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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分)
1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为16，36，9，16，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17 B．34 C．77 D．86
2．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
3．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为．则围成的小正方形与大正方形面积的比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A．7 B．8 C．9 D．5
6．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长 若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
9．如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（ ）
A．18 B．12 C．36 D．62
10．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
二.填空题:（每小题3分共15分)
11．如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是 尺（其中1丈尺）．
12．如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 m．
13．如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ．
14．如图，面积分别为的四个正方形围成的四边形中，，若，．则 ．
15．如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
三.解答题:（共55分）
16．（6分）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
17．（7分）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
18．（8分）如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)求斜边的长．
19．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：．
20．（8分）如图四边形中，，求四边形的面积．
21．（8分）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于．
(1)求证：长方形各内角均为；
(2)若，，求的长．
22．（10分）对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ；
(2)图2是由两个边长分别为a.b.c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）；
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角中，，三边长分别为a.b.c，已知，，求的值．
②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ．
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【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】
第一章 勾股定理
一.选择题：（每小题3分共30分)
1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为16，36，9，16，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17 B．34 C．77 D．86
解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A.B的面积和为，C.D的面积和为，
，，
于是，
即可得．
故选：C．
2．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
解：.因为，所以不是勾股数；
.因为，所以不是勾股数；
.因为，所以不是勾股数；
.因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数．
故选：D．
3．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）．
A． B．
C． D．
解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理，符合题意；
B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴，
整理得，
∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意；
C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得，
∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意；
D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得，
∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意．
故选：A．
4．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为．则围成的小正方形与大正方形面积的比为（ ）
A． B． C． D．
解：设直角三角形短直角边长为，长直角边长为，
∴中间空白部分的正方形边长为，
∴中间空白部分的正方形面积为，
由勾股定理得大正方形边长的平方为，即大正方形的面积为，
∴围成的小正方形与大正方形面积的比为，
故选：A．
5．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A．7 B．8 C．9 D．5
解：在中，（米），
故可得地毯长度（米），
故选：A．
6．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长 若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
解：设绳索长x尺，则木柱高为尺，
由题意得：；
故选：A．
7．一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
解:根据题意，如图所示，
可知，，，，
在中，，
，
解得：，
故两船相距海里
故选：A
8．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图，
则，，
又∵小正方形的面积为，
∴可解得或（舍去），
∴，
∴大正方形的面积．
故选：C．
9．如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（ ）
A．18 B．12 C．36 D．62
解：∵与都是等腰直角三角形，
∴由题意知，，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的结果为18，
故选：A．
10．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
解：由勾股定理得，，
，
，
，
，
（负值舍去），
的周长，
故选：C．
二.填空题:（每小题3分共15分)
11．如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是 尺（其中1丈尺）．
解：1丈尺，
设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：
解得：．
答：折断处离地面的高度为尺．
故答案为：．
12．如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 m．
解：在直角三角形中，因为，，
由勾股定理得：，
由题意可知，
又，
根据勾股定理得：，
故．
故答案为：8．
13．如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ．
解：连接，
∵，，
∴，，，
连接，设，
可得方程：，
代入数值可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
14．如图，面积分别为的四个正方形围成的四边形中，，若，．则 ．
解：根据题意可知：，，，，
在与中，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：10．
15．如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得.
故答案为：3．
三.解答题:（共55分）
16．（6分）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
解：设为x米，则米，
在中，，
，
，
解得：，
即旗杆高12米．
17．（7分）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
解：设秋千的绳索长为，根据题意可得，
由题意得，，
∴，
在中，，
，解得：，
绳索的长度是3米．
18．（8分）如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)求斜边的长．
（1）解：；
（2）解：．
19．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：．
证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则．
，
，
，
．
20．（8分）如图四边形中，，求四边形的面积．
解∵，，
∴根据勾股定理得：，
又∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．
即四边形的面积是36.
21．（8分）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于．
(1)求证：长方形各内角均为；
(2)若，，求的长．
（1）证明：由折叠的性质知，，．
四边形是长方形，
∴，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是长方形，
，，
，
由（）知，
，
，
，
∴．
22．（10分）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ；
(2)图2是由两个边长分别为a.b.c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）；
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角中，，三边长分别为a.b.c，已知，，求的值．
②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ．
（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即，
图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即，
故可得等式；
（2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即
图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即，
故可得到等式，
故；
（3）解：①，，
；
②，在直角中，，，
在直角中，
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