2023-2024学年吉林省长春市长春二中高一（下）第二次学程数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年吉林省长春二中高一（下）第二次学程
数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量满足，向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案如图，在山脚测得山顶得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了米到达点在同一个平面内，在处测得山顶得仰角为，则鼎湖峰的山高为米．
A. B. C. D.
5.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7.已知，，，是球表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则( )
A. B. C. D.
8.已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
D. 若是关于的方程的一个根，则
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，的三角形有两解，则的取值范围为
11.如图，在五边形中，四边形为正方形，，，为中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 若为的中点，则平面
C. 折起过程中，点的轨迹长度为
D. 三棱锥的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的内角，，的对边分别为，，，若，，则的值为______．
13.如图，在正方形中，，点，分别为，的中点，点在上，则 ______．
14.如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线．
求实数的值；
若，．
(ⅰ)求；
(ⅱ)若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，为边的中点，求的长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
求证：平面；
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的最大值．
19.本小题分
如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面，为线段的中点，且．
求证：平面；
若，，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．
参考答案
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15.解：，是平面内两个不共线的向量，
，，，
A、、三点共线，
，
，
则，解得．
，
向量的坐标为．
(ⅱ)设的坐标为，
，，，恰好为构成平行四边形，
则，，，
，解得，的坐标为．
16.解：因为，
所以，
化简得，因为，所以，
因为，
所以；
因为，
所以，解得，
因为为的中线，所以，
所以，
因为，，所以．
解得．
所以的长为．
17.证明：连接，
因为，，且是的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：在直角梯形中，，
所以，，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：因为平面，，
所以由三垂线定理知，，
所以就是二面角的平面角，即，
所以，
所以，
由知，平面平面，
所以直线与平面所成角即为，
在中，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为，
由正弦定理可得
，
可得，
又因为，可得，
而，
可得；
由题意可知，设，所以，
又因为，又，所以，
在中，由正弦定理可得：，
即，
可得，
所以
，
因为，所以，
所以
所以
所以三角形面积的取值范围为．
19.证明：在中，为线段的中点，且，
所以，由直角三角形的逆定理可知：为直角三角形，
且，即，
因为底面为平行四边形，即，所以，
因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
解：因为平面，所以，为直线与平面所成的角，
所以，
又因为，，
所以，，所以，
由知平面，又平面，所以，
因为，，所以，
所以，
在中，，，
因为，
连接，，由于为线段的中点，
，
由于，
设点到平面的距离为，
则，所以，
即点到平面的距离为．
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