(共40张PPT)
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01
02
03
04
掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质
能利用椭圆的简单性质求椭圆方程
能用椭圆的简单性质分析解决有关问题
理解数形结合思想
学习重点
学习重点
椭圆的几何性质
椭圆性质的理解和应用
新课导入
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样,我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
新课学习
O
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
x
1.范围
观察下图,容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内. 为确定其具体的边界,我们利用方程(代数方法)进行研究.
O
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
x
2. 对称性
观察椭圆的形状,可以发现椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.
F1
F2
x
O
y
P(x,y)
P1(-x,y)
P2(x,-y)
综上,椭圆关于x轴、 y轴都是对称的.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
F1
F2
x
O
y
P1(-x,y)
P(x,y)
P2(x,-y)
P3(-x,-y)
思考一下
结论
F1
F2
x
O
y
A1
A2
B1
B2
短轴
长轴
2b
2a
2. 顶点
4.离心率
问题:扁平程度是椭圆的重要形状特征,如何用一个适当的量刻画椭圆的扁平程度?
x
y
O
这样,利用c和a这两个量,可以刻画椭圆的扁平程度.
离心率的定义
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称
(±a,0)、(0,±b)
(±c,0)
(±b,0)、(0,±a)
(0 ,±c)
关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称
长半轴长为a,
短半轴长为b.(a>b)
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
长半轴长为a,
短半轴长为b.(a>b)
例题来了
解:
解:
思考一下
由例2我们发现,可以由圆通过压缩的到椭圆.你能由圆通过拉伸得到椭圆吗?如何拉伸?你能发现椭圆与圆的关系吗?
结论
解:
解:
根据椭圆的几何性质求椭圆标准方程的步骤
1.基本思路是“先定型,再定量”,即先确定交点的位置或对交点的位置分类讨论.
2.根据焦点位置,利用待定系数法设出椭圆方程.
3.列出关于a,b或c的方程组,求出a,b的值.
4.写出方程.
求椭圆离心率(或取值范围)的基本方法
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1.研究直线与椭圆的位置关系,可联立直线与椭圆的方程,消元后用判别式讨论.
2.求直线被椭圆截得的弦长,一般利用弦长公式,对于与坐标轴平行的直线,直接求交点
坐标即可求解.
3.有关弦长的最值问题,可以运用二次函数性质、一元二次方程的判别式、基本不等式等来求解.
课堂巩固
C
C
B
B
D
B
10
总结一下
4.离心率
1.范围
2.对称性
3.顶点
谢谢观看
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