2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.若弧度的圆心角所对的弧长为，则这个圆心角所在的扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3.平面向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.若为第二象限角，且，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数其中，，的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.
B.
C.
D.
7.设，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，为的中点，点在斜边的中线上，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值是
B. 若，则在上单调递减
C. 若在上恰有个零点，则的取值范围为
D. 函数的值域为
11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则可以是钝角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若，且，则为等边三角形
12.如图，的内角，，所对的边分别为，，若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是( )
A. 是等边三角形
B. 若，则，，，四点共圆
C. 四边形面积最大值为
D. 四边形面积最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，且与夹角为钝角，则的取值范围是 ．
14.已知函数，在区间上有解，则的取值范围是______．
15.已知，，则 ______．
16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数，其中是虚数单位，，，．
若为纯虚数，求的值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，求的值．
19.本小题分
如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的四等分点，设，．
若长为，长为，，求的长；
若是上一点，且，试判断，，三点是否共线？并说明你的理由．
20.本小题分
在下面给出的三个条件：，，中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
问题：在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足，，____，
求角；
求的面积．
21.本小题分
如图，四边形是一块边长为的正方形铁皮，其中扇形的半径为，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在与上的矩形铁皮，
求出矩形铁皮面积关于的表达式；
试确定的值，使矩形铁皮面积最大，并求出这个最大面积．
22.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调增区间；
在中，角，，的对边分别为，，若，，求的面积的取值范围．
参考答案
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13.且
14.
15.
16.
17.解：为纯虚数，，．
，，，
，当时，；当时，，．
18.解：由题意可得，
又，
所以，
故，
因为，
所以，
所以，
故．
已知，
则，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以．
19.解：由于，且点是的中点，
，
；
，，三点不共线，理由如下：
，
则，
，，
，
假设，则存在唯一实数，使得，
即，
所以，无解，
与不平行，
，，三点不共线．
20.解：选：因为，
所以，
所以，因为为三角形的内角，．
，，由余弦定理，可得，
可得，解得或舍去，
．
选：，由正弦定理可得：，
可得：，
可得：，
，，
解得，，．
，，由余弦定理，可得：，
可得：，解得，或舍去，
．
选：由正弦定理得，，
，，
，即，，
又，．
，，由余弦定理，可得：，
可得：，解得，或舍去，
．
21.解：如图，作垂直于点，
则，，
所以，，
所以矩形铁皮面积．
令，
则，
因为，所以，所以，
所以，
由二次函数性质可知，函数的图象开口向上，对称轴为，
所以当，即时，．
22.解：
，
的周期，
令，，可得，．
单调递增区间是，．
，
，
由正弦定理有，
，
，
，
．
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