11.3.2多边形的内角和 教学设计 （表格式） 人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 11.3.2多边形的内角和 教学设计 （表格式） 人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 422.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-13 06:32:01 | ||
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文档简介
课题 11.3.2多边形的内角和
教材 人教版义务教育教科书八年级上册数学第十一章第三节第二课时
课型 新授课 课时安排 第二课时
一、教材分析
简述教材内容：《多边形的内角和》是人教版义务教育教科书八年级上册数学第十一章第三节第二课时的内容。本课时内容包括将四边形转化为三角形进行求证内角和的探究过程和其它一般多边形的内角和公式的探究，展示了从特殊到一般的研究思路和类比探究的研究方法。 从知识结构分析：在此之前，学生已经掌握三角形概念及三角形内角和等知识，多边形是三角形的推广与延伸，三角形是最简单的多边形，是研究多边形的基础，其研究方法成为研究多边形的宝贵经验；在本节第一课时学生也理清了多边形及其内角、对角线的概念，这些都是学生学习多边形内角和的基础。多边形内角和定理是三角形内角和定理的应用、推广和深化，也为后续探究平行四边形、梯形、正多边形与圆的关系等内容提供了方法和条件。 从方法论的角度分析：运用类比探究三角形内角和的思想，首先由已有经验获得四边形内角和猜想，之后引导从内角和入手，通过做辅助线将多边形内角进行分割处理，从而将多边形问题转化为三角形问题证明猜想得到结论，渗透转化化归的思想方法；运用类比推理的思想方法，进一步探究得到n边形的内角和公式，感受从特殊到一般的研究问题的方法；最后引导学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，进一步培养学生的空间观念、运算能力、推理能力、归纳能力、几何直观和符号意识。 从课程标准分析：《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对本节课的要求是：探索并掌握多边形的内角和公式。
二、学情分析
1.认知基础 （1）学生的知识储备：已学习多边形及其内角、对角线概念；已学习三角形的内角和定理；明白类比的思想方法，会运用其解决问题。 （2）学生的学习特点：八年级学生活泼好动，好奇心和求知欲都非常强，具备一定的观察、分析、推理能力，而对于复杂的抽象归纳仍需引导；接触了一定数量的数学思想方法，熟悉常用的思想方法，具有一定的逻辑推理能力。
2.认知困难 （1）想到将多边形转化为三角形求内角和的思路； （2）多边形内角和与边数之间的关系； （3）确定多边形的内角和与转化后的三角形内角和的关系；
三、教学目标
1.知识与技能 （1）理解多边形的内角和公式，能运用其解决问题。 （2）明白内角和的一般探究思路：试验得猜想后证明得结论。 （3）能自主分析图形元素的数量关系，进行归纳总结。
2.过程与方法 经历独立和合作探索多边形内角和的过程，感受由特殊到一般的研究问题的方法，感悟数形结合、转化化归、类比推理的数学思想，发展观察、分析、归纳和创新能力。
3.情感态度与价值观 （1）感受平面多边形的研究规律，体会通过推理证明印证猜想得出结论的数学的科学性和严谨性。 （2）在探索知识的过程中发现、体会数学公式的包容性和“简洁美”。 （3）感受解决问题的方法的多样性，体会创新思维的重要性，培养独立思考、反思质疑的学习习惯。
四、教学重点、难点
重点 通过对角线分割的转化方式探究得到多边形的内角和公式。
难点 （1）将多边形分割成三角形来解决问题的“转化”思路； （2）从特定多边形到一般n边形的内角和的归纳。
五、教学用具
黑板，多媒体，PPT，小蜜蜂、直尺、板书卡。
六、教学流程
七、教学过程
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
(一) 温 故 迎 新 铺 设 台 阶 【问题1】多边形的内角的定义？ 预设回答：相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角。 【问题2】多边形的对角线的定义？ 预设回答：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 【问题3】三角形内角和定理？如何获得的？ 预设回答：三角形的内角和等于180°。由试验得到猜想，经过推理证明得到结论。 【问题4】除了三角形的内角和，你还知道哪些图形的内角和 预设回答：正方形、长方形的内角和为360°。 预设有学生回答四边形的内角和都为360°，由于并未学习该命题的证明，从而引出问题情境。 教师以问答形式引导学生复习旧知。 学生回忆、思考并回答。部分被指名学生回答。 通过复习旧知开启课堂，第一，可以引起学生注意，调动学生学习的积极性，使学生快速进入课堂；第二， 明确概念是本节课的重点，且这些知识点与新知内容息息相关，有助于学生探究新知，为转化做好铺垫；第三，引出问题情境，打开本节课题。
(二) 激 学 导 思 探 究 学 习 问题情境 利用转化的思想证明四边形内角和定理 任意四边形的内角和是否为360°？ 猜想：四边形的内角和是360°. 【问题1】所求四边形的内角和指的是哪几个角的和？不用测量等试验方法，你能够直接求出它们的和吗？ 预设回答：∠A、∠B、∠C和∠D。无法直接进行求和。 【追问1】那能间接求和吗？我们学过将未知问题转化为已知问题进行解决的思想方法叫什么？ 预设回答：只能间接求和。转化思想。 【追问2】我们已经知道什么图形的内角和？ 预设回答：三角形的内角和为180°. 【追问3】观察360°，与180°是什么数量关系？你想到了什么？ 预设回答：两倍关系。作辅助线，将四边形转化为两个三角形，再进行求和。 【问题2】作出辅助线后，原四边形的各个内角发生了什么变化？分割后得到的这些三角形的内角和与原四边形的内角和是什么关系？ 预设回答：有的内角被分割成了两个角，各自成为所在三角形的内角。分割后得到的这些三角形的内角和与原四边形的内角和恰好相等。 【问题3】现在请你尝试写出证明过程。 【问题4】请你总结四边形内角和定理的证明思路，哪两步是关键？涉及到什么数学思想方法？（注意内角是发生了什么变化后才得以被求出） 【小结】 证明四边形的内角和定理的思路： 作辅助线（此处为对角线）分割部分内角，将四边形内角和问题转化为三角形内角和问题，通过分析四边形与分割后得到的三角形的内角和间的关系，求出四边形的内角和。 （两个关键：转化的关键：作辅助线；正确求出四边形内角和的关键：分析四边形与分割后得到的三角形的内角和间的关系。） 探究 利用类比的思想推导多边形的内角和 小组讨论1 通过画对角线，可以将四边形转化为三角形求内角和的思想给你什么启发？你能否类比推出五边形、六边形更或n边形的内角和？ 学生汇报后师生共同总结： 从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的内角和就是n边形的内角和。所以，n边形的内角和等于（n-2）×180°． 【小结】 n边形的内角和公式：（n-2）×180° 小组讨论2 将边数大于三的多边形转化为三角形，除了连接对角线的方式外，你还有其他分割的方法吗？以五边形为例，请你们小组对分割的方法进行探究并算出内角和。 预设1： 预设2： 预设3： 【小结】 将边数大于3的多边形转化为三角形求内角和的方式有多种，无论用哪种方式，都能得到n边形的内角和公式为：（n-2）×180°. 教师提问。配合学生的回答作ppt演示或板演。 教师提问。 教师提问。引导学生分析总结。 教师巡堂，适当参与讨论并给予引导。之后与生共同总结。 学生思考并回答，被指名学生回答。 被指名学生回答，其他学生认真听、看。 学生回顾证明过程，与师共同总结。 学生开启四人小组讨论模式。之后被指名小组汇报成功。 引导学生类比三角形内角和定理从猜想到证明的探究模式，也对四边形内角和定理进行严格证明。 剖析问题，一步步引导学生探寻出解决问题的“转化”思路，经历解决一个陌生问题的全过程，发展发现、分析和解决问题的能力。
(三)学 以 致 用 巩 固 新 知 练习1 算一算：十边形的内角和等于多少度 解：由n边形的内角和公式：（n-2）×180°得： （10–2 ）× 180°=1440° 所以十边形的内角和等于1440度。 练习2 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和( A ) A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变线 分析：n边形的内角和：（n-2）×180° n+1边形的内角和：（n+1-2）×180°=（n-1）×180° 二者相差1个180° 练习3 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，四边形ABCD 中， ∠A +∠C =180°． ∵ ∠A +∠B +∠C +∠D =（4-2）×180° =360°， ∴ ∠B +∠D =360°-（∠A + ∠C） =360°-180° =180°． 推论：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 练习4 2022年冬奥会上，曾经的水立方将作为冰立方组成奥运场馆之一。水立方的外表由多个多边形构造而成。 如果水立方上的多边形内角和设计成2022°，那多有意义啊。 （1）真的存在这样的多边形吗？ （2）如果存在会是几边形呢？ 解：假设存在，设该多边形边数为n，则 令（n-2）×180°=2022° 解得n= 由于n为整数，故不存在这样的多边形。 教师通过多媒体呈现题目，适当分析题目引导学生往正确的方向思考作答。 学生通过头脑回忆、打草稿等方式认真思考作答。 通过分层练习，使学生从正、逆方向体会知识点的灵活应用。
(五)归 纳 小 结 优 化 认 知 课堂小结 【问题1】本节课学习了哪些新的知识？我们是如何进行探究的？ 【问题2】结合知识谈谈本节课涉及了哪几种数学思想方法？ 【总结】 1.n边形的内角和公式：（n-2）×180° 2.思想方法： 转化：将n(n>3)边形转化为三角形求内角和。 类比：类比画对角线将四边形转化为三角形求内角和的方式推导其它多边形的内角和。 教师提问。之后通过板书内容引导学生共同总结本节课的学习内容，理清探究思路。 学生回忆并回答，整体巩固本节课内容。 通过具体的问题，引导学生 从整体到局部把握新知，对本节课进行概括提升，形成“结构化的总结”。
(六) 课 后 作 业 深 化 提 高 课后练习 【多媒体练习】如图，一个四边形截去一个角后，所得到的图形的内角和是多少呢？算出所有可能的结果。（必做） 【巩固性作业】课本P24 第2、5题。（必做） 【拓展性作业】一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的四分之一，求这个多边形的边数及内角和。（选做） 【研究性作业】结合这两节课学习中涉及的类比探究思想，搜集材料及示例，谈谈你的看法．（小组合作） 教师布置作业。 学生在课本记下作业。 通过课后练习加强对知识点的巩固；反思方法梳理消化，尝试举一反三，灵活运用。
八、板书设计
教材 人教版义务教育教科书八年级上册数学第十一章第三节第二课时
课型 新授课 课时安排 第二课时
一、教材分析
简述教材内容：《多边形的内角和》是人教版义务教育教科书八年级上册数学第十一章第三节第二课时的内容。本课时内容包括将四边形转化为三角形进行求证内角和的探究过程和其它一般多边形的内角和公式的探究，展示了从特殊到一般的研究思路和类比探究的研究方法。 从知识结构分析：在此之前，学生已经掌握三角形概念及三角形内角和等知识，多边形是三角形的推广与延伸，三角形是最简单的多边形，是研究多边形的基础，其研究方法成为研究多边形的宝贵经验；在本节第一课时学生也理清了多边形及其内角、对角线的概念，这些都是学生学习多边形内角和的基础。多边形内角和定理是三角形内角和定理的应用、推广和深化，也为后续探究平行四边形、梯形、正多边形与圆的关系等内容提供了方法和条件。 从方法论的角度分析：运用类比探究三角形内角和的思想，首先由已有经验获得四边形内角和猜想，之后引导从内角和入手，通过做辅助线将多边形内角进行分割处理，从而将多边形问题转化为三角形问题证明猜想得到结论，渗透转化化归的思想方法；运用类比推理的思想方法，进一步探究得到n边形的内角和公式，感受从特殊到一般的研究问题的方法；最后引导学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，进一步培养学生的空间观念、运算能力、推理能力、归纳能力、几何直观和符号意识。 从课程标准分析：《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对本节课的要求是：探索并掌握多边形的内角和公式。
二、学情分析
1.认知基础 （1）学生的知识储备：已学习多边形及其内角、对角线概念；已学习三角形的内角和定理；明白类比的思想方法，会运用其解决问题。 （2）学生的学习特点：八年级学生活泼好动，好奇心和求知欲都非常强，具备一定的观察、分析、推理能力，而对于复杂的抽象归纳仍需引导；接触了一定数量的数学思想方法，熟悉常用的思想方法，具有一定的逻辑推理能力。
2.认知困难 （1）想到将多边形转化为三角形求内角和的思路； （2）多边形内角和与边数之间的关系； （3）确定多边形的内角和与转化后的三角形内角和的关系；
三、教学目标
1.知识与技能 （1）理解多边形的内角和公式，能运用其解决问题。 （2）明白内角和的一般探究思路：试验得猜想后证明得结论。 （3）能自主分析图形元素的数量关系，进行归纳总结。
2.过程与方法 经历独立和合作探索多边形内角和的过程，感受由特殊到一般的研究问题的方法，感悟数形结合、转化化归、类比推理的数学思想，发展观察、分析、归纳和创新能力。
3.情感态度与价值观 （1）感受平面多边形的研究规律，体会通过推理证明印证猜想得出结论的数学的科学性和严谨性。 （2）在探索知识的过程中发现、体会数学公式的包容性和“简洁美”。 （3）感受解决问题的方法的多样性，体会创新思维的重要性，培养独立思考、反思质疑的学习习惯。
四、教学重点、难点
重点 通过对角线分割的转化方式探究得到多边形的内角和公式。
难点 （1）将多边形分割成三角形来解决问题的“转化”思路； （2）从特定多边形到一般n边形的内角和的归纳。
五、教学用具
黑板，多媒体，PPT，小蜜蜂、直尺、板书卡。
六、教学流程
七、教学过程
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
(一) 温 故 迎 新 铺 设 台 阶 【问题1】多边形的内角的定义？ 预设回答：相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角。 【问题2】多边形的对角线的定义？ 预设回答：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 【问题3】三角形内角和定理？如何获得的？ 预设回答：三角形的内角和等于180°。由试验得到猜想，经过推理证明得到结论。 【问题4】除了三角形的内角和，你还知道哪些图形的内角和 预设回答：正方形、长方形的内角和为360°。 预设有学生回答四边形的内角和都为360°，由于并未学习该命题的证明，从而引出问题情境。 教师以问答形式引导学生复习旧知。 学生回忆、思考并回答。部分被指名学生回答。 通过复习旧知开启课堂，第一，可以引起学生注意，调动学生学习的积极性，使学生快速进入课堂；第二， 明确概念是本节课的重点，且这些知识点与新知内容息息相关，有助于学生探究新知，为转化做好铺垫；第三，引出问题情境，打开本节课题。
(二) 激 学 导 思 探 究 学 习 问题情境 利用转化的思想证明四边形内角和定理 任意四边形的内角和是否为360°？ 猜想：四边形的内角和是360°. 【问题1】所求四边形的内角和指的是哪几个角的和？不用测量等试验方法，你能够直接求出它们的和吗？ 预设回答：∠A、∠B、∠C和∠D。无法直接进行求和。 【追问1】那能间接求和吗？我们学过将未知问题转化为已知问题进行解决的思想方法叫什么？ 预设回答：只能间接求和。转化思想。 【追问2】我们已经知道什么图形的内角和？ 预设回答：三角形的内角和为180°. 【追问3】观察360°，与180°是什么数量关系？你想到了什么？ 预设回答：两倍关系。作辅助线，将四边形转化为两个三角形，再进行求和。 【问题2】作出辅助线后，原四边形的各个内角发生了什么变化？分割后得到的这些三角形的内角和与原四边形的内角和是什么关系？ 预设回答：有的内角被分割成了两个角，各自成为所在三角形的内角。分割后得到的这些三角形的内角和与原四边形的内角和恰好相等。 【问题3】现在请你尝试写出证明过程。 【问题4】请你总结四边形内角和定理的证明思路，哪两步是关键？涉及到什么数学思想方法？（注意内角是发生了什么变化后才得以被求出） 【小结】 证明四边形的内角和定理的思路： 作辅助线（此处为对角线）分割部分内角，将四边形内角和问题转化为三角形内角和问题，通过分析四边形与分割后得到的三角形的内角和间的关系，求出四边形的内角和。 （两个关键：转化的关键：作辅助线；正确求出四边形内角和的关键：分析四边形与分割后得到的三角形的内角和间的关系。） 探究 利用类比的思想推导多边形的内角和 小组讨论1 通过画对角线，可以将四边形转化为三角形求内角和的思想给你什么启发？你能否类比推出五边形、六边形更或n边形的内角和？ 学生汇报后师生共同总结： 从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的内角和就是n边形的内角和。所以，n边形的内角和等于（n-2）×180°． 【小结】 n边形的内角和公式：（n-2）×180° 小组讨论2 将边数大于三的多边形转化为三角形，除了连接对角线的方式外，你还有其他分割的方法吗？以五边形为例，请你们小组对分割的方法进行探究并算出内角和。 预设1： 预设2： 预设3： 【小结】 将边数大于3的多边形转化为三角形求内角和的方式有多种，无论用哪种方式，都能得到n边形的内角和公式为：（n-2）×180°. 教师提问。配合学生的回答作ppt演示或板演。 教师提问。 教师提问。引导学生分析总结。 教师巡堂，适当参与讨论并给予引导。之后与生共同总结。 学生思考并回答，被指名学生回答。 被指名学生回答，其他学生认真听、看。 学生回顾证明过程，与师共同总结。 学生开启四人小组讨论模式。之后被指名小组汇报成功。 引导学生类比三角形内角和定理从猜想到证明的探究模式，也对四边形内角和定理进行严格证明。 剖析问题，一步步引导学生探寻出解决问题的“转化”思路，经历解决一个陌生问题的全过程，发展发现、分析和解决问题的能力。
(三)学 以 致 用 巩 固 新 知 练习1 算一算：十边形的内角和等于多少度 解：由n边形的内角和公式：（n-2）×180°得： （10–2 ）× 180°=1440° 所以十边形的内角和等于1440度。 练习2 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和( A ) A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变线 分析：n边形的内角和：（n-2）×180° n+1边形的内角和：（n+1-2）×180°=（n-1）×180° 二者相差1个180° 练习3 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，四边形ABCD 中， ∠A +∠C =180°． ∵ ∠A +∠B +∠C +∠D =（4-2）×180° =360°， ∴ ∠B +∠D =360°-（∠A + ∠C） =360°-180° =180°． 推论：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 练习4 2022年冬奥会上，曾经的水立方将作为冰立方组成奥运场馆之一。水立方的外表由多个多边形构造而成。 如果水立方上的多边形内角和设计成2022°，那多有意义啊。 （1）真的存在这样的多边形吗？ （2）如果存在会是几边形呢？ 解：假设存在，设该多边形边数为n，则 令（n-2）×180°=2022° 解得n= 由于n为整数，故不存在这样的多边形。 教师通过多媒体呈现题目，适当分析题目引导学生往正确的方向思考作答。 学生通过头脑回忆、打草稿等方式认真思考作答。 通过分层练习，使学生从正、逆方向体会知识点的灵活应用。
(五)归 纳 小 结 优 化 认 知 课堂小结 【问题1】本节课学习了哪些新的知识？我们是如何进行探究的？ 【问题2】结合知识谈谈本节课涉及了哪几种数学思想方法？ 【总结】 1.n边形的内角和公式：（n-2）×180° 2.思想方法： 转化：将n(n>3)边形转化为三角形求内角和。 类比：类比画对角线将四边形转化为三角形求内角和的方式推导其它多边形的内角和。 教师提问。之后通过板书内容引导学生共同总结本节课的学习内容，理清探究思路。 学生回忆并回答，整体巩固本节课内容。 通过具体的问题，引导学生 从整体到局部把握新知，对本节课进行概括提升，形成“结构化的总结”。
(六) 课 后 作 业 深 化 提 高 课后练习 【多媒体练习】如图，一个四边形截去一个角后，所得到的图形的内角和是多少呢？算出所有可能的结果。（必做） 【巩固性作业】课本P24 第2、5题。（必做） 【拓展性作业】一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的四分之一，求这个多边形的边数及内角和。（选做） 【研究性作业】结合这两节课学习中涉及的类比探究思想，搜集材料及示例，谈谈你的看法．（小组合作） 教师布置作业。 学生在课本记下作业。 通过课后练习加强对知识点的巩固；反思方法梳理消化，尝试举一反三，灵活运用。
八、板书设计