2024年湖南省永州市冷水滩区李达中学中考数学模拟试卷（含答案）

2024年湖南省永州市冷水滩区李达中学中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2.年月日春运首日，我国铁路发送旅客万人次，其中万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 购买一张彩票中奖 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过不同的两点，能作出两条不同的直线 D. 将实心铁球放在水中，铁球下沉
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8.已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点下列说法正确的是( )
A. 反比例函数的解析式为
B. 随值的增大而增大
C. 当或时，
D. 在轴上不存在点，使∽
9.如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D. 的面积为
10.如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如，，，，都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”如：，，，所以，，，都是亚平方数下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是( )
A. 任何一个平方数一定是亚平方数
B. 一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数
C. 两个亚平方数的积一定是一个亚平方数
D. 两个亚平方数的和一定是一个亚平方数
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.的平方根是______．
12.代数式有意义时，应满足的条件是______．
13.分解因式： ______．
14.甲、乙两人进行排球垫球比赛，每人各垫球次，甲的成绩单位：个为：、、、、甲、乙两人的平均成绩相等，乙成绩的方差为，则甲、乙两人中成绩较为稳定的是______填“甲”或“乙”
15.如图，矩形中，为的中点对角线的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的面积是______．
16.孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，那么木头长______尺
17.如图，二次函数的图象与轴交于点、，其中下列四个结论：，，，其中正确结论的序号是______将所有正确结论的序号都填上．
18.如图分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点、分别从点、开始以相同的速度在上逆时针运动，连接、交于点在图中，的度数分别为、、，则在图中 ______用含的代数式表示
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
解不等式组并将解集表示在数轴上．
21.本小题分
某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间单位：，随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受调查的初中学生人数为______，图中的值为______；
求接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数、众数和中位数；
若接受调查的学生中，每天在校体育活动时间小于的人中，有男、女学生各人现从这人中随机选取人，求选取的人中，恰好是一男一女的概率．
22.本小题分
湘沙中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供学生使用若购买副围棋和副中国象棋需要元，购买副围棋和副中国象棋需要元．
求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
湘沙中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么湘沙中学最多可以购买多少副围棋？
23.本小题分
五轮塔位于长沙市岳麓山区，是北伐阵亡将士纪念塔如图，小涵的身高为米他站在处测得塔顶的仰角小颖的身高为米，她站在距离塔底中心点米远的处测得塔顶的仰角点、、在同一水平线上，参考数据，，．
求小涵与塔底中心的距离用含的式子表示．
若小涵与小颖相距米，求五轮塔的高度精确到米．
24.本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：是的切线．
若，，求的面积．
25.本小题分
在中，，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别为、．
若点恰好落在边上，如图，连接，求的大小．
若，为的中点，如图，连接，，，求证：四边形是平行四边形．
若，如图，连接、，且与、分别交于点、，求证：．
26.本小题分
如图，已知抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点．
求抛物线的表达式．
若点在直线的下方运动时，过点作交于点，过点作轴的平行线交直线于点求周长的最大值及此时点的坐标．
在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.乙
15.
16.
17.
18.
19.解：
，
当时，原式．
20.解：由得，
由得，
解集为．
解集表示在数轴上如下：

21.人；．
接受调查的学生每天在校体育活动时间的平均数为．
由题意可知，接受调查的学生每天在校体育活动时间的众数为．
将接受调查的名学生每天在校体育活动时间按照从小到大的顺序排列，排在第和名的时间为，，
接受调查的学生每天在校体育活动时间的中位数为．
列表如下：
男 男 女 女
男 男，男 男，女 男，女
男 男，男 男，女 男，女
女 女，男 女，男 女，女
女 女，男 女，男 女，女
共有种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有种，
恰好是一男一女的概率为．
22.解：设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
解得：．
答：每副围棋元，每副中国象棋元；
设湘沙中学可以购买副围棋，则购买副中国象棋，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购买副围棋．
23.解：由题意得，四边形、为矩形，
，，
，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，
答：小涵与塔底中心的距离为米；
由题意得，，
解得，，
则，
，
答：五轮塔的高度为米．
24.证明：如图，连接、，
为的直径，
，
是直角三角形，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，
，
，
的面积
25.解：将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别为、，
，，，
，
；
证明：为的中点，在中，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，
，
，，
是等边三角形，
，
由旋转可知，，
，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：由旋转可知，，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
过点作交于点，连接，，如图，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
是的中点，
，
．
26.解：抛物线过、两点，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
令，得，
解得：，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为：．
设点，则，
，
如图，过点作轴于，则，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，轴，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设的周长为，
则，
当时，周长最大，最大值为：，此时点为；
存在．连接，
，
抛物线的顶点为，
，，，
，
，
当点在直线下方时，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的表达式为：，
由，
解得：舍去，，
此时点
当点在直线上方时，如图，
，
．
设直线的解析式为，把点、的坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，把点的坐标代入得：，
解得，
直线的表达式为，
联立得，
解得舍去或，
此时点．
综上，存在点，使得点的坐标为或．
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