北师大版八年级数学下册6.4多边形的内角和与外角和同步练习题（含答案）

北师大版八年级数学下册《6.4多边形的内角和与外角和》同步练习题
一．选择题
1．已知一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，这个多边形的边数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（　　）
A．540° B．900° C．1080° D．1440°
3．如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是（　　）
A．40° B．70°
C．140° D．以上答案均不对
4．如图，正五边形ABCDE，点D、E分别在直线m、n上．若m∥n，∠1＝20°，则∠2为（　　）
A．52° B．60° C．58° D．56°
5．已知一个正多边形的内角是120°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个正五边形
A．6 B．7 C．8 D．9
7．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　）
A．360° B．540°
C．180°或360° D．540°或360°或180°
二．填空题
8．正多边形的每个内角都等于135°，则该多边形是正　 　边形．
9．如果一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有　 　 条．
10．多边形的每一个内角都等于108°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成 　 　个三角形．
11．若某多边形从一个顶点所作的对角线为4条，则这个多边形共有 　 　条对角线．
12．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝　 　．
13．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝　 　°．
14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度．
15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　度．
三．解答题
16．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠C＝75°，∠ADE为四边形ABCD的一个外角，且∠ADE＝125°，试求出∠B的度数．
17．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？
18．探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角和为180°得出多边形内角和．如图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空
（1）四边形内角和：4×180°﹣360°＝4×180°﹣2×180°＝2×180°；
（2）五边形内角和：5×180°﹣360°＝5×180°﹣2×180°＝　 　；
（3）六边形内角和：6×180°﹣360°＝6×180°﹣2×180°＝　 　；…
（4）n边形内角和：　 　＝　 　＝　 　．
19．回答下列问题：
（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，∠A＝40°，∠P的度数＝　 　（直接写出答案）．
（2）如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数（用α，β的代数式表示，写出详细过程）．
20．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：
①如图2，多边形A1A2A3A4A5…An．中，过顶点A1可以画　 　条对角线，过顶点A2可以画　 　条对角线，过顶点A3可以画　 　条对角线（用含n的代数式表示）
②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？　 　
③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？　 　（用含n的代数式表示）
21．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是　 　；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为　 　．
参考答案
一．选择题
1．解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2） 180°+360°＝1980°，
n﹣2＝9，
n＝11．
故选：C．
2．解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，
则这个多边形是正八边形，
所以该正多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
3．解：∵正九边形的外角和为360°，
∴正九边形每个外角的度数是＝40°，
∴正九边形每个内角的度数是180°﹣40°＝140°．
故选：C．
4．解：如图：
直线m交AB 于G，直线n交BC于H，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝∠AED＝∠CDE＝＝108°，
∵∠1＝20°，
∴∠DEG＝∠AED﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，
∵m∥n，
∴∠HDE＝180°﹣∠GED＝180°﹣88°＝92°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝108°﹣92°＝16°，
在△CDH中，
∠CHD＝180°﹣∠CDH﹣∠C
＝180°﹣16°﹣108°
＝56°，
∴∠2＝∠CHD＝56°，
故选：D．
5．解：设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2） 180°，
解得n＝6．
故选：D．
6．解：五边形的内角和为（5﹣2） 180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
7．解：n边形的内角和是（n﹣2） 180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故选：D．
二．填空题
8．解：∵正多边形的每个内角都等于135°，
∴多边形的外角为180°﹣135°＝45°，
∴多边形的边数为360°÷45°＝8，
故答案为：八．
9．解：多边形的边数n＝720°÷180°+2＝6；
对角线的条数：6×（6﹣3）÷2＝9．
故答案为：9．
10．解：180°﹣108°＝72°，
360°÷72°＝5，
则从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成5﹣2＝3个三角形．
故答案为：3．
11．解：∵从某个多边形的一个顶点出发一共画出4条对角线，
∴n﹣3＝4，
∴n＝7，
那么这个多边形对角线的总条数为：×7×（7﹣3）＝14．
故答案为：14．
12．解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．
故答案为：15°．
13．解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∠3+∠4＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝80°．
故答案为：80°．
14．解：如右图所示，
∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
15．解：如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1＝∠A+∠B＝∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED＝180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED＝180°．
三．解答题
16．解：∵∠ADE＝125°，
∴∠ADC＝55°，
∵∠A＝80°，∠C＝75°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ADC＝360°﹣80°﹣75°﹣55°＝150°，
17．解：如图，
由三角形的外角性质得，∠AGE＝∠A+∠C，∠DFE＝∠B+∠D，
∵∠AGE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
18．解：（2）根据乘法分配律，得5×180°﹣2×180°＝（5﹣2）×180°＝3×180°．
（3）根据乘法分配律，得6×180°﹣2×180°＝（6﹣2）×180°＝4×180°．
（4）∵从n边形内部任取一个点，并连接这个点与多边形的各个顶点，可将这个多边形分成n个三角形，
∴多边形内角和：n×180°﹣360°＝n×180°﹣2×180°＝（n﹣2）×180°．
故答案为：3×180°；4×180°；n×180°﹣360°＝n×180°﹣2×180°＝（n﹣2）×180°．
19．解：（1）∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABC，
∵CP平分△ABC的外角，
∴∠DCP＝∠ACD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC，
在△BCP中，由三角形的外角性质，∠DCP＝∠CBP+∠P＝∠ABC+∠P，
∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠P，
∴∠P＝∠A＝×40°＝20°．
（2）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝360°﹣（α+β）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCP）＝180°﹣2（∠DCP﹣∠FBC）＝180°﹣2∠P，
∴360°﹣（α+β）＝180°﹣2∠P，
2∠P＝α+β﹣180°，
∴∠P＝（α+β）﹣90°．
20．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：
①如图2，多边形A1A2A3A4A5…An．中，过顶点A1可以画　（n﹣3）　条对角线，过顶点A2可以画　（n﹣3）　条对角线，过顶点A3可以画　（n﹣3）　条对角线（用含n的代数式表示）
②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？　有重复　
③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？　　（用含n的代数式表示）
解：故答案：（1）（n﹣3）；（n﹣3）；（n﹣3）
（2）有重复 （3）
21．解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A．
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2．
（3）如图③，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，
解得∠A＝28°．
故答案为：∠1＝2∠A；28°．