北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 章节测试卷 （含解析）

第1章 《勾股定理》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）

A．11 B．14 C．17 D．20
3．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
5．如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
7．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，一个底面周长为24，高为5的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．
12．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离 km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使，则AD的长为 km．
13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME 7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为 ．

14．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有 （填写序号）．
15．如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发以每秒的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当 ，△APE的面积等于12．

16．已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在中，为边上的中线，，，，求证：．
18．（6分）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
19．（8分）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．
(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；
(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
20．（8分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
21．（8分）如图，在中，．

(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
22．（8分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．
（1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．
（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．
23．（8分）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．
拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论　 　．
拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是　 　．
答案解析
一．选择题
1．D
【分析】根据题意得为偶数，设其股是a，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：∵m为正整数，
∴为偶数，设其股是a，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
∴弦是，
故选：D．
2．C
【分析】如图：由题意可得,,，再根据全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面积之和即可．
【详解】解：如图：
由题意可得：,,
∴
∴，
∴,
∴,
∵，
∴，
∴,即,
同理：;
∴．

故选C．
3．C
【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．
【详解】解：A. 阴影部分面积为4，则正方形的边长为，故能拼成正方形，不符合题意；
B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为，
，
故能拼成正方形，不符合题意；
C.阴影部分面积为，则正方形的边长为，根据网格的特点不能构造出的边，故不能拼成正方形，符合题意
D. 阴影部分面积为13，则正方形的边长为，
，
故能拼成正方形，不符合题意；
故选C．
4．A
【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.
【详解】
如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴
在Rt△A‘BD中，
∵∠A’BD=90°，A’D=2米，
∴
∴
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米
即小巷的宽度为2.2米，故答案选A
5．B
【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵将沿向上翻折得到，使点在射线上，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得：
即的长为，
故选：B．
6．A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．
【详解】解：A选项不能证明勾股定理；
B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得；
C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得；
D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式，可得．
故选：A．
8．B
【详解】根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴点表示的数为．
故答案为：B．
9．B
【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.
【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=cm，
∴蚂蚁爬行的最短路线AB=cm，
故选：B.
10．D
【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得，然后计算，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，
故①正确；
∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，
∴S1：S△ACD=2：1，
故②正确；
∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S1-S4=S3-S2，
故③正确；
S1-S4=S3-S2，
，
∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK KJ= AK AB，S4=BK KJ=BK AB，
，，
∵AB2=AC2+ BC2，，
，
即，
，
∴S1 S4=S2 S3，
故④正确，
故选D．
二．填空题
11．
【详解】解：如图所示：S1=c2+ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+ab×2=a2+b2+ab．
故答案为c2+ab，a2+b2+ab．
12． 20 13
【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；
（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．
【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得
故答案为：20
（2）如图：
设AD=a，
根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE
由是直角三角形，得：
故答案为：13
13．
【分析】利用勾股定理依次计算出，，，.. ，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得即可．
【详解】由题意得：，
，
,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．①③
【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为的正方形即可．
【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为的正方形，符合题意；
如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为的正方形，符合题意；
按照②中剪法，无法拼接成边长为的正方形，不符合题意；
故选①③．
故答案为：①③．
15．3或18或22
【分析】分当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动且在点E的右边时和当点P在线段上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
．
当点P在线段上运动时，
∵的面积等于12，即，
∴，
∴秒；
当点P在线段运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，
同理可知，
∴秒；

当点P在线段上运动且在点E的左边时，如图3所示，
同理可知，
∴秒；

故答案为∶3或18或22．
16．13
【分析】通过过点A作的平行线，并在上截取，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点A作的平行线，并在上截取，连接，．
则．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴当B，D，H三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长．
∵，，，
∴在中，由勾股定理，得
．
如图，过点H作，交的延长线于点M，则四边形为长方形，
∴，，
∴在中，由勾股定理，得
．
∴的最小值为13．
故答案为：13．
三．解答题
17．证明：如图，延长至点E，使得，连接，
∵为边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
∴．
18．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC， 设BC=AC=x m， 则OC=（8-x）m，
在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（8-x）2=x2， 解得．
∴机器人行走的路程BC为m．
19．（1）解：第一组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，
第二组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，
第三组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，
所以第四组勾股数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为，
∴第四组勾股数组为；
（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为，
证明：∵，
∴
20．解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为＝＝
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为＝
由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
21．（1）解：∵直线是对称轴，
∴，
∵，设，则
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴
（2）解：∵直线是对称轴，
∴，，
∵，设，则，
∴在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴．
22．解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；
（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；
（3）如图所示，
在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，
DM、FM即为裁剪线，
将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG重合，得到正方形DMFH，
∴剪出的块数最少为5块，
故答案为：5．
23．如图：
∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，
∴四边形ACC′B′是直角梯形，
∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，
∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，
∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，
∴∠CBA+∠C′BB’＝90°
∴△ABB′是等腰直角三角形，
所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′） CC′÷2＝，
S△ACB＝，S△BC′B′＝ab，S△ABB′＝c2，
所以，
a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
拓展1．过A作AP⊥BC于点P，如图2，
则∠BMF＝∠APB＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，
∴∠BFM＝∠ABP，
在△BMF和△ABP中，
，
∴△BMF≌△ABP（AAS），
∴FM＝BP，
同理，EN＝CP，
∴FM+EN＝BP+CP，
即FM+EN＝BC，
故答案为FM+EN＝BC；
拓展2．过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，如图3，
则∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，
∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，
∴∠DAP＝∠CDQ，
在△APD和△DQC中，
，
∴△APD≌△DQC（AAS），
∴AP＝DQ＝2，
∵PD＝1，
∴AD2＝22+12＝5，
∴正方形的面积为 5，
故答案为5．