北京中关村中学2019-2020 年度高二年级第二学期数学期末考试（PDF版无答案）

北京中关村中学2019-2020 年度高二年级第二学期数学期末 考试
2020.7
一、选择题(本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分)
x 1
（1）已知 A {x | y }, B x | 9x 3x 1 ，则 A B （ ）
x
A． (0,1) B． (0,1] C．R D．
（2）在复平面内，复数 (2 i) 2 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
（3）某工厂生产的发动机编码由 2个英文字母后接 4个数字组成，这样的编码共有（ ）
A． A2 4
2 2
A 个 B． A2 104 个 C． C1 A4 个 D． C1 4 个 26 10 26 26 10 26 10
（4）已知三条不同的直线 l,m,n 和两个不同的平面 ， ，下列四个命题中正确的为 （ ）
A．若m l ， n l ，则m //n B．若 l // ， l ，则
C．若 l // ， l // ，则 // D．若 l //m ，m ，则 l //
（5）2020 年初，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，
国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支
援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆
行者”．同时每个社区也是成为了防控主战场，号召
党员积极参加社区服务，全市随机抽取了 400 名党员
参加社区服务的数据，按时间段 [75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]（单
位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．由抽取的 400 位党员数据，估计
从全市党员中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 85 小时的概率 ( )
31 169 33 31
A． B． C． D．
200 200 40 40
（6）设 p : f (x) ln x 2x2 mx 1在 (0， ) 内单调递增，q : m 4，则 p 是 q 的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分必要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
（7）定义在 R 上的函数 f (x)，若 (x－3)·f (x) 0，则下列各项正确的是( )
A．f(2)＋f(4)>2 f (3) B．f (2)＋f (4)＝2 f (3)
C．f (2)＋f (4)<2 f (3) D．f (2)＋f (4)与 2 f (3)大小不确定
（8）内接于半径为 R的球且体积最大的圆柱的高为( )
1
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3
A．R B． R C. 2 3 R D. 3R
3 3
2
（9）已知不过原点的直线交抛物线 y 2 px 于 A，B 两点，若直线 OA,AB 的斜率分别是 2
和 6，则直线 OB的斜率为（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
（10）设函数 y f (x) 图象上在不同两点 A（x1,y1）,B(x2,y2)处切线的斜率分别是 KA，KB.
| k
规定规定 (A，B)＝ A
kB | （|AB|为线段 AB 的长度）叫做曲线 y f (x) 在点 A 与点
AB
x 1
B 之间的“弯曲度”，已知 f (x)=e x ，且 x1-x2=2，若m (A，B) 恒成立，则实
2
数 m的取值范围是（ ）
A．(0,1] B．(0,2] C．(-∞,1] D． (-∞, 1 ]
2
二、填空题(本大题共 5小题，每小题 5 分，共 25分)
2
a i
（11）已知 2 bi （i 为虚数单位），则实数 a,b 的值分别为
1 i
（12）若（x2
1
）n 展开式的各项系数之和为 64，则n ，其展开式中的常数项
x
为
x2 y2
（13）能说明“若 m ( n +2)≠0,则方程 1表示的曲线为焦点在 y 轴上且渐近线
m n 2
方程为 y x 的双曲线”的一组 m , n 的值是
（14）“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三
角形和一个小正方形组成（如图所示），简洁对称，和谐优美，某
数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其图案用红，黄 2 种颜
色为弦图的 5个区域着色（至少使用一个颜色），则一共可以绘制
备选的会徽图案数为
（15） 设集合 A {a1,a2 , ,an} （a N
*
i , i 1,2,3, , n, n N
*) .若存在非空集合 B,C，
使得B C=A，B C= ，且集合 B 的所有元素之和等于集合 C 的所有元素之和，
则称集合 A为“美好集合”．
（1）若美好集合 A={1，2，3，m}，则 m 的所有可能取值之和是____ _
（2）若集合 A的所有 n-1元子集都是“美好集合”，则 n 的最小值是___ ___
2
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三、解答题(本大题共 6小题，共 85分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
（16）（本小题共 14分）
A1 C1
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC 90 ，
B1
AB AC AA1，且E 是 BC 中点.
（I）求证： A1B / / 平面 AEC ； 1 A C
（Ⅱ）求直线 B1C 与平面 A1EC1 所成角的正弦值 E B
`
3
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（17）（本小题共 14分）
1
已知函数 f (x) x3 ax2 2x b ， x 1是 f (x) 的一个极值点．
3
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）求 f (x) 在[0,2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 y f (x) 有一个零点，求 b的取值范围．
4
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（18）（本小题共 14分）
“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机处理器
的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排
行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的 100 人，记录了他们某一天的走路步数，并将
数据整理如下：
步数/步 0 3000 3001 6000 6001 8000 8001 10000 10000 以上
男生人数/人 2 4 14 30 10
女生人数/人 0 6 14 18 2
规定：人一天行走的步数超过 8000 步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．
（1）以这 100 人这一天行走的步数的频率代替 1 人一天行走的步数发生的概率，
记 表示随机抽取4人中被系统评为“积极性”的人数，求恰好有 2 个人是被系统评
为“积极性”的概率.
（2）依据统计表，拟从这 100 人中先抽取 10 人（男生 6 人，女生 4 人）．其中
男生中被系统评定为“积极性”的有 4 人，“懈怠性”的有 2 人，女生被系统评为“积极
性”和“懈怠性”的各有 2 人，从中任意选取 3 人，记选到“积极性”的人数为 ，求Y的
分布列及数学期望
（3）现从样本中，记男女生当天走路步数的方差分别为 D1，D2，试比较 D1与 D2 的
大小（只需写出结论）
5
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（19）（本小题共 14分）
已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 1, 2,若焦距为 2，点
3
A(1, )在椭圆 C上
2
（1）求椭圆 C的标准方程.
（2）E、F是椭圆 上的两个动点，如果 A 2平分 EAF，证明直线 EF的斜率为定值，
并求出这个定值.
6
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（20）（本小题共 15分）
已知 f (x) ax 1 ln x (a R) ，
（Ⅰ）讨论函数 f (x) 在定义域内极值点的个数；
（Ⅱ）若函数 f (x) 在 x=1处取得极值，对任意 x (0, ) ,函数 f (x) 的图像不会在
直线 y bx 2下方，求实数 b的最大值；
（Ⅲ）当0y 与1 ln y 的大小．
x 1 ln x
7
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（21）（本小题共 14分）
*
定义在自然数 N 上的F 变换：一行个数有限的数，将每相邻两项之间插入这两
项的和，形成新的一行数，我们把这样的操作称为一次“F 变换”．如数列1，2 第1
次“F 变换”后得到数列1，3，2，第2次“F 变换”后得到数列1，4 ，3，5，
2．设数列a ，b ，c经过第n次“F 变换”后所得一行数的项数记为Pn ，所有项的
和记为 Sn ．
（Ⅰ）求P1， P2 ；
（Ⅱ）若 Pn ≥ 2020，求n的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数a ，b ，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a ，b ，c 满
足的条件；若不存在，说明理由．
8
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