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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形不一定具有的结论是（ ）
A． B． C． D．
3．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）
A．邻角互补 B．内角和为 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．如图，是斜边上的中线，且，则的长度为（ ）
A．8 B． C． D．
7．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当且时，四边形是正方形
C．当平分时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
8．如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，在菱形中，，，点E.F同时从A.C两点出发，分别沿方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为，点F的速度为．若经过t秒时，为等边三角形，则t的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
10．如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如果矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，那么该矩形的周长是________.
12．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．
（1） ；
（2）点的坐标是 ．
13． 如图， 在中，， D是的中点， 则 ．
14．如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F.P为边上的动点，则的最小值为 .
15．如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接.．
（1）若，则的度数为 ；
（2）过点作交于点，若，则的度数为 ．
三.解答题:（共55分）
16．（5分）如图，矩形内一点，连接，且．
求证：．
17．（8分）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
18．（8分）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接
(1)求的长；
(2)求的周长．
19．（8分）在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求的长．
20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
21．（9分）综合实践
如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；
(3)如图1，若，，请求出的长．
22．（9分）如图，已知直线与两坐标轴分别交于点A.B，点在线段AB上，将一块三角板绕点P旋转，两直角边分别与x轴.y轴相交于D.E两点．
(1)________，在图1中，当轴时，的值是________；
(2)当三角板旋转至图2或图3的位置时，请猜想线段和之间的数量关系，并任选一个图形加以证明；
(3)在三角板绕点P旋转过程中，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出点D坐标所有的可能情况；若不能，请说明理由．
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．已知菱形的面积为，且两条对角线之比为，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示：
设，则，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，则，
在菱形中，，，，
∴；
故选：C．
2．如图，菱形不一定具有的结论是（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴菱形不一定具有的结论是
故选：C．
3．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
解；如图所示，连接，
∵点的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：C．
5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）
A．邻角互补 B．内角和为 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
解：A.邻角互补是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意；
B.内角和为是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意；
C.对角线互相平分是菱形与矩形都具有的性质，不符合题意；
D.菱形的对角线互相垂直.矩形的对角线相等，该选符合题意；
故选：D．
6．如图，是斜边上的中线，且，则的长度为（ ）
A．8 B． C． D．
解：由题意知，，
故选：C．
7．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当且时，四边形是正方形
C．当平分时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
解：A.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即该选项正确，不符合题意；
B.根据对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，即该选项正确，不符合题意；
C.根据对角线平分一组对角的的平行四边形是菱形，即该选项正确，不符合题意；
D.根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即该选项错误，符合题意．
故选：D．
8．如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：为正方形的对角线上一点，
．
四边形为矩形，
，
．
．
∴，
．
故选A．
9．如图，在菱形中，，，点E.F同时从A.C两点出发，分别沿方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为，点F的速度为．若经过t秒时，为等边三角形，则t的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
解：∵在菱形中，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由题意，，，
∴，解得，
故t的值为3．
故选：C．
10．如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
解：∵在正方形中，点为对角线的中点，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
故共有四对全等三角形，故①错误；
∵，
∴，又，
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵，
∴，
∴，
即正方形的面积等于四边形面积的倍，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
综上，结论正确的是②③④，
故选：B．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如果矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，那么该矩形的周长是________.
解：如图：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
①当时，
，
，
∴矩形的周长；
②当时
，
∴矩形的周长，
即矩形的周长是22或26．
故答案为：22或26．
12．将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．
（1） ；
（2）点的坐标是 ．
解：（1）∵，点，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴；
故答案为：；
（2）过点B作轴于点E，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为．
故答案为：．
13． 如图， 在中，， D是的中点， 则 ．
解：∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴；
故答案为：．
14．如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F.P为边上的动点，则的最小值为 .
解：∵四边形是菱形，对角线，
∴ ，
作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值，
∵
∴
即
故答案为：．
15．如图，在正方形中，点是对角线上任意一点，连接.．
（1）若，则的度数为 ；
（2）过点作交于点，若，则的度数为 ．
解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
三.解答题:（共55分）
16．（5分）如图，矩形内一点，连接，且．
求证：．
证明：∵
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，即
在 和中，
∴．
17．（8分）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
（1）证明：，
，即，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形为矩形，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，即，解得，
．
18．（8分）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接
(1)求的长；
(2)求的周长．
（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴在中，点D是斜边的中点．
∴．
（2）解：在中，．
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∴的周长．
19．（8分）在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求的长．
（1）证明：在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
由(1)知，，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，
，
∴，
∴
∴．
20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
则四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．（9分）综合实践
如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；
(3)如图1，若，，请求出的长．
（1）解：四边形是正方形，理由：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，又，
∴四边形是正方形；
（2）解：如图2，过D作于H，则，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，即；
（3）解：如图1，过D作于H，
在中，，，
∴，
由（2）知，，
∴，，
在中，，
∴．
22．（9分）如图，已知直线与两坐标轴分别交于点A.B，点在线段AB上，将一块三角板绕点P旋转，两直角边分别与x轴.y轴相交于D.E两点．
(1)________，在图1中，当轴时，的值是________；
(2)当三角板旋转至图2或图3的位置时，请猜想线段和之间的数量关系，并任选一个图形加以证明；
(3)在三角板绕点P旋转过程中，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出点D坐标所有的可能情况；若不能，请说明理由．
（1）解∶把代入，
得，∴
∵轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，，∴，
故答案为∶1，1；
（2）解：
理由：如图2，过P作轴于G，轴于H，
则四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
由（1）知，
又，
∴，
∴；
如图3，过P作轴于G，轴于H，
则四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
由（1）知，
又，
∴，
∴；
（3）解：当时，，解得，
∴，
又，
∴，
当时，D的坐标为或；
当，如图，过P作轴于H，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴D与O重合，
∴D的坐标为；
当时， 如图，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D的坐标为，
综上，D的坐标为或或或．
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