2023-2024学年广东省东莞市高二下学期期末教学质量检查数学试题（含解析）

2023-2024学年广东省东莞市高二下学期期末教学质量检查
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则的导函数为
A. B.
C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.两个相关变量，满足如下关系：
根据表格已得经验回归方程为若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是
A. B. C. D.
4.在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图象的是( )
A. B. C. D.
5.某中学推出了篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球共门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余门球类课程名额充足．现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的门课程，四位同学选完后，恰好选择了门不同球类课程，则不同的选课情况总共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.袋中有个白球，个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记为取出球的总数，则的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中出现，比欧洲发现早年左右．现从杨辉三角第行随机取一个数，该数大于的概率为
A. B. C. D.
8.已知实数，，满足且，若，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.变量与的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定第二个点为离群点对应残差过大，把点对应的数据去掉后，用剩下的组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为，则以下结论正确的是
A. B. C. D.
10.已知函数在处取到极大值，则以下结论正确的是
A. B. C. D.
11.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中的系数是，则实数_________．
13.若甲筐中有个苹果，个梨子，个橙子，乙筐中有个苹果、个梨子、个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件，若，则整数的最小值为_________．
14.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程是．
求实数的值；
若，求证：．
16.本小题分
某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查．调查数据如下：共份有效问卷，名男性中有名不经常体育锻炼，名女性中有名不经常体育锻炼．
根据所给数据，完成下面的列联表；根据小概率值的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男
女
合计
从不经常体育锻炼的份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有份身体原因；有份不想锻炼；有份没有时间；有份没有运动伙伴．求从这份问卷中随机选出份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率．
附：，其中．
临界值表
17.本小题分
某企业生产一种热销产品，产品日产量为吨，日销售额为万元每日生产的产品当日可销售完毕，且产品价格随着产量变化而有所变化．经过一段时间的产销，随机收集了某天的日产量，，，单位：吨和日销售额，，，单位：万元的统计数据，并对这组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
其中， ，，，，，，分别为数据，，，，，的平均数．
请从样本相关系数的角度，判断与哪一个模型更适合刻画日销售额关于日产量的关系？
根据的结果解决下列问题：
(ⅰ)建立关于的经验回归方程斜率的结果四舍五入保留整数；
(ⅱ)如果日产量单位：吨与日生产总成本单位：万元满足关系，根据(ⅰ)中建立的经验回归方程估计日产量为何值时，日利润最大？
附：相关系数；
经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，；
参考数据：，，．
18.本小题分
已知函数 ．
若，讨论函数的单调性；
若，求证：．
19.本小题分
设集合，，且，记集合中的最小元素和最大元素分别为随机变量，．
若的概率为，求；
若，求且的概率；
记随机变量，证明：．
答案解析
1.
【解析】解：。
2.
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，
所以该正态曲线关于直线对称，
则．
又 ，
所以 ， ，
所以 ．
3.
【解析】解：因为，
所以．
设模糊不清的数据为，
则，
解得．
故选B．
4.
【解析】解：在区间上，若，
则函数的图像在区间上的切线的斜率均大于，
观察选项可知只有符合，
故选D．
5.
【解析】解：当四位同学没人选羽毛球时，需人一组，跟其余两人共三组分到其余类中，
共有种方法；
当四位同学恰有人选羽毛球时，需从人中选取人，选羽毛球，
其余人再选人一组，跟剩余人共组分到其余类中，
共有种方法；
故总的方法种数位．
故选D．
6.
【解析】
解： 分两种情况，第次取出黑球，共有种情况；
第次取出白球，共有种情况；
．
故选：．
7.
【解析】解：由题，第行的系数为，且第行共有项，
因为，
所以第行中第至第项的数大于，共项，
故第行随机取一个数，该数大于的概率为．
故选D．
8.
【解析】解：因为且，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
综上：．
9.
【解析】解：因为共个点，离群点的横坐标较小，而纵坐标相对过大，
去掉离群点后回归方程的斜率更大，而截距变小，故D错误，C正确；
去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，
，故B错误，A正确．
故选AC．
10.
【解析】解：根据题意可得，
，A正确；
，， B正确；
因为处取到极大值，
所以当时，，解得，
当时，，解得，
故C正确．
11.
【解析】解：由可知 ，
由可得 ，
由 可得，故A正确；
由 可知， ，故B错误；
由条件概率公式可得 ，故C正确；
又可得 ，同理 ，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：的展开式的通项为，
令，求得，
故展开式中的系数为，
则实数．
13.
【解析】解：设 “从甲筐中取出的是苹果”，
“从甲筐中取出的是梨子”，
“从甲筐中取出的是橙子”，故
，
，
根据全概率公式可得
，解得 ，所以 的最小值为 ．
故答案为：
14.
【解析】解：设函数与曲线的切点为，与曲线的切点为，
的导数，，且，故，
的导数，，且，故，
因为，所以，即．
得，，所以．
所以，解得，
所以．
故答案为：．
15.解：求导得，则，
由切线方程是得切线斜率为，
所以，解得；
记，
求导得恒成立，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
因为，所以．
【解析】求导得，则切线斜率为，结合点即可求解；
记，利用导数判断其单调性，即可得证．
16.解：由题意得列联表如下：
性别 经常体育锻炼与否 合计
经常体育锻炼 不经常体育锻炼
男
女
合计
零假设为性别与经常体育锻炼无关，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即不能认为性别因素会影响经常体育锻炼．
记“选出份问卷其中一份是没有时间，”为事件，
则，
记“选出份问卷其中一份是没有运动伙伴””为事件，
则事件为“选出份问卷其中一份是没有时间，一份是没有运动伙伴”，
则，
所以．
【解析】
由题意得列联表，求出，根据小概率值，即可判断；
由古典概型和条件概率直接求解即可．
17.解：模型的线性相关系数：
，
模型的线性相关系数：
，
所以，由相关系数的相关性质得，模型更适合刻画日销售额为关于日产量的关系．
因为，
又因为，，
所以，
所以关于的经验回归方程为．
由题意得，，
所以，，所以，
令，得，
当时，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以估计日产量为吨时，日利润最大．
【解析】
分别求出两个模型的相关系数，比较其大小，结合相关系数的相关性质可得结论；
由最小二乘法可求得，代入，可求得，进而可求关于的经验回归方程；
根据题意列出的表达式，利用导数确定单调性，进而可求其最大值．
18.解：由题得，，
求导得，
当，即时，恒成立，
所以在上单调递增
当，即或时，
当时，恒成立，所以在上单调递增
当时，由得，，
经判断得，当时，或当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减
综上所述，时，在上单调递增
时，在，上单调递增，在上单调递减
其中，
由得，当时，在上单调递增，
所以，所以，因为，所以，
下证，，即证在上恒成立，
求导得，，记，，
求导得在恒成立，所以在上单调递增，
所以恒成立，所以在上单调递增，
所以恒成立，所以，即，，
所以．
【解析】
由题得，，求导得，然后分
当，当，分别讨论即可；
先得到，然后再证明即可．
19.解：非空集合的个数为，
所以，
由题得，
化简得，解得，
当非空集合中的最小元素和最大元素分别为，时，
集合中的元素一定有元素和，一定没有元素，，，，，，，，，
可有可无的元素有，，，，，，，，，
则集合可能情况有个，
若，非空集合的个数为，
所以，
非空集合的个数为，最小值的集合的个数为，
则，
最大值的集合的个数为，
则，
因为
，
所以．
【解析】
先得到，然后解方程即可；
先得到集合可能情况有个，若，非空集合的个数为，然后得到即可；
非空集合的个数为，最小值的集合的个数为，则，最大值的集合的个数为，则，然后利用期望的性质推导即可．
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