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10.2 分式的基本性质 分层题型练习
知识点1：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
知识点2：分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
知识点3：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
知识点4：分式通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
题型一 判断分式变形是否正确
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式：
（1）； ．
（2）； ．
（3）． ．
4．（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）．
5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确．
题型二 求使分式变形成立的条件
1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
3．（21-22八年级上·全国·单元测试），在括号内填入适当的数为 ．
4．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果成立，则a的取值范围是 ．
5．（21-22八年级上·全国·课后作业）填空
（1），；
（2），．
题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化
1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
3．（2023七年级下·浙江·专题练习）利用分式的基本性质填空：
（1），（）；
（2）；
（ ）中为（1） ，（2） ．
4．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为 ．
5．（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：
(1)；
(2)；
(3)．
题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数
1．（19-20八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
3、（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正：
(1) = , (2) = .
4．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：=
5．（18-19七年级·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）；
（2）.
题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数
1．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）
A．10 B．9 C．45 D．90
3．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）使分式的各字母系数都变成整数，其结果是 ．
4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ．
5．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
题型六 最简分式
1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ．
4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个．
5．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1)；
(2)．
题型七 约分
1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ．
4．（2024·广东·二模）已知，，则 ．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．
(3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数．
题型八 最简公分母
1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ．
4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是 ．
5．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分：
(1)，，；
(2)，，．
题型九 通分
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八年级上·全国·专题练习）把与通分后，的分母为，则的分子变为（）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
4．（20-21八年级上·全国·课后作业）与通分的结果是 ．
5．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：．
（2）通分：，．
1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式中和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来倍
C．扩大为原来倍 D．扩大为原来倍
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八年级下·全国·专题练习）已知．则分式的值为（ ）
A．8 B．3 C． D．4
6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ．
7．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ．
8．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，，则的值为 ．
9．（20-21八年级下·广东江门·开学考试）若分式的值为零，则x的值为 ．
10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，
所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最小值是 ．
11．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知．
(1)将A进行因式分解．
(2)若，求的值．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)，
(2)
13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
(1)；
(2)．
14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值；
(3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．
15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：
即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令
则，
．
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值
(3)已知为实数，，求分式的值．中小学教育资源及组卷应用平台
10.2 分式的基本性质 分层题型练习
知识点1：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
知识点2：分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
知识点3：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
知识点4：分式通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
题型一 判断分式变形是否正确
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变．
【详解】解：A、当时，，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
3．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式：
（1）； ．
（2）； ．
（3）． ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）；
故答案为：；
（3）．
故答案为：．
4．（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）．
【答案】①③/③①
【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键．
【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意；
②，故正确，不符合题意；
③，故不正确，符合题意；
④，故正确，不符合题意；
故答案为：①③．
5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确．
【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析
【分析】根据分式的基本性质分析判断即可．
【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确；
乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键．
题型二 求使分式变形成立的条件
1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可．
【详解】解：使得等式成立的的取值范围为．
故选：D．
2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】D
【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出的取值范围．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出的符号是解题关键．
3．（21-22八年级上·全国·单元测试），在括号内填入适当的数为 ．
【答案】16
【分析】利用分式的基本性质解答即可．
【详解】解：，
∴括号内的数为，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分子分母同时乘以同一个数，分式的值不变是解题的关键．
4．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．（21-22八年级上·全国·课后作业）填空
（1），；
（2），．
【答案】（1），；（2）a，
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即
．
同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即．
所以，括号中应分别填：和．
（2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即
．
同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即
．
所以，括号中应分别填：a和．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化
1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是分式的性质，解题关键是熟练掌握分式的性质．按题意对分式中的、进行扩大，再与原分式比较即可求解．
【详解】解：依题得，将分式中的，都扩大倍可得，
，
原分式的值缩小到原来的．
故选：．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
先把，的值都扩大为原来的3倍，得，再化简，据此即可作答．
【详解】解：将分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
得到，
把的分子和分母同时除以3，即，
故选：A．
3．（2023七年级下·浙江·专题练习）利用分式的基本性质填空：
（1），（）；
（2）；
（ ）中为（1） ，（2） ．
【答案】
【分析】（1）首先利用分式的基本性质将分母由化为，可以看出是乘以得到的；接下来根据分式的基本性质，给分式的分子也乘以即可得到答案；
（2）先根据平方差公式对分母因式分解为，再约分即可得到答案．
【详解】解：（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘以得：
，
故答案为：．
（2），
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和平方差公式，解答题目的关键是理解分式的基本性质；
4．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为 ．
【答案】10
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵中的，都扩大到原来的5倍，
∴．
故答案为：10
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
5．（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分子乘以可得．
（2）先用完全平方公式将分子变形为，将分母变形为，由此可得答案．
（3）将分母提取公因式得，由此可知答案．
【详解】（1）分子乘以可得：
，
故答案为：．
（2）将分子分母进行因式分解得：
，
故答案为：．
（3）将分母提取公因式得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键．
题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数
1．（19-20八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.
【详解】
故选D.
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.
2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
3、（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正：
(1) = , (2) = .
【答案】 ,
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.
【详解】
故答案为,.
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.
4．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：=
【答案】
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.
【详解】
故答案为.
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.
5．（18-19七年级·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的基本性质变形即可；
（2）根据分式的基本性质变形即可；
【详解】解：（1）；
（2）.
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键.
题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数
1．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）
A．10 B．9 C．45 D．90
【答案】D
【分析】不改变分式的值，又要使分式中的各项系数全部化为整数，考虑到分式的分子、分母中各项系数均为分数，可分两步进行思考．分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90．
【详解】因为分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90．
故选D．
【点睛】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
3．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）使分式的各字母系数都变成整数，其结果是 ．
【答案】
【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，同时不改变分式的值，可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题，可同乘以10．
【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质．
4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ．
【答案】
【分析】运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
5．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可；
（2）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可．
【详解】（1）解：；
（2）．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键．
题型六 最简分式
1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简分式，解决本题的关键是掌握最简分式的定义．
根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断．
【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意；
B、，故不是最简分式，不符合题意；
C、，是最简分式，符合题意；
D、，故不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，平方差公式的运用，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、不是分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意，
故选：D．
3．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可．
【详解】解：，
故答案为：．
4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个．
【答案】1
【分析】本题考查了最简分式的定义；
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可．
【详解】解：，，，，均不是最简分式；
是最简分式，最简分式的个数是1，
故答案为：1．
5．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是最简分式，化简见解析
(2)不是最简分式，化简见解析
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解.
【详解】（1）解：；
则不是最简分式；
（2）解：．
则不是最简分式．
【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
题型七 约分
1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解．
【详解】解：∵分式的值是负整数，
∴且的整数，
选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意，
故选：B．
2．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键．
约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可．
【详解】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、已经为最简形式，故D选项不符合题意．
故选：C．
3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
4．（2024·广东·二模）已知，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．
【详解】解：
；
当，时，原式．
故答案为：1．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如，
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．
(3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3)或或或或或
【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算，
（1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形；
（3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可．
【详解】（1）解：①，②；③，④，
∴①③④的分式是“和谐分式”，
故答案为：①③④；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：∵的值为整数，
∴当x为整数时，的值为整数
当或或时，分式的值为整数，
∴或或或或或．
题型八 最简公分母
1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式的最简公分母是．
故选D．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式，，的分母分别是，，，
故最简公分母是：，
故选：C．
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ．
【答案】
【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法主要包括以下几个步骤：取各分式的分母中系数的最小公倍数；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同字母（或因式）的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母；由此即可得出答案．
【详解】解：分式，，的最简公分母为，
故答案为：．
4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可求解，掌握最简公分母的定义是解题的关键．
【详解】解：是，
故答案为：．
5．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母，然后通分即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
题型九 通分
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可．
【详解】∵分式与分式的最简公分母是，
∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为．
故选C．
2．（2022八年级上·全国·专题练习）把与通分后，的分母为，则的分子变为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．
【详解】解∶，
故的分子为．
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】 3
【分析】本题考查的是分式的通分，约分．
（1）把分子与分母约分法则即可；
（2）找出最简公分母，计算即可；
（2）把分子与分母约分法则即可．
【详解】解：（1），
故答案为：3；
（2）
故答案为：；
（3）；
故答案为：．
4．（20-21八年级上·全国·课后作业）与通分的结果是 ．
【答案】
【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可；
【详解】，，
最简公分母为，
通分后分别为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键．
5．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：．
（2）通分：，．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查分式化简-约分，通分．熟练掌握通分法则是解题的关键．
（1）将分式分子分母分解因式，再约分即可；
（2）根据通分法则计算即可．
【详解】解：（1）．
（2）最简公分母为，
，
．
1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为．
故选：D．
2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式中和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来倍
C．扩大为原来倍 D．扩大为原来倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
【详解】分别用和去代换原分式中的和，
得，
可见新分式扩大为原来的倍，
故选：．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质依次判断即可．
此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】①当时，才有，
故该变形错误；
②∵分式中，
∴，
故该变形正确；
③当时，才有，
故该变形错误；
④∵，
∴，
故该变形正确；
综上，正确的有②④．
故选：B
4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，是最简分式，符合题意；
故选：D．
5．（2023八年级下·全国·专题练习）已知．则分式的值为（ ）
A．8 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】由可得，然后再对分式进行变形，最后代入计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴
＝
＝
＝
＝3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、通分、约分等知识点，根据题意得出是解本题的关键．
6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握分式的约分的运算法则是解题的关键．
利用幂的乘方和积的乘方法则变形，再约分即可得到结果．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ．
【答案】
【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键．
【详解】解：，，
分式和的最简公分母为，
去分母时，需方程两边都乘以最简公分母．
故答案为：．
8．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值．
本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的通分和月份，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键．
【详解】由得，，
∴①；
由得， ，
②；
由得，
∴③；
，得，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（20-21八年级下·广东江门·开学考试）若分式的值为零，则x的值为 ．
【答案】0或
【分析】将分子进行因式分解，再根据分式值为0的条件进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
∵原分式值为0，
∴且，
∴或，
解得：或，
故答案为：0或．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式化简的方法，以及分式值为0的条件：分子等于0，分母不为0．
10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，
所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
的最小值为，
的最大值为，
的最小值为，
即的最小值是，
故答案为：．
11．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知．
(1)将A进行因式分解．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
（1）先将展开后合并同类项，再利用平方差公式即可求解；
（2）先对进行化简，再代入求值即可；
【详解】（1）
．
（2）
，
若，
则．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)，
(2)
【答案】(1)，
(2)，，
【分析】本题主要考查分式的通分：
（1）先确定最简公分母为，然后再通分即可；
（2）先确定最简公分母为，然后再通分即可
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键；
（1）根据分式的基本性质变形即可；
（2）根据分式的基本性质变形即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值；
(3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③；
(2)，；
(3)是，理由见解析．
【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可；
（3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：，是整式，
①是“巧分式”；
，不是整式，
②不是“巧分式”；
，是整式，
③是“巧分式”；
（2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为，
，
，
∴，
解得：；
（3）解：分式的“巧整式”为．
，
，即；
，
又是整式，
是“巧分式”．
15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：
即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令
则，
．
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值
(3)已知为实数，，求分式的值．
【答案】(1)23
(2)
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键；
（1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解；
（2）由题意可设，然后代入求解即可；
（3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由可设，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
