2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是( )
设随机变量服从二项分布，则
已知随机变量服从正态分布且，则
年月日第届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有种；
，．
A. B. C. D.
6.设甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球，现从甲袋中任取球放入乙袋，再从乙袋中任取球，记事件“从甲袋中任取球是红球”，事件“从乙袋中任取球全是白球”，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 事件与事件相互独立
7.已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A. 若：，，则：，
B. 若不等式的解集为，则
C. 若，，且，则的最小值为
D. 函数且的图象恒过定点
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
C. 甲乙不相邻的排法种数为种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
11.已知定义在上的函数，对任意，有，其中；当时，，则( )
A. 为上的单调递增函数
B. 为奇函数
C. 若函数为正比例函数，则函数在处取极小值
D. 若函数为正比例函数，则函数有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式的展开式中的系数为______．
13.已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为______．
14.已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为内角，，的对边，．
求角；
若的面积为，周长为，求．
16.本小题分
某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成合格品与优等品间无包含关系．
用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取件产品，在这件产品中随机抽取件，记这件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
消费者对该公司产品的满意率为，随机调研位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有人满意的概率及的数学期望与方差．
17.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，，数列满足．
求数列与数列的通项公式；
数列满足，求前项和．
18.本小题分
“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复．
求月日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；
记甲、乙、丙三人中月日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差；
求丙在月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
19.本小题分
已知，，是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若满足，求证：．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，即，
因为，可得，
所以，即；
因为，
所以，
又因为，
由余弦定理可得，
所以．
16.解：由题知，在各随机抽取的件产品中，甲、乙两条生产线的优等品分别有件、件，
用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取件产品，其中从甲、乙两条生产线的样品中抽取的优等品分别有件、件，
所以的所有取值为，，，
且，
故的分布列为：
所以；
由题意知，，
则，，，
故，
又因为，
所以，．
17.解：设等差数列的公差为，
，，
，，，
，
，
，
由得，
，
当时，，，满足，
；
由得，，则，
，
，
记，则，
记，
则
，
．
18.解：由题意可得月日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为；
由题意知，的可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列为：
故，
；
由题意得，
则，
则，又，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
故，
在月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足即，
即，即，
当为偶数时，上式显然不成立，
故当为奇数时，有，
当时，成立，
当时，，
当时，，即不成立，
随的增大而减小，故时，均不成立，
则只有在第天和第天时有，
故在月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为．
19.解：当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取到极小值，无极大值；
方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如下图所示：
与有个交点，
则，
即的取值范围为；
证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上严格增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上严格减，
所以，
即得证．
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