2023~2024学年浙江嘉兴秀洲区嘉兴高级中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年浙江嘉兴秀洲区嘉兴高级中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、若直线过两点 ， ，则直线AB的倾斜角为（ ）
A.
B.
C. （ ）
D. （ ）
2、已知 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是 （ ）
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.线段
3、已知点 和点 ，则以线段 为直径的圆的标准方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、若椭圆 和双曲线 的共同焦点为 是两曲线的一个交点，则 的面
积值为 （ ）
A.
B.
C.
D.8
5、如图，已知空间四边形 ，其对角线为 、 ， 、 分别是对边 、 的中点，点 在线段
上，且 ，现用基向量 ， ， 表示向量，设 ，则 、 、 的
值分别是（ ）
A. ， ，
B. ， ，
C. ， ，
D. ， ，
6、已知定点 ，点 为抛物线 上一动点，点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知长方体 ， ， ，M是 的中点，点P满足
，其中 ， ，且 平面 ，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是
（ ）
A.
B.6
C.
D.5
8、已知双曲线 （ ， ）的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中
点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法正确的是（ ）
A.任意一条直线都有倾斜角和斜率
B.点 关于直线 的对称点为
C.经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
D.过点 且圆 相切的直线方程是
10、已知过抛物线 （ ）的焦点 的直线 交抛物线C于 ， 两点，且
，直线OA和OB的斜率分别为 ，则（ ）
A.
B.
C.线段 长的最小值为4
D.
11、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．
如图，在阳马 中， 平面ABCD，若 ，E，F分别为PD，PB的中点，则
（ ）
A. 平面PAC
B. 平面EFC
C.点 到直线 的距离为
D.AC与平面EFC的所成角的正弦值为
12、已知 、 是椭圆 （ ）焦点，且 ，过点 作不与坐标轴垂直的直线l与
椭圆 交于P，Q两点，当点P为椭圆C的上顶点时，直线l与直线 垂直，则下列说法正确的是
（ ）
A.当 时， 的面积是
B.若点 ，则 的最大值为
C.若点M，N在x轴上，其中 （O为坐标原点）， ，且点A为直线PN，QM的交点，则点A的横
坐标为
D.过椭圆 的左焦点 作直线l的垂线，交椭圆 于 、 两点，当点 为椭圆 的上顶点时， 的
周长为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知双曲线 （ ， ）的右焦点 到渐近线的距离为 ，且实轴长为2，则该双曲
线左焦点 的坐标为 ．
14、圆 和 的公共弦所在直线方程为 ．
15、已知点 ， ， ，则向量 与 的夹角为 ．
16、已知抛物线 ， 是抛物线上异于原点 的两个动点，直线 与抛物线 相切且交于点
，且 ， 值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 与 （ ）．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求直线 到 的距离．
18、（本小题12分）
已知直线 （ ）和圆 交于A，B两点，
(1)求证：直线 过一定点 ，并求出定点 的坐标；
(2)当线段AB的长取最小值时，求 的值．
19、（本小题12分）
已知过点 的直线 与椭圆 相交于A，B两点，且M是AB的中点，
(1)求直线 的方程；
(2)求 面积．
20、（本小题12分）
在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 为 中点， ，
．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
21、（本小题12分）
已知双曲线过点 ，它的渐近线方程是 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线 交 于 两点 ，直线 的倾斜角互补，求直线 的斜率．
22、（本小题12分）
已知点 ， ，平面内一动点 满足直线 与 的斜率乘积为 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)直线 交轨迹 于 两点， 若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，求坐标原点 到直线 的距离的取值范
围．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
点 ， ，则直线 的斜率 ，
直线 的倾斜角 满足 ，而 ，因此 ，
所以直线 的倾斜角为 .
故选：B
2、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 、 ，动点 满足 ，
所以点 的轨迹为线段 .
故选：D.
3、
<答 案>:
C
<解析>:
因为点 和点 为直径端点，
所以 中点 ，即 为圆心，
由 ，
则圆的半径 ，
故圆的标准方程为 .
故选：C.
4、
<答 案>:
A
<解析>:
对于椭圆 可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则 ，
设点 ，则 ，解得 ，
所以 的面积值为 .
故选：A.
5、
<答 案>:
D
<解析>:
、 分别是对边 、 的中点，
， ．
，
因此 ， ．
因此正确答案为：D
6、
<答 案>:
C
<解析>:
抛物线的焦点为 ，设点 ，则 ，
则 ，
当且仅当点 为线段 与抛物线的交点时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：C.
7、
<答 案>:
D
<解析>:
在长方体 中，由 ， ，得点 在矩形 及内部，
当 为 中点时 ，连接 ，如图，
由M是 的中点，得 ，
而长方体 的对角 面 是矩形，
则 ，因此 ，又 平面 ， 平面 ，
于是 平面 ，
又 在过 且平行于平面 的平面中，故 的轨迹为线段即为 .
而 ，则 ，
所以动点P的轨迹所形成的轨迹长度是5.
故选：D
8、
<答 案>:
B
<解析>:
设双曲线 的右焦点为 ，连接 ， ， ，
， ， ，
又 为 中点， 四边形 为矩形；
设 ，则 ， ， ， ，
， ，解得： ，
又 ， ，得 ，即 ，
所以双曲线 的离心率为 .
故选：B.
二、多选题
9、
<答 案>:
B;D
<解析>:
选项A，任意一条直线都有倾斜角，
当倾斜角为 时，不存在斜率，故A 错误；
选项B，设 关于直线 对称的 点为 ，
则 ，解得 ，
即 关于直线 对称的点为 ，故B正确；
选项C，当所求直线过原点时，设直线为 ，
因为点 在 上，所以 ，所求直线为 .
当直线不过原点时，设所求直线为 ，
因为点 在 上，所以 ，所求直线为 .
综上，所求直线为 或 ，故C错误；
选项D，由 ，则点 在圆 上，
且直线 斜率 ，
设过点 且圆 相切的直线为 ，斜率为 ，
由圆心 ， ，得 ，则 ，
则切线 方程为 ，化简得 ，故D正确.
故选：BD.
10、
<答案 >:
B;C
<解析>:
当 时， ， ， ， ，A错；
当 斜率存在时，设直线 方程为 ，
代入抛物线方程得 ， ，解得 （负值舍去），
焦点为 ，抛物线方程为 ，当 与 轴垂直时， ， ，
可取 ，此时 ， ， ，
，D错；
，
， ， ，而 异号，所以 ，
，B正确；
，
综上， ，当 轴时， 取得最小值4，C正确，
故选：BC．
11、
<答案 >:
A;C
<解析>:
对A，连接 ，则
因为E，F分别为PD，PB的中 点，所以 ,
因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ,
且 平面 ，
所以 平面 ，则 平面 ， A正确；
对B，因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ,且 ,
所以以 为 轴建立空 间直角坐标系，如图，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 令 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 与平面EFC不平行，B错误；
对C，设 到直线 的距离为 ，
则 ，所以 ，C正确；
设AC与平面EFC的所成角为 ，
,
所以 ，D错误；
故选:AC.
12、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
因为过点 作不与坐标轴垂直的直线l，所以设直线 的方程为 .
因为当点P为椭圆C的上顶点时，直线l与直线 垂直，所以 ，得 ，此时直线 的
方程为 ，椭圆C的上顶点为 ，即 .
由 得 ，在椭圆中 ，所以 .
故椭圆C的标准方程为 .
对于A：由椭圆的定义得 ，取平方得 ，即
①，
由 得 ，即
②，
由① ②得， ，即 .
.
故A选项错误；
对于B： ；
当 不共线时，根据三角形两边之差小于第三边，得到 ，
当点 在线段 的延长线时，得到 ，
所以 ，因此 ，
故 的最大值为 ，B选项正确；
对于C：由题意，设直线 的方程 与椭圆 有两个交点，
所以 ，即 ，
设两个交点 ，
由韦达定理可得 ③， ④；
由点M，N在x轴上，其中 （O为坐标原点）， 可得 ，
直线 的方程为： ⑤，
直线 的方程为： ⑥，
把⑤代入⑥得， ，即 ，化
简得 ，
把③④代入得， ，
即 ，得 ，
故直线PN，QM的交点的横 坐标为 ，C选项正确；
对于D：设过椭圆 的左焦点 作直线l的垂线，垂足为 ，
当点 为椭圆 的上顶点时， ，
此时 为等边三角形，所以 为线段 的中点，进而可得 为线段 的垂 直平分线，
所以 .
因此， 的周长等于
.
故 的周长为 ，D选项为正确.
故选：BCD.
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，令 的半焦距为c，
由 到渐近线的距离为 ，得 ，而 ，因此 ，
所以该双曲线左焦点 的坐标为 .
故答案为：
14、
<答案 >:
<解析>:
圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
所以圆心距 ，
所以两圆相交，有公共弦，
由 ，可得 即为公共弦所在直线方程，
故答案为： .
15、
<答案 >:
<解析>:
由 ， ， ，
则 ，
则 ，
所以向量 与 的夹角为 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
设 ， ，切线 方程为 ，
由 得 ，
， ，即 ， ，
同理切线 的斜率为 ，
因为 ，所以 ，即 ，
，
故答案为： ．
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）因为 ，
所以 ，解得 .
（2）因为 ,
所以 ，解得 或 ，
当 时， 与 平行，
当 时， 与 重合 ，不符合题意，
故 ，
此时， 直线 到 的距离 .
18、
<答案 >:
(1)证明见解析， ；
(2)
<解析>:
（1）直线 ，由 ，得 ，
显然无论 取什么实数，直线 都过点 ，
所以直线 过定点 ，点 的坐标为 .
（2）由（1）知，点 ，显然点 在 圆 内，
而圆 的圆心 ，由圆的性质知，当 时，弦AB的长取最小值，
又直线 的斜率 ，所以 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1） ，点 在椭圆内部，
设 ，则 ，
由 ，得 ，
，
所以直线 方程为 ，即 ；
（2）由 得 ， ， ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
所以 ．
20、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）因为 为 中点， ，所以 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 平 面 ，
以 为 轴，过 与 平行的直线为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 ，如图，
则 ， ， ， ，
，
，所以 ，即 ；
（2）由（1） ，又 ，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，则 ， ，即 ，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，得 ，又 ，所以 ，
，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
21、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）若双曲线焦点在 轴上，设方程为 ，
则有 ，解得 ，所以双曲线方程为 ；
若双曲线焦点在 轴上，设方程为 ，
则有 ，无解；
综上双曲线方程为 .
（2）易知，直线 的斜率一定存在，设方程为 ，
联立 ，消去 可得， ，
，可得 ，
由韦达定理可得， ，
，
，
因为直线 的倾斜角互补，
所以 ,
即 ，
即
，
整理得， ，解得 或 ，
时，直线 为 过定点 ，不满足题意，
所以 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）设 ，则 且
化简得 .
（2）如图，设 ，
若 ，则 关于 轴对称，有 ，不合题意
故 ，同理可知 ，故
由 化简整理可得
所以 ，且
由 可知 ，故 即
于是
解得 ，满足
坐标原点到直线 的距离 .