选择必修 第一章 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时(共29张PPT)

(共29张PPT)
选择必修 第一章
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 空间距离
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 1.空间直观素养和运算素养.
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 2.空间直观素养
温故知新
1.空间两条直线垂直
2.空间线面垂直
3.空间面面垂直
设直线l1，l2的方向向量=(x1,y1,z1)， =(x2,y2,z2),则
l1 l2 .
x1x2+y1y2+z1z2=0.
设直线 l 的方向向量 =(x1,y1,z1)，平面 α 的法向量为=(x2,y2,z2) ，则
l α .
λ∈R,使得
λ∈R,使得x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2.
设设平面 α ，β的法向量 =(x1,y1,z1)，=(x2,y2,z2) ，则
α β .
x1x2+y1y2+z1z2=0.
新知探究
我们知道立体几何中的距离问题包括 、 、
、 以及 的距离问题等.
（请同学们在回忆过程中，画出图形）
点到直线
点到平面
两条平行直线
直线与平面平行
两个平行平面
如何用空间向量解决这些问题？
下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离.
新知探究
已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
如图，向量在直线上的投影向量为,则△APQ为直角三角形.
∵A,P都是定点，
∴,与的夹角∠PAQ都是确定的.
于是可求.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.
设，则向量在直线l上的投影向量.
在△APQ中，由勾股定理，得
.
新知探究
类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
提示　在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.
还有没有求点到直线距离的其它方法？
设，直线l的方向向量，则
.
又,
∴.
而.
∴.
新知探究
我们再来看平面α外一点P到平面α的距离.
如图，已知平面α的法向量为，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此
.
点到平面距离公式：
注意：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.
新知探究
因此用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：
⑴求出该平面的一个法向量；
⑵找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
⑶求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
由于可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d＝||.
新知探究
类似地，请同学们研究如何求直线与平行平面、两个平行平面的距离.
如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
β
P
A
如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
新知探究
【例1】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离.
解：
方法1：如图所示，建立空间直角坐标系.则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0),过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，
∵,
∴,
∴,解得,D(),
∴O1到直线AC的距离为.
则，,,
新知探究
【例1】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离.
解：
方法2：连接AO1，如图所示，建立空间直角坐标系.则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0),
∴,
∴,
,
∴O1到直线AC的距离.
则，,
新知探究
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
⑴建立空间直角坐标系;
⑵求直线的单位方向向量u;
⑶计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.
⑷利用公式PQ＝ 计算点到直线的距离.
新知探究
【例2】如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，求点D1到平面AEC1的距离.
解：
如图，建立空间直角坐标系，则
分析：本题主要考查利用空间向量求点、线、面之间的距离．建立空间直角坐标系，写出各点坐标，分别表示出，向量，从而计算平面AEC1的一组法向量，由点到平面间距离公式即可求解．
D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，E(0,,0),
=(-1,,0),=(-1,1,1),
新知探究
【例2】如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，求点D1到平面AEC1的距离.
解：
设平面AEC1的一个法向量为＝(x，y，z)，则
令y=2,则x=1,z=-1.=(1,2,-1).
,即,
∴点D1到平面AEC1的距离.
又=(1,0,-1)，
新知探究
用向量法求点面距离的步骤
⑴建系：建立恰当的空间直角坐标系.
⑵求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
⑶求向量：求出相关向量的坐标( , α内两不共线向量，平面α的法向量).
⑷求距离.
新知探究
【例3】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段A1B1的中点，F是线段AB的中点.
⑴求点B到AC1的距离；
⑵求直线FC到平面AEC1的距离.
解：
(0,1,0),(-1,1,-1),(0,,-1),
(-1,,0),(-1,,0),(0,,0),
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离.
以D1为原点，D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1),B(1,1,1),
C(0,1,1),C1(0,1,0),E(1,,0),F(1,,1),
新知探究
【例3】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段A1B1的中点，F是线段AB的中点.
⑴求点B到直线AC1的距离；
⑵求直线FC到平面AEC1的距离.
解：
1,.
⑴取(0,1,0),,则
∴点B到直线AC1的距离为.
∴EC1∥FC,∴FC∥平面AEC1,
⑵∵(-1,,0),
∴点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
新知探究
【例3】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是线段A1B1的中点，F是线段AB的中点.
⑴求点B到直线AC1的距离；
⑵求直线FC到平面AEC1的距离.
解：
∴点F到平面AEC1的距离为.
设平面AEC1的法向量为＝(x，y，z)，则
,即,
取y=2,则x=1,z=1,
∴＝(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量.
又∵(0,,0),
即直线FC到平面AEC1的距离为.
新知探究
空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：
⑴建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
⑶把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
初试身手
1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.
如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，
∴(3,0,-1),(-3,4,0),
取(3,0,-1),,
解：
∴点P到BD的距离为.
∴=10,.
初试身手
2.如图，棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离．
解：
由E，F分别为BB1，C1C的中点，得EF∥BC∥平面ADD1A1,
以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则
∴=(0,0,),=(-1,0,0),=(0,1,).
A1(1,0,1),H(1,0,),G(0,0,),E(1,1,),
又DG＝DD1,
∴点A1到平面EFGH的距离即为A1D1到平面EFGH的距离.
∴GH∥EF∥BC∥A1D1,
∴AN=AA1,A1D1∥平面EFGH,
初试身手
2.如图，棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离．
解：
设平面EFGH的法向量为＝(x，y，z)，则
∴点A1到平面EFGH的距离为.
则A1D1到平面EFGH的距离为.
取z=6,则y=-1,x=0.
,即,
∴＝(0,-1,6)是平面EFGH的一个法向量,
初试身手
3.如图，棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离．(课本P35练习第3题)
解：
∴=(1,1,0),=(1,0,1),=(1,0,0),
∵A1B∥D1C,BD∥B1D1,且A1B,BD 平面A1DB,
D1C,B1D1, 平面D1CB1的距离,
B(1,1,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),D(0,0,0),
∴平面A1DB∥平面D1CB1，
∴点C到平面A1DB的距离即为平面A1DB与平面D1CB1的距离.
z
y
x
以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
初试身手
3.如图，棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离．(课本P35练习第3题)
解：
∴＝(1,-1,-1)是的一个法向量.
平面A1DB的法向量为＝(x，y，z)，则
∴点C到平面A1DB的距离为.
，即,
∴平面A1DB与平面D1CB1的距离为.
z
y
x
取x=1,则y=-1,z=-1,
想一想：你还能给出不同解法吗？试一下，相信你会有新发现！
课堂小结
1.点到直线的距离
2.点到平面的距离
3.空间距离问题的转化
已知直线l的单位方向向量为，，设，则
.
已知平面α的法向量为，则
.
⑴求两条平行直线间的距离可转化为求其中一条直线上一点到另一条直线的距离.
⑵直线与平面平行，求它们之间的距离，可转化为求这条直线上一点到这个平面的距离.
⑶求两个平行平面间的距离，可转化为求其中一个平面上一点到另一个平面的距离.
作业布置
作业： P35 练习 第2题
P42-44 习题1.4 第6，7,14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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