4.1.1 实数指数幂及其运算 课件（共56张PPT）- 高一数学人教B版（2019）必修第二册

(共55张PPT)
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
人教B版（2019）
课标要点 核心素养
1.理解有理数指数幂的含义 数学抽象
2.了解实数指数幂的意义 逻辑推理
3.掌握幂的运算 数学运算
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013 年为 221.59 亿元，2014 年、2015 年、2016 年的年增长率分别为 16.84%，14.06%，14.26%．
你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以 2013 年的经费支出为基础，预测 2017 年及以后各年的经费支出吗？
情境与问题
1
一般地，an 中 a 称为底数，n 称为指数.
整数指数幂运算的运算法则有：
aman＝am＋n，
(am)n＝amn，
(ab)m＝ambm.
初中我们还学方根和立方根：
（1）如果 x2＝a，则称 x 为 a 的平方根（或二次方根）: 当a＞0时，a有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根记为，负的平方根记为；当 a＝0 时，a 只有一个平方根，记为；当 a＜0 时，a 在实数范围内没有平方根.
例如，________.
3
（2）如果 x3＝a，则 x 称为 a 的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数 a 有且只有一个立方根，记作．
例如，＝______
2
类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义？
尝试与发现
n次方根
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根．
例如，因为方程 x4＝81 的实数解为 3 与－3，因此 3 与－3都是 81 的 4 次方根；因为 25＝32，而且 x5＝32只有一个实数解，所以 32 的 5 次方根为 2 .
根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：
（1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为．
（2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根，记为，负的方根记为 ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a＜0 且 n 为偶数时，在实数范围内没有意义．
（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
根式
当 有意义的时候， 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．
注意，虽然我们不知道 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
一般地，根式具有以下性质：
（1） .
（2）当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，.
尝试与发现
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂).一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有运算法则：
利用例 1 的结论，可以证明：
（1）如果 a>b>0， s 是正有理数， 那么 as>bs；
（2）如果 a>1， s 是正有理数， 那么 as>1， a-s<1；
（3）如果 a>1， s>t>0， 且 s 与 t 均为有理数， 那么 as>at.
有理指数幂还可以推广到无理指数幂，下面我们通过一个例子来描述其中的思想.
应该怎样理解这个数呢？
根据前面的知识，猜测 与 的相对大小，以及 与 的相对大小.
尝试与发现
不难猜出， ＜＜.
一般地，当 a>0 且 t 是无理数时，at 都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值．因此，当 a>0 ，t 为任意实数时，可以认为实数指数幂 at 都有意义．
可以证明，对任意实数 s 和 t ，类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立.
用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．
在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“^”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值．
如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果．
练习提升
C
B
C
B
C
C
B
BCD
BD
14
0
8
课堂小结：
本节课学习了哪些知识点呢？
1.有理数指数幂
2.根式
3.实数指数幂
谢谢观看