2023-2024学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，如果与共线且方向相同，则的值为( )
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则( )
A. B. C. D.
5.若函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量，满足，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
7.商家为了解某品牌电风扇的月销售量台与月平均气温之间的关系，随机统计了某个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温
月销售量台
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为台．
A. B. C. D.
8.若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于
B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”
C. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好
D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则( )
A.
B.
C. 当面积为时，点在圆上运动
D. 点的坐标为
11.有个编号分别为，，，，的盒子，号盒子中有个白球和个黑球，其余盒子中均有个白球和个黑球现从号盒子任取一球放入号盒子；再从号盒子任取一球放入号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.边长为的正方形中，，分别为，的中点，则 ______．
13.年月日是第十九届世界肾脏日某社区服务站将从位志愿者中选人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中人去社区，人去社区，则不同的分配方案有______种用数字作答．
14.已知对任意恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且，
求；
若边的中线，且面积为，求的值．
16.本小题分
年月日，小米集团在北京举行主题为“向前”的小米汽车上市发布会，正式发布小米在发布会上，小米集团创始人、董事长兼雷军表示：“这是小米第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了名中青年购车意向者进行调查，现定义小于周岁的为青年，大于等于周岁小于周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
年龄段 购车意愿 合计
愿意购买 不愿购买
青年
中年
合计
请根据小概率值的独立性检验，分析购车意向者对小米的购买意愿与年龄段是否有关；
在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取名，然后在被抽取的名中再随机抽取名进行面对面访谈设面对面访谈中的青年人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望参考公式：，其中
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且，为线段的中点，为线段上的动点，．
证明：；
求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小．
18.本小题分
在信道内传输，信号，信号的传输相互独立由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点，节点把收到的信号重新发送至节点，节点再把收到的信号重新发送至节点，以此类推，最终发送至节点．
若信号源发出信号，求节点收到信号的概率；
为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值．
参考数据：．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论函数的单调区间与极值；
Ⅱ若且恒成立，求的最大值；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理得：，
即，
即，
整理可得：，即，
又因为，
可得；
因为边的中线，
则，两边平方得，
而，
整理可得：，
又因为，即，
所以，又，即，
所以，则，
即，
所以．
16.解：零假设为：意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段无关，
根据表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为意向者对该款汽车的购买意愿与年龄段有关．
按性别比例分层抽样抽取名调查者中，有青年名，中年名，
若在被抽取的名中再随机抽取名，
，，
，，
故随机变量的分布列：
，
故随机变量的数学期望为．
17.解：证明：因为且，为线段的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以面，
因为面，
所以；
因为面，则，又，
所以面，
因为平面，则平面平面，，
所以平面，
如图，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，
，设，
则，解得，
，，
设平面的法向量为，
则，，
所以，
取，则，，
即，
且平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则，
所以，
令，
所以，
当时，即时，，
则．
18.解：记“节点收到信号”，“节点收到信号“，，，，，
则，
，，，，
，
故节点收到信号的概率为；
不妨计算信号源发出信号，求节点收到信号的概率：
记，则，
则，
即，
构造得，又，
所以，
即节点收到信号的概率为，
由，得，
两边取以为底的对数，，
所以，即的最大值为．
19.解：Ⅰ
当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值；
当时，时，，时，，
函数的单调减区间为，增区间为，有极小值分
Ⅱ当时，由Ⅰ得
，
，
，即当时，最大为分
Ⅲ证明：由Ⅰ知，时，当时，，当时，，
函数有且仅有一个零点，即，．
，
记，，
故函数在上递增，在上递减，
当时，；时，，
函数有两个零点，，
故，分
不妨设，由题意，，
则，
欲证，只需证明：，只需证明：，
即证：，
即证，设，则只需证明：，
也就是证明：
记，，
在单调递增，，
所以原不等式成立，故得证分
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