)
(2) .
<解析>:
（1）依题意可得 ，解得 ，所以 的方程为 .
（2）联立 消去 得 ，
因为 经过定点 ，且点 在 的内部，所以 恒成立.
则 .
所以 ，解得 ，即 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) .
<解析>:
（1）因为四边形 为矩形，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）分别取 的 中点 ，连接 ，
因为平面 平面 为正三角形，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，
令 ，得 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
故 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)证明见解析
<解析>:
（1）依题意，得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）当 ， 的斜率等于0时， ， ，
所以 ；
当 ， 的斜率不等于0时，设 ： ，则 ： ，
由 ，得 ，
令 ，得 .
设 到 的距离为 ，则 ，
得 ，
由 ，得 ，
易知 ，设 ， ，则 ，
则 ，
故 .
综上， 是定值.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、在空间直角坐标系 中，点 到 平面的距离为（ ）
A.1
B.3
C.7
D.
2、直线 的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知 为圆 上的一动点， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4、已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ， 为直线 与 轴的交点，若
为等腰三角形，则 （ ）
A.
B.
C.
D.2
5、在空间直角坐标系中，点 在平面 外，点 在平面 内，平面 的一个法向量为
，则点 到平面 的距离为（ ）
A.2
B.1
C.
D.
6、若点 ， 到直线 的距离相等，则 （ ）
A.1
B.
C.1或
D. 或2
7、如图，在四面体 中， 分别为 的中点， 为 的重心，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知 分别是椭圆 的左 右焦点，第一象限内的点 在 上， ，
直线 的斜率为 ，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、在四棱台 中，空间的一个基底可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，点 在椭圆 上，则（ ）
A. 的长轴长为
B. 的短轴长为
C. 的坐标为
D. 的最小值为
11、圆 与圆 的公切线的方程可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知
《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径 折成了直二面
角（其中 对应钟上数字 对应钟上数字9）.设 的中点为 ，若长度为2的时针 指向了
钟上数字8，长度为3的分针 指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针 （安装完秒针后，不考
虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A.若秒针 指向了钟上数字5，如图2，则
B.若秒针 指向了钟上数字5，如图2，则 平面
C.若秒针 指向了钟上数字4，如图3，则 与 所成角的余弦值为
D.若秒针 指向了钟上数字4，如图3，则四面体 的外接球的表面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 ．
14、已知直线 经过定点 ，则点 的坐标为 .
15、已知椭圆 ，过点 ，斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，且 为 的中点，则
．
16、若A，B是平面内不同的两定点，动点 满足 （ 且 ），则点 的轨迹是一个圆，这个轨
迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 是圆 上
的动点，点 ， ，则 的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 经过点 ．
(1)若 经过点 ，求 的斜 截式方程；
(2)若 在 轴上的截距为 ，求 在 轴上的截 距．
18、（本小题12分）
已知圆 与圆 关于直线 对称．
(1)求 的标准方程；
(2)记 与 的公共点 为 ，求四边形 的面积．
19、（本小题12分）
如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上， ， ， ，
.
(1)证明： .
(2)求平面 与平 面 的夹角的余弦值.
20、（本小题12分）
已知 是椭圆 的左顶点，且 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且 ，求 .
21、（本小题12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形 为矩形，平面 平面 ，且 ，正三角形 的边
长为2.
(1)证明： 平面 .
(2)若 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
22、（本小题12分）
圆 称为椭圆 的蒙日圆.已知椭圆 ： 的离心
率为 ， 的蒙日圆方程为 .
(1)求 的方程；
(2)若 为 的左焦 点，过 上的一点 作 的切线 ， 与 的蒙日圆交于 ， 两点，过 作直线 与 交于 ，
两点，且 ，证明： 是定值.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
在空间直角坐标系 中，点 到 平面的距离 .
故选：B
2、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 ，所以直线 的倾斜角为146°.
故选：D
3、
<答 案>:
D
<解析>:
的圆心为 ，半径为 ，
由题意得 ，故 在圆外，
所以 的最大值为 ．
故选：D
4、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意得 ， ，
因为 为等腰三角形，则 ，所以 ，解得 .
故选：A
5、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意得 ，平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故选：A
6、
<答 案>:
C
<解析>:
若 ， 在直线 的同侧，则 ，解得 ．
若 ， 分别在直线 的两侧，则直线 经过 的中点 ，则 ，解得 ．
故选：C
7、
<答 案>:
B
<解析>:
因为 分别为 的中点，所以 .
因为 为 的重心，所以 ，
所以 .
故选：B.
8、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意知直线 的斜率为 ，即得 ，
得 ， 为锐角，
结合 , ，
则 ，
由 ，得 ，
在 中， ，
得 ，所以 ，即 ，
可得 的离心率 ，
故选：C
二、多选题
9、
<答 案>:
B;D
<解析>:
因为 四点共面，所以 不可能是空间的一个基底， 错误.
因为 ，所以 不可能是空间的一个基底，C错误.
不共面、 不共面，所以B，D均正确.
故选：BD
10、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
由椭圆 ，可得 ， ，则 ，
所以，椭圆 的长轴长为 ， 的短轴长为 ，上焦点 的坐标为 ，
根据椭圆的几何性质，得到 的最小值为 ．
故选：ABD.
11、
<答案 >:
C;D
<解析>:
圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
由题意得 ，圆 与圆 的半径之和为 ，半径之差为0，
因为 ，所以圆 与圆 的位置关系为相交．
由题意得 ，因为圆 与圆 的半径相等，所以公 切线的斜率为2．
设公切线的方程为 ，即 ，由 ，得 ，
所以公切线的方程为 或 ．
故选：CD
12、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .
若秒针 指向了钟上数字5，则 ，
则 ， ，所以 ，A正确.
，故 是平面 的一个法向量.
因为 ，所以 ，
所以 与 不垂直，从而 与平面 不平行 ，B不正确.
若秒针 指向了钟上数字4，则 ，
，
，C正确.
由 ，得 .
因为 ，所以 外接圆的半径 ，
则四面体 的外接球的半径 ，则 ，
故四面体 的外接球的表面积为 ，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
由 ， 得 ，
在 方向上的投影向量为 ．
故答案为：
14、
<答案 >:
<解析>:
直线 即 ，由 得 ，
所以点 的坐标为 .
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
设椭圆 上的点 ，则 ，
两式相减得 ，而 ，
即 ，整理得 ，又 ，于是 ，
显然点 在椭圆 内，符合题意，
所以 .
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
由题意得设 ， ，
所以 ，则 ，
由于 是圆 上的点，
所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，如图，
所以 的最大值为 ，
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由题意得 ，则 的方程为 ，
其斜截式方程为 ．
（2）设 的截距式方程为 ，
由题意得 得 ，
所以 在 轴上的截距为 ．
18、
<答案 >:
(1)
(2)9
<解析>:
（1）将 的方程转化为 ，可得 的圆心为 ，半径为3．
设 的圆心为 ，半径为 ，因为 与 关于直线 ： 对称，
所以 解得
故 的标准方程为 ．
（2） ，
根据对称性可知 到直线 的距离 ，
则 ，
则四边形 的面积 ．
19、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) .
<解析>:
（1）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 .
（2）由（1） ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，不妨取 ，则 .
易得 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，且 .
设平面设 与平面 的夹角为 ，
所以 .
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
20、
<答案 >:
(1)
(2) .
<解析>:
（1）依题意可得 ，解得 ，所以 的方程为 .
（2）联立 消去 得 ，
因为 经过定点 ，且点 在 的内部，所以 恒成立.
则 .
所以 ，解得 ，即 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) .
<解析>:
（1）因为四边形 为矩形，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）分别取 的 中点 ，连接 ，
因为平面 平面 为正三角形，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，
令 ，得 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
故 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)证明见解析
<解析>:
（1）依题意，得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）当 ， 的斜率等于0时， ， ，
所以 ；
当 ， 的斜率不等于0时，设 ： ，则 ： ，
由 ，得 ，
令 ，得 .
设 到 的距离为 ，则 ，
得 ，
由 ，得 ，
易知 ，设 ， ，则 ，
则 ，
故 .
综上， 是定值.