第十章 分式 单元测试
（试卷满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）某种计算机完成一次基本运算需要1纳秒，即0.000000001秒，那么这种计算机连续完成200沙基本运算所需要的时间用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：秒；
故选：A
2．（23-24八年级·北京西城·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：分式有意义，
，解得，
故选：B．
4．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：B．
5．（2024·北京顺义·二模）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】∵
∴
．
故选：A．
6．（2024·北京·三模）已知，求的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求式子化简为，再把变形为，然后整体代入计算即可
【详解】解：
；
∵，
∴
∴原式，
故选：B
7．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）当x分别取，，，，时，计算分式的值，再将所有结果相加，其和等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
【答案】A
【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键；先求出和时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．
【详解】解：当和时，
当时，，
则所求的和为，
故选：A．
8．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故选C．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．（2024·北京朝阳·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，代入求解即可．．
根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
【详解】∵代数式有意义，
∴
∴．
故答案为：．
10．（23-24八年级下·北京·期中）若的值为零，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的意义和绝对值的意义，熟练掌握分式的意义是解题的关键．
根据题意先得出，再根据分式的意义即可得出答案．
【详解】解：若的值为零，
则且，
解得．
故答案为：．
11．（2024·北京东城·二模）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，由得出，再将括号内先通分，将除法转化为乘法，约分即可化简，最后整体代入进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该分式方程无解，
若，方程无解；
若，，
，
故答案为：或．
13．（2022·北京海淀·模拟预测）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，由“销售量的比为时，总获利为”及利润率公式，可求得a与b的关系，则可求得销售量的比为时的总获利．
【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，
则，
解得，
当销售量的比为时，总获利为：，
故答案为：．
14．（23-24八年级下·北京·期中）若是方程的根，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：是方程的根，
，即，
，
故答案为：．
15．（2024·重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】6
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案．
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组有解且最多有3个整数解，
，
解得：，
整数为：1，2，3，4，5，6，
解分式方程，得，
分式方程有整数解，
是整数，且，
整数为：1，5，
所有满足条件的整数的值之和是．
故答案为：6．
16．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读下面计算的过程，然后填空
解： ，，…，
∴
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
(1)_______.
(2)当时，最后一项=_____.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据题中方法计算即可；
(2)设，根据题中方法，解方程即可.
【详解】解：（1）由题可知：，
∴
（2）设
∵
∴
解得：，经检验是原方程的解.
∴
【点睛】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和用换元法列方程并解方程是解决此题的关键.
三、解答题（9小题，共60分）
17．（23-24八年级下·北京·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先通分，再合并同类项计算，即可解答；
（2）先根据平方差展开，再通分计算，最后约分，即可解答．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
18．（23-24八年级上·北京·期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握方程的解法以及检验是解题的关键．
（1）方程两边同时乘上后移项、合并，最后检验即可．
（2）将原式的项化为同分母，分子移项合并，最后检验即可．
【详解】（1）解：原方程化为．
方程两边同时乘上得：．
移项，合并，得：．
检验：将代入，
是原方程的解．
（2）解：，
两边乘最简公分母得：，
展开得：．
合并同类项得：，
解得．
经检验，时，．
原分式方程无解．
19．（2024·北京·三模）已知，求代数式的值．
【答案】2
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再将变形为，代入求值即可．
【详解】解：
，
，
∴
．
20．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解
【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．
由题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
21．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】(1)的值是
(2)乙工程队至少施工天
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）根据甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴的值是300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，
解得：,
答：乙工程队至少施工15天.
22．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读理解：
定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），如：，则称A是B的 “n差分式”．
例如：，我们称是的“3差分式”．
解答下列问题：
（1）分式是分式的“________差分式”；
（2）分式是分式的“2差分式”
①_______（用含x的代数式表示）；
②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值．
（3）已知，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求的值．
【答案】（1）1；（2）①；②当时，；当时，；（3）
【分析】本题考查了新定义运算，分式的运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则．
（1）根据新定义运算进行计算即可；
（2）①由定义可知，进而可得，求解即可；
②由题意得，在根据A的值为正整数，x为正整数对进行讨论即可求解；
（3）由定义可得，则，结合，得，即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：，
即：分式是分式的“1差分式”，
故答案为：1；
（2）①∵分式是分式的“2差分式”，
∴，即：，
∴，
则
∴；
故答案为：；
②∵
∵A的值为正整数，x为正整数，
∴，则；
，则；
，则（舍去）；
，则（舍去）；
∴当时，；当时，；
（3）∵分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），
∴，则，
∵，
∴，
∴．
23．（22-23八年级上·北京东城·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为________，________；
(2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________；
(3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值．
【答案】(1)1，6
(2)，2
(3)
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴方程有两个解，分别为，
故答案为：1，6；
（2）解：，
方程变形得：
由题中的结论得：有两个解，分别为，2，
∵与互为倒数，
∴，
故答案为：，2；
（3）解：，
方程整理得，
得或
可得，．
∴．
【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键．
24．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①，②方案C
(3)
【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算，
（1）根据水中的杂质含量为计算即可；
（2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：，
第二次过滤后水中杂质含量为：，
故答案为：，；
② 解：=．
∵，
∴，．
∴．
∴．
同理，可得．
∴．
∴方案C的最终过滤效果最好．
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为：，
∴第二次净水后，杂质含量为：，
∵
，
∵，
∴，
当，即时，有最大值为，
∴此时分数有最小值，
即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，
故答案为：．
25．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为．
请根据以上方法，回答下面的问题：
(1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______；
(2)若实数，满足，．
①_______（用含的式子表示）；
②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值．
【答案】(1)；且；
(2)①；②
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可；
（2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可；
②先化简分式，代入，约分后可得答案．
【详解】（1）解：；
∵繁分式有意义，
∴且，
∴的取值范围是且；
（2）①∵，．
∴
；
②∵，
∴，
；第十章 分式 单元测试
（试卷满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）某种计算机完成一次基本运算需要1纳秒，即0.000000001秒，那么这种计算机连续完成200沙基本运算所需要的时间用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
2．（23-24八年级·北京西城·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·北京顺义·二模）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2024·北京·三模）已知，求的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）当x分别取，，，，时，计算分式的值，再将所有结果相加，其和等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
8．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．（2024·北京朝阳·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（23-24八年级下·北京·期中）若的值为零，则x的值为 ．
11．（2024·北京东城·二模）若，则代数式的值为 ．
12．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 ．
13．（2022·北京海淀·模拟预测）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ．
14．（23-24八年级下·北京·期中）若是方程的根，则代数式的值是 ．
15．（2024·重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
16．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读下面计算的过程，然后填空
解： ，，…，
∴
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
(1)_______.
(2)当时，最后一项=_____.
三、解答题（9小题，共60分）
17．（23-24八年级下·北京·期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（23-24八年级上·北京·期中）解分式方程：
(1)
(2)
19．（2024·北京·三模）已知，求代数式的值．
20．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
21．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
22．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读理解：
定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），如：，则称A是B的 “n差分式”．
例如：，我们称是的“3差分式”．
解答下列问题：
（1）分式是分式的“________差分式”；
（2）分式是分式的“2差分式”
①_______（用含x的代数式表示）；
②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值．
（3）已知，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求的值．
23．（22-23八年级上·北京东城·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为________，________；
(2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________；
(3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值．
24．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
25．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为．
请根据以上方法，回答下面的问题：
(1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______；
(2)若实数，满足，．
①_______（用含的式子表示）；
②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值．
