2024-2025学年度北师版八上数学4.4一次函数的应用（第三课时）课件（28张PPT）

(共28张PPT)
第四章　一次函数
4　一次函数的应用（第三课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
两个一次函数图象的应用.
从图中我们可以得出以下信息：
（1）两直线的交点坐标为（ x0， y0）；
（2）两个一次函数，当 x ＝ x0时，函数值为 y1＝ y2＝ y0；当函数值为 y0时，自变量的值为 x1＝ x2＝ x0.
（3）当自变量的值 x ＞ x0时，函数值 y1＞ y2，即对同一自变量 x的值，图象在上面的函数值大；当自变量的值 x ＜ x0时，函数值 y1＜ y2，即对同一自变量 x 的值，图象在下面的函数值小.
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0 2
课前导入
O
x
y
观察与思考
观察下图，你能发现它们三条函数直线之间的差别吗？
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1
销售收入
引例：l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，根据图意填空：
当销售量为 2 吨时，销售收入＝　 　元，
2000
两个一次函数的应用
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1 反映了公司产品的销售收入与销售量的关系.
销售收入
l1对应的函数表达式是　　　　　，
y = 1000x
l1
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2 反映了公司产品的销售成本与销售量的关系
销售成本
　　l2对应的函数表达式是　　　　　　　　.
y = 500x + 2000
l2
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
当销售成本为 4500元 时，销售量＝　　吨；
5
销售成本
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1
l2
（1）当销售量为 6 吨时，销售收入＝　　　　元，
　　 销售成本＝　　　元， 利润＝　　　　元.
6000
5000
(2)当销售量为 时，销售收入等于销售成本.
4 吨
销售收入
销售成本
1000
销售收入和销售成本都是 4000 元.
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1
l2
(3)当销售量　　　　　时，该公司赢利(收入大于成本)；
当销售量　　　　　时，该公司亏损(收入小于成本)；
大于 4 吨
小于 4 吨
销售收入
销售成本
5
6
1
2
3
P
你还有什么发现？
7
8
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
销售成本
销售收入
l1 ：y=1000x和l2 ：y=500x+2000中的 k 和 b 的实际意义各是什么？
l2
l1
k 的实际意义是表示每销售 1 吨产品的收入或成本；
b 的实际意义是表示变化的起始值.
如 k1 表示销售 1 吨产品可收入 1000 元
b2 表示销售成本从2000 元开始逐步增加
b1表示收入从无到有
如 k2 表示销售 1 吨产品成本为 500 元
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0 3
典例讲练
某工厂生产小型装载机，由于质量好，受到客户的好评，产品一直畅销.如图， l1表示该工厂一周的装载机销售金额与销售数量的关系， l2表示该工厂一周的装载机生产成本（含装载机生产成本、维持工厂运行及销售的所有费用）与装载机销售数量
的关系.观察图象，解决以下问题：
（1）当一周销售 台时，销售金额等于生产成本；当一周销售数量大于 台时，该工厂实现盈利.
4　
4　
（1）【解析】根据图象，知当销售数量为4台时，销售金额等于生产成本.当销售数量超过4台时，工厂才能获利.故答案为4，4.
（2）若设利润为 W （万元），请写出利润 W 与销售数量 x 之间的函数关系式，并求出一周内的销售数量 x 为多少台时，利润达到5万元.
（2）解：设直线 l1的函数表达式为 y ＝ k1 x （ k ≠0）.
根据题意，得4 k1＝4，解得 k1＝1.所以直线 l1的函数表达式为 y ＝ x .
设直线 l2的函数表达式为 y ＝ k2 x ＋ b （ k ≠0）.
将（0，2），（4，4）代入，得 b ＝2，4 k2＋ b ＝4.所以 k2＝ .
所以直线 l2的函数表达式为 y ＝ x ＋2.
所以 W ＝ x － ＝ x －2.
当 W ＝5时，5＝ x －2，解得 x ＝14.
所以当一周内的销售数量 x 为14台时，利润达到5万元.
【点拨】理解交点的几何意义：两函数图象的交点表示两条直线的公共点，即点同时在两条直线上.
某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用 y （元）与每月使用的流量 x （兆）之间的函数图象如图.
方案 A 方案 B 方案 C 方案
每月基本费用/元 20 56 266
每月免费使用流量/
兆 1024 m 无限
超出后每兆收费/元 n n —
（1）结合图表解答下列问题：表中 m ＝ ， n ＝ ；
3072　
0.3　
（1）【解析】根据图象，得 m ＝3072， n ＝（56－20）÷（1144－1024）＝0.3.
故答案为3072，0.3.
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用 y （元）与每月使用的流量 x （兆）之间的函数关系式；
（2）解：在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，根据题意，
得 y ＝20＋0.3（ x －1024）＝0.3 x －287.2.
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝0.3 x －287.2（ x ≥1024）.
（3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时，根据题意，
得 y ＝56＋0.3（ x －3072）.令56＋0.3（ x －3072）＝266，解得 x ＝3772.
由图象，得当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算.
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
某快递公司每天9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快递，乙仓库用来派发快递，快递数量 y （件）与时间x （min）之间的函数图象如图所示.
（1）求甲仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的关系式.
解：（1）设甲仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的函数关系式
为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为 y ＝ kx ＋ b 过点（0，40），（60，400），
所以 b ＝40，60 k ＋ b ＝400.所以 k ＝6.
所以甲仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的
函数关系式为 y ＝6 x ＋40（0≤ x ≤60）.
（2）若乙仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的函数关系式是
y ＝－4 x ＋240（0＜ x ＜60）.问：经过多少min，两仓库的快递数量相同？都是多少件？
（2）根据题意，得6 x ＋40＝－4 x ＋240，解得 x ＝20.则 y ＝6 x ＋40＝6×20＋40＝160.
故经过20 min时，两仓库的快递数量相同，都是160件.
【点拨】在求直线 y1＝ k1 x ＋ b1与 y2＝ k2 x ＋ b2交点坐标时，可以根据图象中交点的性质得到 k1 x ＋ b1＝ k2 x ＋ b2，解一元一次方程得到结果.
某企业有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池中，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y （m）与注水时间 x （h）之间的函数图象如图所示.结合图象回答下列问题：
（1）求甲蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的关系式；
解：（1）设甲蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 的关系式为 y甲＝ kx ＋ b .
因为函数图象经过点（0，2）和（3，0），所以 b ＝2，3 k ＋ b ＝0.
所以 k ＝－ .
所以甲蓄水池中水的深度 y （m）与注水时间 x （h）之间的关系式为 y甲＝－ x ＋2（0≤ x ≤3）.
（2）由题意，知深度相同时即为函数值相同.根据题意，得－ x ＋2＝ x ＋1，解得 x ＝0.6.
故注水0.6 h，甲、乙两个蓄水池中水的深度相同.
（2）乙蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数表达式为 y乙＝ x ＋1，求注水多长时间，甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；
（3）设甲、乙两个水池底面积之比为3∶2，求注水多长时间，甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
（3）根据题意，得3 y甲＝2 y乙.即3× ＝2×（ x ＋1），解得 x ＝1.
故注水1 h，甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
小刚与小慧两人相约登山，两人距地面的高度 y （m）与登山时间 x （min）之间的函数图象如图所示.根据信息解答下列问题：
（1）小刚登山上升的速度是 m/min，小慧在A地距地面的高度为 m；
10　
30　
（1）【解析】小刚登山上升的速度为（300－100）÷20＝10（m/min），A地距地面的高度为15÷1×2＝30（m）.
故答案为10，30.
（2）若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3倍，求小慧登山全程中，距地面的高度 y （m）与登山时间 x （min）之间的函数关系式；
（2）解：当0≤ x ＜2时，可得 y ＝15 x ；当 x ≥2时， y ＝30＋10×3（ x －2）＝30 x －30.
令30 x －30＝300，解得 x ＝11.所以小慧登山全程中，距地面的高度 y 与登山时间 x 之间的函数关系式为 y ＝
（3）登山多长时间后，两人距地面的高度差为70 m？
（3）解：设小刚登山全程中,距地面的高度 y 与登山时间 x 之间的函数关系式为y＝kx＋b （ k ≠0）.
把（0，100）和（20，300）代入，得 b ＝100，20 k ＋ b ＝300.所以 k ＝10.
所以小刚登山全程中,距地面的高度 y 与登山时间 x 之间的函数关系式为y＝10 x＋100（0≤ x ≤20）.
当10 x ＋100－（30 x －30）＝70时，解得 x ＝3；
当30 x －30－（10 x ＋100）＝70时，解得 x ＝10；
当300－（10 x ＋100）＝70时，解得 x ＝13.
综上所述，登山3 min，10 min或13 min时，小刚、小慧两人距地面的高度差为70 m.
【点拨】当题目中涉及到高度差、距离差、路程差时，常常要考虑是否要分类讨论.
小聪和小丽去某风景区游览，约好在观景点见面.小聪步行先从景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速度前行，此时小丽乘观光车从景区入口处出发，他们沿相同路线先后到达观景点.如图， l1， l2分别表示小聪与小丽离景区入口的路程 y（km）与时间 x （min）之间的关系.根据图象解决下列问题：
（1）小聪步行的速度是 km/min，
中途休息 min.
0.1　
3　
（1）【解析】由图象,得小聪步行的速度为1÷10＝0.1（km/min），中途休息13－10＝3（min）.故答案为0.1，3.
（2）解：小聪到第18 min步行的路程为1＋（18－13）×0.1＝1.5（km），则第18 min时，小聪和小丽相遇，此时他们行的路程为1.5 km.
设小丽离景区入口的路程 y （km）关于时间 x （min）的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为点（13，0），（18，1.5）在该函数图象上，所以13 k ＋ b ＝0，18 k ＋ b ＝1.5.
所以 k ＝0.3， b ＝－3.9.
即小丽离景区入口的路程 y （km）与时间 x （min）的函数表达式为 y ＝0.3 x －3.9.
（2）求小丽离景区入口的路程 y （km）与时间 x （min）的函数表达式.
（3）解：小丽比小聪早10 min到达观景点.理由如下：
当 y ＝3时，3＝0.3 x －3.9，解得 x ＝23.
小聪到达景点用的总的时间为13＋（3－1）÷0.1＝33（min）.
因为33－23＝10（min），
所以小丽比小聪早10 min到达观景点.
（3）小丽比小聪早几分钟到达观景点？请说明理由.
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