高中数学人教A版必修1幂函数课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
2.3 幂函数
一 、实例探究
1、如果小红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需 要付的钱数y是 y=x
2、如果正方形的边长为x, 那么正方形的面积y 为
3、如果正方体的边长为x, 那么正方体的体积y 为
y=x
4、如果正方形场地面积为x, 那么正方形的边长y为
y=x
5、如果小兰在x秒内骑车行进了1km, 那么她骑车的速 度y是 y=x-
下列哪些是幂函数 (2)(5)
0y=0.2*; (2)
(4)y=x*; (5)y=x ;
二 、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
y=xa
(3)y=3x ;
(6)y=1
(2)y=x (3)y=x
(5)y=x-
(1)y=x
(4)y=x

1
二 、基础知识讲解
定义域： R
值 域 ： R
奇偶性： 奇函数
单调性： 在R 上是增函数
二 、基础知识讲解
y=X
R
[0,+0]
偶函数
在(0,+00)上是增函数
定义域：
值 域： 奇偶性： 单调性：
二 、基础知识讲解
y=x
在(-00,0)上是减函数
定义域： R
值 域 ： R
奇偶性： 奇函数
单调性：在 R 上是增函数
X -2 -1.5 -1 -0.5
x3 -8 -3.375 -1 -0.125
0
X 0.5 1 1.5
2
x 0.125 1 3.375
8
二、y 识讲解
3
知
x
础
值 域 ： [0,+00]
奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数
单调性： 在(0,+0)上是增函数
y=x
X 0 1
2
x0.5 0 1
1.4
x 4 5
6
x0.5 2 2.236
2.4
定 义 域 ：[0,+0]
二 、基 础知识讲解
y=x- 1
定义域：{ x x≠0}
值 域 ：{ yy≠0}
奇偶性： 奇函数
单调性：在(0,+0o)土是减函数 在(-o0,0)上是减函数
X
3-
-1 0
3-
X
1
几个幂函数的图象和性质
y=x y=x y=x 1 y=x
y=x-1
定义域 R R (0,+o)
{x|x≠0}
值域 (0,+0) R (0,+oo)
{yly≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶
奇
单调性 (0, +0o) ( 一 0 , 0)
(0,+o)
( 一 0 , 0)
(1,1)
(0,0)
二 基础知识讲解
规律：
(1)所有的幂函数y=x “均在(0,+0)上有定义， 过公共点(1,1)
(2)当a>0 时，y=x “的图象过原点(0,0) 当α<0 时 ，y=x “的图象不过原点；
(3)当α是奇数时 ，y=x" 是奇函数，
当α是偶数时，y=x “是偶函数；
(4)在区间(0,+0)上，
当α>0 时，函数y=x “是增函数；
当α<0 时 ，y=x" 是减函数，图象与两坐标轴
的正半轴无限接近；
例题
例1 函 数f(x)=(m -m-1)xm +m-3 是幂函数，且当 x∈(0,+00)时 ，f(x) 单调递增，求f(x) 的解析式。
解：Qf(x)=(m -m-1)x m +m-3是幂函数，
∴m -m-1=1
解得m=2 或m=-1,
当m=2 时 ，m +m-3=3, 即f(x)=x ,
满足在(0,+0o)上是增函数；
当m=-1 时 ，m +m-3=-3, 即f(x)=x - ,
在(0,+00)上是减函数，不符合题意；
所 求函数解析式为f(x)=x .
例题
例2、证明幂函数f(x)=√x 在(0,+00)上是增函数。
证明：任取x ,x ∈(0,+00),设 x f(x )-f(x )=√x-√x
Qx ,x ∈[0,+0],且 x ∴x-x <0,√x +√x >0,
∴f(x )-f(x )<0,即f(x )f (x )= √x 在[0,+00]上是增函数.
三 、例题分析
例3、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小：
1 1
(1)3.14 与π (2)(-0.38) 与(-0.39)
(3)1.25- 与1.22-
解：(1)幂函数y=x 在区间[0,+0]上是增函数
1
Q3.14<π ∴3.14 <π2
(2)
Q-0.38>-0.39 ∴:(-0.38) >(-0.39)
三 、例题分析
例3、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小：
1 1
(1)3.14 与π (2)(-0.38) 与(-0.39)
(3)1.25- 与1.22-
(3)y=x- 在(0,+0)上减函数
Q1.25>1.22 ∴1.25- <1.22-1
在(-00,+00)上是减函数，<指数函数 Q-0.25>-0.27
变式、已知 ,求m取值范围.
四、练习巩固
P868、 已知函数f(x)=(m +2m) ·xm +m-1, 求m为何值时，f(x) 为
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数
【解析】(1)若f(x)为正比例函数，
则
(2)若f(x)为反比例函数，
则 →m= 1.
(3)若f(x)为二次函数，
则
(4)若f(x)为幂函数，则m +2m=1,∴m=— 1±√2.
五、 课堂小结
1 、定义：一般地，函数 f(x)=xa 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
2、注意
区分幂函数与指数函数的概念及其表达式
3、幂函数 f(x)=xα的性质：
当α是奇数时 ，y=x “是奇函数；当α是偶数时，y=x “是偶函数； 1.a>0 时，(1)图象都经过点(0,0)和(1,1);
(2)函数在(0,+oo)上是增函数。
2. a<0 时，(1)图象都经过点(1,1);
(2)函数在(0,+o)上是减函数，且向右无限接 近x轴，向上无限接近y轴。
作业
● (1)在同一个坐标系中，画出本节学习的 5个幂函数图象。注意标出关键点和坐标轴。
●(2)
求f(x)=log (x -4x+3
●完成练习册相关内容
令t=x -4x+3=(x-2) -7, 当 x∈(-o0,1)U(3,+00) 时t>0,
∴y=log t, t ∈(0,+0o) , ② 确定内外函数，求中间量范围 ∴当x∈(-0,1) 时，t=x -4x+3 单调递减，此时t ∈(0,+0); 当x∈(3,+0)时，t=x -4x+3 单调递增，此时t∈(0,+00);
而当t∈(0,+o) 时 ，y=log t 单调递增， 内外函数
. 函数f(x)=log (x -4x+3) 在区间(-00,1)上单调递减，
在区间(3,+00)上单调递增.
④”同增异减”下结论
单调性
③分析
解：由题意可得：x -4x+3>0,
∴定义域是(-o,1)U(3,+0)
国数f(x)=log (x -4x+3 前
解得x<1 或x>3,
①求定义域