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10.4 分式的加减法 分层题型练习
知识点1：同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
注意：
“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
知识点2：异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
.
注意：
异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分
式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
题型一 同分母分式加减法
1．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西南昌·三模）计算的结果是 ．
4．（23-24八年级下·江西九江·期末）化简 ．
5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算
题型二 异分母分式加减法
1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·四川成都·期末）分式的计算结果是（ ）
A． B． C． D．1
3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知，，则 ．
4．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）若，，则的值为 ．
5．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）计算：
(1)；
(2)．
题型三 整式与分式相加减
1．（2024·天津和平·三模）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁大连·三模）化简： ．
4．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则 ．
5．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）（1）计算：
（2）计算：．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
1．（21-22八年级下·河南南阳·阶段练习）已知，则分式的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
2．（20-21八年级下·湖北武汉·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数，满足，求的值．
4．（20-21八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，则的值为 ．
5．（21-22八年级下·河南新乡·阶段练习）等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值．
题型五 分式加减混合运算
1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（23-24八年级上·湖南永州·期中）化简的结果是
4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）化简：．
题型六 分式加减的实际应用
1．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22八年级上·全国·课后作业）小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（ ）
A．千米/时 B．千垙时
C．千时 D．千米/时
3．（2024·浙江·模拟预测）某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水 吨．（用含，的代数式表示）
4．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页．
5．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元．
(1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
(2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
题型七 分式加减乘除混合运算
1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
2．（2024·内蒙古赤峰·二模）化简的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北宜昌·模拟预测）计算： ．
4．（2024·湖北武汉·二模）计算的结果是 ．
5．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读与理解：
阅读下列材料，完成后面的任务：
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若 求代数式 的值．
解：∵，
∴，即，
∴．
任务：已知
(1)求的值．
(2)求的值．
题型八 分式化简求值
1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）已知，则分式的值是（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2024·福建厦门·二模）已知非零实数a，b满足，则的值是 ．
4．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则分式的值为 ．
5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中．
题型九 整数指数幂的运算
1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）化简的结果是x，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·浙江·一模）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·吉林长春·一模）计算： ．
4．（23-24八年级上·云南昆明·期中）计算： ．
5．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型十 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1．（2024·河北石家庄·二模）若数，若将a用小数表示时，则数字1前面的“0”一共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为0.0000007米，数据0.0000007用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，中科院物理研究组研制出世界上最细的碳纳米管的直径为纳米，将“纳米”用科学记数法可表示为 毫米．
4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）华为公司设计的麒麟芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为 ．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）科学家研究发现，一个水分子的质量大约是，约有多少个水分子？
题型十一 还原用科学记数法表示的小数
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）在显微镜下，一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为米，还原为原数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径为am，用科学记数法表示为，则a中小数点后面0的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023九年级·安徽·专题练习）将下列用科学记数法表示的数还原：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
4．（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列用科学记数法表示的数还原．
(1)；
(2)；
(3)．
1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若常数M，N满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）
A．x B．y C． D．
4．（2024·北京·三模）已知，求的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若，则代数式的值为 ．
7．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，，则代数式的值是 ．
8．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ．
9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，则 ．
10．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ．
11．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知代数式
(1)化简代数式；
(2)在，1和2中选择一个合适的数作为x代入代数式求值．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
13．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）（1）观察下列各式：，，，，……，由此可推断_________=___________．
（2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含m的等式表示出来为___________=__________（m表示正整数）；
（3）请参考（2）中的规律计算：．
14．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
(1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
(3)若分式的值为，请求的取值范围．
15．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则称这个分式为“美好分式”．如，则是“美好分式”．
(1)下列式子中，属于“美好分式”的是______（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式为：______+______；
(3)已知整数使“美好分式”的值为整数，则的值为______．中小学教育资源及组卷应用平台
10.4 分式的加减法 分层题型练习
知识点1：同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
注意：
“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
知识点2：异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
.
注意：
异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分
式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
题型一 同分母分式加减法
1．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则正确求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
2．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可．
【详解】解：原式
故选：A
3．（2024·江西南昌·三模）计算的结果是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了同分母分式的减法，根据同分母分式的减法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：1 ．
4．（23-24八年级下·江西九江·期末）化简 ．
【答案】1
【分析】本题考查了同分母分式的加减法，本题的关键是对第二项提出一个负号，做题过程中要注意符号变号问题．
根据同分母分式的加减法法则求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：1．
5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算
【答案】c
【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
题型二 异分母分式加减法
1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先把两分式通分，再约分化简即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
2．（23-24八年级下·四川成都·期末）分式的计算结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则计算，即可求解．
【详解】解：
．
故选：B
3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先通分，再利用完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：
4．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）若，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式的加减运用，已知代数式的值求值，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
根据分式的加减进行运算，整体代入求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式，
故答案为： ．
5．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分式混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）利用异分母分式加减运算法则求解即可；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
题型三 整式与分式相加减
1．（2024·天津和平·三模）计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查分式加减法，原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可
【详解】解：
．
故选：D．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把等式变形为，然后两边平方，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
两边除以，得：，
∴，
两边平方，得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的混合运算，求代数式的值，应用了恒等变形的思想．掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2024·辽宁大连·三模）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加法运算，先约分再相加即可．本题也可以先通分再约分，但相比先约分再计算要麻烦些，因此在有多种方法可解的情况，寻找最简捷的方法．
【详解】解：；
故答案为：．
4．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式的加减与化简求值，熟练掌握分式的加减法是解题的关键．根据已知条件可得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故答案为：．
5．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）（1）计算：
（2）计算：．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键；
（1）根据分式的加减进行计算即可求解；
（2）先将除法转化为乘法然后计算加减即可求解．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
1．（21-22八年级下·河南南阳·阶段练习）已知，则分式的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
【答案】B
【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键．
2．（20-21八年级下·湖北武汉·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．
3．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数，满足，求的值．
【答案】3
【分析】根据分式的性质对通分，运算得，由此可得方程组，解方程组即可求得，的值．
【详解】∵
∴，解得
∴．
【点睛】本题考查分式的通分，把通分化为是解题的关键．
4．（20-21八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】先对条件进行变形，再整体代入化简即可．
【详解】由条件可得：，
原式=，将化简后的条件代入得：原式= =，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，灵活对条件进行变形，整体代入是解题关键．
5．（21-22八年级下·河南新乡·阶段练习）等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值．
【答案】A=3，B=5．
【分析】根据分式的加法运算法则进行化简，然后利用待定系数法求出A与B的值．
【详解】解：
，
由题意可知：，
解得：A=3，B=5．
【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
题型五 分式加减混合运算
1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
故选：A．
2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系．
【详解】解：
当a大于5时，
故选：A
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键．
3．（23-24八年级上·湖南永州·期中）化简的结果是
【答案】
【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题．
【详解】解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算的法则计算是解决问题的关键．
【详解】解：
．
题型六 分式加减的实际应用
1．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算．直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得，
故选：C．
2．（21-22八年级上·全国·课后作业）小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（ ）
A．千米/时 B．千垙时
C．千时 D．千米/时
【答案】D
【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解．
【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：，
∴小强上山和下山的平均速度为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键．
3．（2024·浙江·模拟预测）某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水 吨．（用含，的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查列代数式，分式的运算．用原来每天用水量减去现在每天用水量即可．
【详解】解：（吨，
现在比原来每天节约用水吨；
故答案为：．
4．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页．
【答案】
【分析】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．根据题意列出算式，根据分式的减法法则计算，得到答案．
【详解】平均每天比原计划要多读的页数新工作效率原工作效率．
解：按原计划每天读页，实际每天读页，
故每天比原计划多读的页数是：，
故答案为：．
5．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元．
(1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
(2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
【答案】(1)A种健身器材的单价为：元；B种健身器材的单价为：元
(2)元
【分析】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键．
（1）根据，列式即可．
（2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可．
【详解】（1）解：A种健身器材的单价为：；
B种健身器材的单价为：．
（2）解：
，
答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共元
题型七 分式加减乘除混合运算
1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
【详解】解：
，
∴开始出现错误的同学是乙同学，
故选B．
2．（2024·内蒙古赤峰·二模）化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：C．
3．（2024·湖北宜昌·模拟预测）计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式混合运算，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再将除法变为乘法化简即可．
【详解】原式
，
故答案为：2．
4．（2024·湖北武汉·二模）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的运算以及因式分解，根据运算法则即可求解．
【详解】
故答案为：
5．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读与理解：
阅读下列材料，完成后面的任务：
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若 求代数式 的值．
解：∵，
∴，即，
∴．
任务：已知
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）利用倒数法进行约分化简解题；
（2）先求出倒数的值，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即；
（2）解：设，则，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
即的值为．
题型八 分式化简求值
1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式化简求值，可设，()，将分式化为最简分式，代入、即可求解；能将分式正确化简，并利用辅助未知数求解是解题的关键．
【详解】解：，
可设，()，
；
故选：C．
2．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）已知，则分式的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，整体代入是解题的关键．由，得，进而代入求值，即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴原式，
故选：B．
3．（2024·福建厦门·二模）已知非零实数a，b满足，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式化简求值，将条件转化为是正确解答的关键．根据可得，整体代入计算即可．
【详解】解：∵非零实数a，b满足，
∴，
即，
∴原式．
故答案为：．
4．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则分式的值为 ．
【答案】//
【分析】本题考查了分式化简求值，由得，整体代入，求解求解；能用整体代换法求解是解题的关键．
【详解】解：由得
，
原式
，
故答案为：．
5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算，最后代入计算即可；
【详解】解：
；
当时，原式；
题型九 整数指数幂的运算
1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）化简的结果是x，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据题意列式，，整理后得到，，即可求解，
本题考查了，整数指数幂，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：用代替“？”，
根据题意得：，即：，
∴，即：，
故答案为：D．
2．（2024·浙江·一模）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式乘法运算，涉及积的乘方、幂的乘方及负整数指数幂运算等知识，根据整式乘法运算法则直接求解即可得到答案，熟记积的乘方、幂的乘方及负整数指数幂运算是解决问题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
3．（2024·吉林长春·一模）计算： ．
【答案】2023
【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，然后计算加减．
【详解】解：
，
故答案为：2023．
4．（23-24八年级上·云南昆明·期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：
；
故答案为：
【点睛】本题考查的负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．
5．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)-5
(2)2 022
(3)
【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可；
（2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可；
（3）按照整数指数幂的计算法则计算即可；
【详解】（1）
；
（2）
=2022；
（3）
．
题型十 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1．（2024·河北石家庄·二模）若数，若将a用小数表示时，则数字1前面的“0”一共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】∵，
一共有6个0，
故选B．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为0.0000007米，数据0.0000007用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据0.0000007用科学记数法可表示为．
故选：B．
3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，中科院物理研究组研制出世界上最细的碳纳米管的直径为纳米，将“纳米”用科学记数法可表示为 毫米．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，纳米毫米，
，
故答案为：．
4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）华为公司设计的麒麟芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）科学家研究发现，一个水分子的质量大约是，约有多少个水分子？
【答案】个
【分析】首先把单位化统一，再利用可得水中大约有多少个水分子．
【详解】解：∵，
∴（个）．
∴水中大约有个水分子．
【点睛】本题考查了科学记数法的有关知识，解决本题的关键是熟知用科学记数法表示较小数．
题型十一 还原用科学记数法表示的小数
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）在显微镜下，一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为米，还原为原数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：C．
2．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径为am，用科学记数法表示为，则a中小数点后面0的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法，（其中为正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数．
【详解】解：，
∴小数点后面0的个数有4个．
故选：B．
3．（2023九年级·安徽·专题练习）将下列用科学记数法表示的数还原：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】 6200000
【分析】本题主要考查了将用科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数还原的方法：将中，当为正数，将小数点向右移动n为移动的位数即可还原；当为负数，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案为：6200000；；；．
4．（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ．
【答案】
【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数．
【详解】解：把数据中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为．
故答案为：．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列用科学记数法表示的数还原．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将小数点向左移动4位即可；
（2）将小数点向左移动5为即可；
（3）将小数点向左移动6为即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示绝对值小于1的数还原，解题的关键是掌握用还原科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原．
1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若常数M，N满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了分式的运算，幂的乘方，由，得到，进而得到，即可求解，掌握分式的运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）
A．x B．y C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
由题意得，对进行通分化简即可．
【详解】解：∵的结果为，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．（2024·北京·三模）已知，求的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求式子化简为，再把变形为，
然后整体代入计算即可
【详解】解：
；
∵，
∴
∴原式，
故选：B
5．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的加法和减法的运算．根据分式的加减法运算法则分别计算，即可求解．
【详解】解：A、，原算式计算错误；
B、，原算式计算错误；
C、，原算式计算正确；
D、，原算式计算错误；
故选：C．
6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若，则代数式的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了分式的化简、计算能力，运用分式的基本性质进行变形、整理后，再运用整体思想代入、求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了代数式求值，分式的加法运算，先计算出，再整体代入，，计算即可．
【详解】解：，，，
，
故答案为：3．
8．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
先根据分式混合运算法则化简为，再根据变形，即可整体代入求出值．
【详解】解：
．
∵
∴
∴原式，
故答案为：2．
9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式化简求值及整体代入思想，首先把两边同时乘以，可得 ，进而可得，然后再利用代入法求值即可，解题的关键是熟练掌握运算法则及整体代入法．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
10．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
由，再结合的取值范围即可求解．
【详解】解：∵，
∵当时，随着的不断增大而减小，的值无限接近0，
∴的值无限接近2，
故答案为2．
11．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知代数式
(1)化简代数式；
(2)在，1和2中选择一个合适的数作为x代入代数式求值．
【答案】(1)
(2)当时，原式
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序是解答的关键．
（1）先算分式的除法，再算加减化简原式即可；
（2）取使原分式有意义的数代入化简式子中求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵且且，
∴，，
∴，
∴原式．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，当时，原式．
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据同分母分式的加减法则进行计算即可；
（2）先通分，再把分子相加减即可；
（3）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式．
13．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）（1）观察下列各式：，，，，……，由此可推断_________=___________．
（2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含m的等式表示出来为___________=__________（m表示正整数）；
（3）请参考（2）中的规律计算：．
【答案】（1），；（2），；（3）0
【分析】此题考查了分式加减混合运算、数字类规律探究，掌握规律是解题的关键．
（1）按照题目中的例子进行解答即可；
（2）根据例子写出规律即可；
（3）先求出，再把所求式子按照规律进行计算即可．
【详解】解：（1） 根据对式子的观察，可以将分母72分解为，再按规律写出：；
（2）用m表示由原分母分解出来的较小的因数，用m+1表示较大的因数，得：；
故答案为：，；
（3）∵，
∴，
∴，
.
14．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
(1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
(3)若分式的值为，请求的取值范围．
【答案】(1)真， ；
(2)或或或；
(3)．
【分析】（）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为逆用分式的加减法运算可得第二空的答案；
（）先把原分式化为 ，再结合为整数，为整数，可得或或或，从而可得答案；
（）先把原分式化为，再结合，从而可得答案；
本题考查了新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解“真分式”“假分式”“带分式”的定义以及转化方法是解题的关键．
【详解】（1）根据新定义可得： 是真分式，，
故答案为：真，；
（2）∵且为整数，为整数，
∴或或或，
解得：或或或；
（3）∵而，
∴，
，
∴，
∴．
15．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则称这个分式为“美好分式”．如，则是“美好分式”．
(1)下列式子中，属于“美好分式”的是______（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式为：______+______；
(3)已知整数使“美好分式”的值为整数，则的值为______．
【答案】(1)①③④
(2)，
(3)或或或
【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，
（1）根据“美好分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；
（2）根据“美好分式”的定义，进行变形计算，即可解答；
（3）将原式化简为，从而可得当或时，分式的值为整数，即可求解．
【详解】（1）解：①；
②不是分式；
③；
④；
上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：
故答案为：，．
（3）解：
当或时，分式的值为整数，
或或或
分式有意义时，
或或或时，该式的值为整数．
