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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第二章：一元二次方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.化简后为是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．-2
解：将代入原方程得，
，
解得．
故选：A
3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
解:
．
故选：D．
4．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．
故选：D．
6．若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，
整理得，
∴，
∴
，
故选：B．
7．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
8．已知实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
解：设，则，
∴，
整理，得：．
∵存在实数a，b满足，
∴关于b的一元二次方程有解，
∴，
∴，
解得：，
∴，即的最小值为．
故选A．
9．如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪.则该矩形草坪边的长是（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．6或10
解：设草坪的长为x米，则宽为，
∵，
∴，解得：，
由题意可得：，解得：或6（不合题意舍弃），
∴该矩形草坪边的长是10．
故选C．
10．年某口罩生产厂生产的口罩月份平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月份起扩大产能，月份平均日产量达到个，则口罩日产量的月平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
解：设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得：
，
解得（舍去），，
答：口罩日产量的月平均增长率为．
故选：C．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
解：∵是一元二次方程的一个根，
把代入得，．即．
∴．
故答案为：4．
12．已知为方程的根，那么的值为
解∵为方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
13．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
解：将代入中，可得，
解得：，
故答案为：．
14．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ．
解：由题意得
，
故答案：．
15．关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
解：若，则，
∴，故①是真命题；
若该方程的两根为和1，则，
∴，
∴，故②是真命题；
若有两个相等的实数根，则，
∴的判别式：，
∵a的符号不确定，
∴方程根的情况不确定，故③是假命题；
若r是该方程的一个根，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的一个根，故④是真命题；
故答案为：①②④．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
（1）解：
解得
（2）解：
解得
17．（7分）已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根．
①时，求的周长；
②当为等边三角形时，求m的值．
解：①时，原方程为：
解方程得：
当等腰三角形的三边长为：时，
∵，
∴此种情况不成立；
∴等腰三角形的三边长为：
∴的周长
②∵为等边三角形，
∴关于x的方程有两个相等是实数根，
∴
解得：
18．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若该一元二次方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(2)若该一元二次方程有一个根为，求方程的另一个根．
（1）解：根据题意得，，
解得，；
（2）解：设是一元二次方程的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可知，，
∵，
∴．
即一元二次方程的另一个根为
19．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
（1）解：由题意可知，
；
（2）解：由（1）可知：，
此时方程为：，
，
，．
20．（8分）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）（个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．
21．（9分）某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为40元，销售价为60元时，每天可售出20盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价1元，则平均可多售出3盒．设该种粽子每盒降价元；
(1)每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示）
(2)求该种粽子每盒最多降价多少元时，平均每天可盈利500元．
(3)若店长希望平均每天能盈利800元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
（1）解：根据题意，每盒降价x元，则每天可销售盒，
每盒盈利元；
故答案为：；
（2）根据题意，得，
整理，得，
解得，（舍去）
答∶该种粽子每盒最多降价10元时，平均每天可盈利500元；
（3）不能，理由如下∶
根据题意，得，
整理，得，
∵，
∴该方程无解，
故不能使平均每天盈利800元．则个愿望不能实现．
22．（9分）已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
（1）解：正确，理由如下，
∵，
∴，
∴关于的方程一定为一元二次方程；
（2）解：当时，，
∴该方程为，
①∵该方程有实数解，
∴，
∴，
解得：；
②，整理得：，
∵和是该方程的两个实数解，
∴，，
∴代入中，得：，
整理得：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵由①得：；
∴．
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第二章：一元二次方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．-2
3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．已知实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
9．如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪.则该矩形草坪边的长是（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．6或10
10．年某口罩生产厂生产的口罩月份平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月份起扩大产能，月份平均日产量达到个，则口罩日产量的月平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
12．已知为方程的根，那么的值为
13．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ．
14．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ．
15．关于一元二次方程，有以下命题：
①若，则；
②若该方程的两根为和1，则；
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．
其中真命题是 ．（只需填写序号）
三.解答题：（共55分）
16．（6分）选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
17．（7分）已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根．
①时，求的周长；
②当为等边三角形时，求m的值．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若该一元二次方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(2)若该一元二次方程有一个根为，求方程的另一个根．
19．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
20．（8分）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
21．（9分）某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为40元，销售价为60元时，每天可售出20盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价1元，则平均可多售出3盒．设该种粽子每盒降价元；
(1)每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示）
(2)求该种粽子每盒最多降价多少元时，平均每天可盈利500元．
(3)若店长希望平均每天能盈利800元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
22．（9分）已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
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