高中数学人教A版：_正弦定理 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求
出边BC吗
[提示] 不能。
(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么
情境导入
思考一下：
A
b
C
a
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
思考一下：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是 否仍然成立
Rt△ABC 边与它对角的正弦比为：
关系式：
由诱导公式co 可知，我们可以通
过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系 转化为正弦关系。
向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角 的正弦。如何实现转化
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂
直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即
因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
结论
L
sinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗
利用三角形的高证明正弦定理
(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
D
故有 .从而这个结论在锐角三角形中成立。
同理可
由此，
B
利用三角形的高证明正弦定理
(2)当△ABC 是钝角三角形时，过点C作AB 边上的高，交AB 的延长线
于点D, 根据锐角三角函数的定义，有CD=asin∠CBD=asin∠ABC,
CD=bsin A。
由此，可得
由(1)(2)可知，在△ABC中， 成立。
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
我们除了以上两种方法，还有哪些证明方法 呢
利用三角形面积证明正弦定理
利用三角形的外接圆证明正弦定理
在△ABC中，若A=30°,B=45°,AC= 边BC的长
解：已知：A=30°,B=45°,AC=4
由
所以△ABC中 ，BC 的长为2 √ 2。
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
sin sin B s(
C
B
a
3 知识梳理
正 弦 定 理
b
C
符号语言
图形语言
文字语言
A