2023-2024学年江苏省-南通市海门中学高二（下）学情调研数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省海门中学高二（下）学情调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点在平面内，并且对于空间任意一点，都有，则的值是( )
A. B. C. D.
2.若，且能被整除，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.正十二边形的对角线的条数是( )
A. B. C. D.
4.某电视台计划在五一期间某段时间连续播放个广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有种．
A. B. C. D.
5.下列结论正确的是( )
A. 已知一组样本数据，，，现有一组新的数据，，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B. 已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
C. 名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为人
D. 已知随机变量，若，则
6.已知，设：，：，则是的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
7.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面过点，其法向量，则下列点不在平面内的是( )
A. B. C. D.
10.有个相同的小球，分别标有数字，，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，：，则( )
A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角如图，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下如图：
上表图中第行的第个数用表示，即展开式中的系数为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
13.已知，则 ______．
14.已知不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
现有个编号为，，，的不同的球和个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内．
共有多少种不同的放法？
每个盒子内只放一个球，恰有个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种？
将个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种？
16.本小题分
为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破设备生产的零件的直径为单位：．
现有旧设备生产的零件有个，其中直径大于的有个现从这个零件中随机抽取个记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望；
技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立现任取个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功求技术攻坚成功的概率及的方差；
若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率．
参考数据：若，则，，，，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积分且对方不得分，答错不得分且对方积分，然后换对方抽题作答，直到有领先分者晋级，比赛结束已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积分的概率为记甲乙两人的答题总次数为．
求；
当时，求甲得分的分布列及数学期望；
若答题的总次数为时，甲晋级的概率为．
证明：．
19.本小题分
在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：四则运算法则：如果，，则，，若，则；洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，且，则；设，是大于的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间上的阶无穷递降函数结合以上两个信息，回答下列问题：
计算：；
；
试判断是否为区间上的阶无穷递降函数；并证明：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.乙
13.
14.
15.解：由题意，个编号为，，，的球和个编号为，，，，的盒子，
把球全部放入盒子内，共有种不同的放法；
每个盒子内只放一个球，恰有个盒子的编号与球的编号相同，
不同的放法有种不同的方法；
将个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒，
即有个盒子每个盒子放个球，共有种放法．
16.解：由题知，的可能取值为，，，．
则，，，
所以的分布列为：
所以，数学期望．
由题意可知，服从二项分布，
故，
技术攻坚成功的概率为：
，
．
记“至少有一个零件直径大于”为事件，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以．
从而至少有一件零件直径大于的概率为．
17.证明：设中点为，连接，为等边三角形，故，
由题意知平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又，，，平面，
故AB平面，平面，故AB，
又为的中点，为等边三角形，则，
，，平面，
所以平面；
解：由知平面，平面，故AB，
连接，，则，，
即四边形为平行四边形，故，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
，，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
所以，．
18.解：记“第次答题时为甲”，“甲积分”，
则，，，
，，
所以，
则，解得；
由题意可知当时，可能的取值为，，，
则由可知：，，
，
的分布列为：
随机变量的数学期望为；
由答题总次数为时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，所以甲晋级时必为偶数，
令，，
当为奇数时，，
所以
，
又时，则随着的增大而增大，
所以时取最小值，又当时，，
所以．
19.解：根据洛必达法则，．
设，则，
设，，
，
．
证明：，，
，则，，
，
，均有，
是区间上的阶无穷递降函数．
方法一：
由以上同理可得，
由，得
，
，．
方法二：
，
设，，则，
设．，则，
在上单调递增，又，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在上恒成立，，
在上单调递增，
又，
，．
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