2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年天津市河东区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.对于任意实数，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A. B. C. D.
6.为了研究某班学生的脚长单位厘米和身高单位厘米的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为( )
A. B. C. D.
7.若，则的值是( )
A. B. C. D.
8.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
9.设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.某疾病预防中心随机调查了名岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
不吸烟者 吸烟者 总计
不患慢性气管炎者
患慢性气管炎者
总计
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立．
通过计算统计量，得，根据分布概率表：
，，
，．
给出下列个命题，其中正确的个数是( )
“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于
有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关
分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则( )
A. B. 该圆锥的侧面积为
C. 的面积为 D. 该圆锥的体积为
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
12.计算为虚数单位的值为______．
13.二项式展开式中的常数项是______．
14.某中学举行数学解题比赛，其中人的比赛成绩分别为：、，，，，，，则这人成绩的第分位数是______．
15.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则______．
16.已知正数，满足，则的取值范围为______．
17.在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为______；若点为的中点，点为线段上的动点，则的最小值为______．
18.曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在中，角、、所对应的边分别为、、，其中．
若，，求边长；
若，，求的面积．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，．
若在侧棱上，且，求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和其图象的对称轴方程；
若函数在存在零点，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数在单调递增，求的取值范围．
参考答案
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19.解：，且，
，
，
，，，
，
；
，
则，
，
，
，
为锐角，
，，，
，
，
．
20.解：底面，，，，，两两垂直，
故以为原点，建立如图的空间直角坐标系，则，
，，，，
证明：易得平面的法向量为，
，，
又平面，平面；
，
设平面的法向量为
由，可取
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

21.解：对于函数
，
故它的最小正周期为．
令，得，，
故图象的对称轴方程为，．
函数在存在零点，
即在上有解．
当时，，，
，．
22.解：当时，
则，
求导可得，，
当时，，
当时，，
故曲线在点处的切线方程为：，即；
，
则，
函数在单调递增，
则，化简整理可得，，
令，
求导可得，，
当时，
则，，
故，即在区间上单调递减，
，不符合题意，
令，
则，
当，即时，
，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，
，符合题意，
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，即单调递减，
，
当时，，单调递减，
，
当时，，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
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