2019-2020学年北京中关村中学高一（下）期末数学（PDF版无答案）

中关村中学高一年级第二学期期末练习
数学 学科 2020.07
本试卷共 4页，100分+附加题 10分，考试时长 90分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题，本题共 8个小题，每题 4分，共 32分.每题只有一个正确选项，请将正确答案填写到答
题纸的相应位置.
1.下列函数中定义域为R的奇函数是 （ ）
1
（A） y sin x （B） y cos x （C） y tan x （D） y
sin x
1 1
2. 设向量 a 1,0 ，b , ，则下列结论中正确的是( )
2 2

（A） a

b （B ） a b 2 C （ ）a b 与b 垂直 （D） a b
2
3.已知三条不同的直线 l,m,n和两个不同的平面 ， ，下列四个命题中正确的为（ ）
（A）若m // ， n ，则m //n （B）若 l // ， l ，则
（C）若 l // ， l // ，则 // （D）若 l //m，m ，则 l //
4.已知底面边长为 3，侧棱长为 4的正三棱柱的体积为（ ）
（A） 3 （B）3 3 （C）3 （D）6 3
5.在 ABC 中，“ cos A cosB ”是“ sin A sin B "的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6.如图, AB是圆O的直径,C是圆周上不同于 A、B的任意一点,PA 平面ABC ,则四面体 P ABC 的四
个面中直角三角形的个数是（ ）
（A） 4个 （B）3个
（C） 2个 （D）1个
7.已知函数 f (x) sin(2x

)，则下列四个结论中正确的是（ ）
6

（A）函数 f (x)的图象关于（ ,0）中心对称 （B）函数 f (x)的图象关于直线 x 对称
12 8

（C）函数 f (x)在区间 [0， ]上单调递增 （D）函数 f (x)在区间 ( , )内有 4个零点
3
1
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8.圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称
为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，
日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图
2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即 ABC）为 26.5o，
夏至正午太阳高度角（即 ADC）为 73.5o，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为 a，
则表高（即 AC的长）为（ ）
（第 8 题图）
a sin 26.5o aA B C a tan 26.5
o tan73.5o D asin 26.5
o sin 73.5o
（ ）
2sin 47o
（ ） o （ ） o （ ）tan 26.5 tan 47 sin 47o
二、填空题，本题共有 4个小题，每题 4分，共 16分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置.
9.已知直线 a // b，a //平面 ，则直线b与平面 的位置关系是 .
10.在△ ABC 中，若 a 7， b 8， sin B 4 3 ，则 A的大小为 .
7
11.正方形 ABCD的边长为 2，E,F分别为 AB,BC的中点，则DE DF _______；P为正方形 ABCD
边界上的点，则 AP EF 的最大值为_______.
12.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，如图，F 是棱CC1上的动点，过点D1、F、B作该正方体的截面交棱 AA1
D
于点 E C.设C1F x
1 1
，给出下列命题：
A1
①四边形 BFD1E有可能是菱形； B1
E
②四边形 BFD1E不可能是正方形； F
③平面 BFD1E不可能垂直于平面 BD1D； D C
④三棱锥 B1 BEF的体积与 x取值无关，且总保持恒定不变. A B
其中正确的命题是_______.（写出所有正确命题的序号）
2
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三、解答题，本题共有 4道小题，共 44分，请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置.
13.已知角 x的终边经过点 P( 3，1) .

（Ⅰ）求 sin( x) sin( x)的值;
2
tan2x
（Ⅱ）求 的值；
2 sin( x)
4
（Ш）写出角 x的取值集合 S.
14.已知函数 f (x) cos2x 2sin x cos x .
（Ⅰ）求函数 f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）若方程 f (x) m 0 x [ 在 , ]上有解，求实数m的取值范围．
2
解：（Ⅰ）Step1：化简函数 f (x)
这里首先利用正弦二倍角公式 2sin x cos x ① .
f (x) a sin x bcos x a2 接下来利用辅助角公式 b2 sin( x )，0 化简 f (x)，请写出
2
化简过程及结果：②
Step2：因为 y sin x的单调递减区间是③ .
请写出求解函数 f (x)的单调递减区间的过程及结果：④
（Ⅱ）
15.如图，已知 ABED是正方形，平面 ABED⊥底面 ABC，CB CA，其中 G、H分别是 DC、BD的中点.
E D
（Ⅰ）求证： EB 平面ABC.
（Ⅱ）判断 GH与平面 ABC的关系，并证明你的结论.
（Ш）判断 AB与 EC是否垂直，并说明你的理由. H
G
B A
3 C
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16.在△ ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，其中b=4，从① cos A 1 cos A 1 ，② ，③a=6，
3 3
④a=3四个条件中选出两个条件. 求边 c，sinB及三角形面积.
（II）卷
四、填空题，本题共有 2个小题，每题 4分，共 8分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置.
17.已知函数 f (x) sin x sin(2x)，下列命题：
①函数 f (x)的图像关于 y轴对称； ②函数 f (x)是周期函数；
③函数 f (x)在 [0,2 ]上有 5个零点； ④函数 f (x)有最大值和最小值.
其中所有正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．
18.如图，在矩形 ABCD中， AB 2， AD 1， E为边 AB的中点.将 ADE沿DE 翻折，得到四棱锥
A1 DEBC .设线段 A1C的中点为M ，则在翻折过程中，下列错误命题的序号是 .
①DE EC ；
②存在某个位置，使得 A1C DE；
2
③三棱锥C A1DE体积的最大值为 ；6
④过 BM 存在一个平面平行于平面A1DE .
五、附加题，满分 10分，请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置.
19.如图，有一个三棱锥形木块 A BCD，如果要在木块表面 ACD上过一点 P打穿与侧面 ABC垂直的一
个孔洞，应该如何在侧面 ABC上找到这个孔洞的出口点 Q？请利用所学过的立体几何知识说明.
A
P
B D
C
4
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