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第11章 三角形 单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 南沙区期末）下列图形中具有稳定性的是
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】
【解析】三角形具有稳定性；故选．
2．（2024春 光明区期末）下列各组边长能组成三角形的是
A．7，8，15 B．5，5，11 C．3，4，5 D．2，9，12
【答案】
【解析】、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，能组成三角形，故符合题意；
、，不能组成三角形，故不符合题意．
故选．
3．（2023春 阎良区期中）下列说法错误的是
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部
B．三角形的重心是三角形三条中线的交点
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
【答案】
【解析】、三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确，故不符合题意；
、三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确，故不符合题意；
、锐角三角形的三条高都在三角形内部，故符合题意；
、三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确，故不符合题意．
故选．
4．（2024春 惠安县期末）将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可知：
，，
．故选．
5．（2024春 丰泽区期末）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在中，，，，
则，
，间的距离不可能是，故选．
6．（2024春 洛江区期末）如图所示，平分，于点，，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，故选．
7．（2023秋 招远市期中）若三角形有两个内角的和是，那么这个三角形是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】
【解析】三角形有两个内角的和是，
这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，
这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，
这个三角形不能确定．故选．
8．（2024春 潍城区期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
五边形中，，，
．故选．
9．（2024 桂林二模）是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】正六边形的内角和为：，
又正六边形的6个内角都相等，
正六边形的每一个内角的度数是：．故选．
10．（2024 霍山县三模）如图，与均为直角三角形，交于点，，，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，，，
，
，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 义乌市期末）已知一个多边形是七边形，则它的内角和为 度．
【答案】900．
【解析】已知一个多边形是七边形，
则它的内角和为，故答案为：900．
12．（2024春 农安县期末）中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ．
【答案】．
【解析】正五边形的外角和为，正五边形的每一个外角都相等，
它的一个外角的度数为，故答案为：．
13．（2024春 郫都区期末）如果的两边长、满足条件，那么这个三角形的第三边长的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】、满足条件，
，，
，．
、、为三角形的三边长，
，即．故答案为：．
14．（2024春 浦东新区校级月考）如图，在中，，如果与的平分线交于点，那么 度．
【答案】70．
【解析】，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
．
故答案为：70．
15．（2024春 长春期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： （只填序号）
①；
②；
③．
【答案】①②．
【解析】①平分，
，
，
，
，
故①正确；
平分，，
．
，
，
故②正确；
平分，平分，
，，
，
．
故答案为：①②．
16．（2024 兴庆区校级一模）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应增加 度．
【答案】10．
【解析】延长交于，
，
，
，
，，
，
故应增加．
故答案为：10．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 江都区校级月考）（1）一个多边形的每一个内角是，求它的边数；
（2）若一个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求它的边数．
【解析】（1）设该多边形的边数为，
由题意知：，
解得，
即该多边形的边数为10；
（2）设该多边形的边数为，
由题意知：，
解得，
即该多边形的边数为12．
18．（2024春 邗江区期中）已知的三边长是，，．
（1）若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值；
（2）化简．
【解析】（1），，是的三边，，，
，
三角形的周长是小于22的偶数，
，
或6；
（2）
．
19．（2024春 宿城区校级期末）如图，在四边形中，，分别平分和，若，，求的度数．
【解析】，，四边形的内角和为，
，
，分别平分和，
，，
，
．
20．（2023秋 疏勒县期中）如图，在锐角中，边上有，，三点，，，，垂足为．
（1）以为中线的三角形有① ；
以为角平分线的三角形有② ；
以为高的钝角三角形有③ ．
（2）若，，求的度数．
【解析】（1）以为中线的三角形是；
以为角平分线的三角形是；
以为高线的钝角三角形有、、共3个，
故答案为：①；②；③、、；
（2）在中，，，
，
，
．
21．（2024春 长春期末）如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式）
解：平分（已知），
．
是的外角，
，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
，（等式性质）
．
于点，
．
．
【解析】平分（已知），
．
是的外角，
，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
，（等式性质）
．
于点，
．
．
故答案为：；30；；；30；50；90；50；40．
22．（2024春 丰泽区校级期中）如图，在中，是中线，，．
（1）与的周长差为 ．
（2）点在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是，求线段的长．
【解析】（1）是中线，
，
的周长，的周长，
的周长的周长的差即与的差，
，
的周长的周长的差为，
故答案为：4；
（2）①折线比折线大时，
即，
，，
，
②折线比折线大时，
即，
，，
，
综上，线段的长为或．
23．（2024春 崇川区期末）如图，在四边形中，，平分，平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【解析】（1）解：平分，，
，
，
在四边形中，，
平分，
；
（2）证明：，
，
平分，平分，
，，
，
又，
，
．
24．（2024春 姜堰区校级月考）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：；
（2）利用（1）中的结论，试求图2中的度数．
【解析】（1），，
，
（2）如图所示，连接，
，
，
．
25．（2024春 农安县期末）（问题背景）
，点、分别在、上运动（不与点重合）．
（问题思考）
（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动， ．
（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
①若，则 ．
②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③， ．（用含的代数式表示）
【解析】（1），
，
、分别是和角的平分线，
，，
，
；
故答案为：；
（2）①，，
，，
是的平分线，
，
平分，
，
，
故答案为：45；
②的度数不随、的移动而发生变化，
设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
；
（3）设，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
；
故答案为：．
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第11章 三角形 单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 南沙区期末）下列图形中具有稳定性的是
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
2．（2024春 光明区期末）下列各组边长能组成三角形的是
A．7，8，15 B．5，5，11 C．3，4，5 D．2，9，12
3．（2023春 阎良区期中）下列说法错误的是
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部
B．三角形的重心是三角形三条中线的交点
C．三角形的三条高都在三角形内部
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
4．（2024春 惠安县期末）将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是
A． B． C． D．
5．（2024春 丰泽区期末）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是
A． B． C． D．
6．（2024春 洛江区期末）如图所示，平分，于点，，，则的度数是
A． B． C． D．
7．（2023秋 招远市期中）若三角形有两个内角的和是，那么这个三角形是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
8．（2024春 潍城区期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为
A． B． C． D．
9．（2024 桂林二模）是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是
A． B． C． D．
10．（2024 霍山县三模）如图，与均为直角三角形，交于点，，，，，则
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 义乌市期末）已知一个多边形是七边形，则它的内角和为 度．
12．（2024春 农安县期末）中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ．
13．（2024春 郫都区期末）如果的两边长、满足条件，那么这个三角形的第三边长的取值范围为 ．
14．（2024春 浦东新区校级月考）如图，在中，，如果与的平分线交于点，那么 度．
15．（2024春 长春期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： （只填序号）
①；②；③．
16．（2024 兴庆区校级一模）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应增加 度．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 江都区校级月考）（1）一个多边形的每一个内角是，求它的边数；
（2）若一个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求它的边数．
18．（2024春 邗江区期中）已知的三边长是，，．
（1）若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值；
（2）化简．
19．（2024春 宿城区校级期末）如图，在四边形中，，分别平分和，若，，求的度数．
20．（2023秋 疏勒县期中）如图，在锐角中，边上有，，三点，，，，垂足为．
（1）以为中线的三角形有① ；
以为角平分线的三角形有② ；
以为高的钝角三角形有③ ．
（2）若，，求的度数．
21．（2024春 长春期末）如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式）
解：平分（已知），
．
是的外角，
，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
，（等式性质）
．
于点，
．
．
22．（2024春 丰泽区校级期中）如图，在中，是中线，，．
（1）与的周长差为 ．
（2）点在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是，求线段的长．
23．（2024春 崇川区期末）如图，在四边形中，，平分，平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
24．（2024春 姜堰区校级月考）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：；
（2）利用（1）中的结论，试求图2中的度数．
25．（2024春 农安县期末）（问题背景）
，点、分别在、上运动（不与点重合）．
（问题思考）
（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动， ．
（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．
①若，则 ．
②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③， ．（用含的代数式表示）
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