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第二十一章 一元二次方程 单元模拟测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（ ）
A．1 B．1， C． D．以上都不对
3．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
4．某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于的方程的一根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6． 用配方法解一元二次方程x2-8x+3＝0，此方程可化为（ ）
A．（x-4）2＝13 B．（x+4）2＝13
C．（x-4）2＝19 D．（x+4）2＝19
7．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
8．已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
9．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
10．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 ．
12．已知是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则的值是 ．．
13．若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是 ．
14．若一元二次方程的两个根为，，则的值为 ．
15．已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则的值为 ．
16．若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．解方程
（1） ；
（2） .
18．用适当的方法解方程：
（1）x2-3 x=0
（2）（2+x）2-9=0．
19．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
20．关于x的方程
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根为1，求m的值：
（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
22．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q在BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
23．如图，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C，连接BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA，OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程 的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C，动点N从B 出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为 ？
24．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，p是方程 的两根，则α+β＝ ，α β＝ ；若2，3是方程 的两根，则m＝ ，n＝ ；
（2）已知a，b满足 ，求 的值；
（3）已知a，b，c满足 ，求正整数 的最小值，
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第二十一章 一元二次方程 单元模拟测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】 一元二次方程化为一般形式得，
不含一次项，
且
解得m=-3，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义以及化为一般形式后不含一次项，得到关于m的方程与不等式，解方程和不等式即可求解.
2．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（ ）
A．1 B．1， C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0
∴将x=0代入方程可得：
解得：k=1或-3
∵此方程是关于x的一元二次方程
∴k-1≠0，解得：k≠1
综上，k=-3
故答案为：C
【分析】根据题意将x=0代入方程可得k=1或-3，再根据一元二次方程的定义即可求出答案.
3．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
4．某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设房价定为x元，由题意得：
（x-30）（50-）=5000.
故答案为：C.
【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可求解.
5．关于的方程的一根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意
将x=1代入方程
得
解得m=2
故选：D
【分析】根据方程的根的意义，将根代入原方程可求出m值。
6． 用配方法解一元二次方程x2-8x+3＝0，此方程可化为（ ）
A．（x-4）2＝13 B．（x+4）2＝13
C．（x-4）2＝19 D．（x+4）2＝19
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 x2-8x+3＝0，
x2-8x＝-3
x2-8x+16＝-3+16
（x-4）2-＝13，
故答案为：A.
【分析】根据移项、配方即可得出结论.
7．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x2≥0，∴2[x]≥0，即x≥0，
当0 ≤ x＜1时，[x]=0，∴x=0；
当1 ≤ x＜2时，[x]=1，∴x=或 x=-(舍)；
当2 ≤ x＜3时，[x]=2，∴x=2 或 x=-2(舍)；
当 x≥3时，无解.
故答案为：D.
【分析】根据x2≥0得x≥0，再分情况讨论即可.
8．已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=1，x2= ，不符合题意，故舍去；
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
9．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
10．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得，( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】 一元二次方程的两根分别为，，
a+b=5，ab=-5，
故答案为：-1.
【分析】利用韦达定理求得a+b=5，ab=-5，再将 进行通分整体代入即可求解.
12．已知是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则的值是 ．．
【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】 解：∵是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，
∴.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
13．若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是 ．
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
400（1﹣x）2=256，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8=180%（舍去），
即：这种商品平均每次降价的百分率为20%．
故答案是：20%．
【分析】设这种商品每次降价的百分率是x，则第一次下调后的价格为400（1﹣x），第二次下调的价格为400（1﹣x）2，根据题意可列方程为400（1﹣x）2=256求解即可．
14．若一元二次方程的两个根为，，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意
一元二次方程
故答案为：4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），、；计算出两根之和、两根之积，再代入求值。
15．已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由 n2+2n-1＝0 可知n
方程边同时除以-得：
即
又
故答案为：3
【分析】观察所给两个等式，形式上非常相似，提醒我们考虑是不是一个方程的两个根；一次项系数互为相反数的问题，可以把其中一个式子恒等变形，就可以得到形式上一致的两个等式，因此可以判定；同时从问题入手，分离常数，发现式子中有两根的和，根据韦达定理可求两根的和，代入即可求值。
16．若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式方程的解及检验
【解析】【解答】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，
解得a＜ 且a≠﹣1．
把关于x的方程 去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得
∵x≠﹣1，
∴ ，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜ 且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
【分析】由关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，可得a+1≠0且△＞0，据此求出a的范围，然后求出分式方程的解，根据此解为整数，再结合a的范围即可确定a值.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．解方程
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：因式分解得 ，
或 ，
，
（2）解： ，
，
或 ，
， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）解一元二次方程。
（2）移项后利用因式分解法解一元二次方程。
18．用适当的方法解方程：
（1）x2-3 x=0
（2）（2+x）2-9=0．
【答案】（1）解：分解因式得：x（x-3 ）=0，
解得：x1=0，x2=3
（2）解：方程整理得：（x+2）2=9，
开方得：x+2=3或x+2=-3，
解得：x1=1，x2=-5．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。
19．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
∴
解得：，
∴的值为或
（2）解：由题意得：
∴
即：
解得：，
当时，
∴舍去
当时，
∴的值为10.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值；
（2）根据根与系数的关系可得x1x2=m+2，结合题意可得m+2=m2-9m+2，求出m的值，然后结合△>0对求出的m的值进行取舍.
20．关于x的方程
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根为1，求m的值：
（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
【答案】（1）证明：x2 (m+2)x+(2m 1)=0，
∵a=1，b= (m+2)，c=2m 1，
∴b2 4ac=[ (m+2)]2 4×1×(2m 1)=(m 2)2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，(m 2)2+4>0，
即b2 4ac＞0，
∴关于x的方程x2 (m+2)x+(2m 1)=0恒有两个不相等的实数根
（2）解：将x=1代入方程可得：
12 (m+2)+(2m 1)=0，
解得：m=2
（3）解：∵m=2，
∴方程为x2 4x+3=0，
解得：x1=1或x2=3，
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，
∵ ，
∴斜边的长度为 ，
∴直角三角形的周长为1＋3＋ =4＋
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式△=(m 2)2+4＞0，即可证出方程恒有两个不相等的实数根 ；
（2）将x=1代入方程得出关于m的 方程，解方程即可求出m的值；
（3）将m=3代入方程得出方程为x2 4x+3=0，求出方程的另一个根，从而得出直角三角形的两直角边是1、3，根据勾股定理求出斜边，即可得出直角三角形的周长.
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0，
x＝，
∴x1＝1，x2＝a﹣1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a﹣1＞3，
解得a＞4，
即a的取值范围为a＞4．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【分析】 （1）此题就是证明根的判别式的值一定不为负数，故先求出判别式的值，再结合偶数次幂的非负性即可得出结论；
（2）根据求根公式表示出x，然后根据方程有一实数根大于3可得关于a的不等式，求解即可.
22．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q在BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【答案】（1）解：当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
∴
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴
（2）解：∵S△ABC=
∴当t＜10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解
当t＞10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）
∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ=S△ABC
（3）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10∴DE=5.
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5.
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；分段函数；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论： 当t＜10秒时， 得出CQ=t，PB=10﹣t，利用三角形的面积公式得出， 当t＞10秒时， 得出CQ=t，PB=t﹣10，利用三角形的面积公式得出，即可得出答案；
（2）先求出△ABC的面积，再根据题意列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案；
（3）过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，先证出△APE≌△QCM，得出AE=PE=CM=QM=t，从而证出四边形PEQM是平行四边形，求出DE=5，同理，当点P在点B右侧时，求出DE=5，即可得出答案.
23．如图，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C，连接BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA，OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程 的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C，动点N从B 出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为 ？
【答案】（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA
∴△ACD是等腰三角形，AD=DC
又∵AB=AD
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB=AD，∴ ABCD是菱形
（2）解：解方程x2-7x+12=0，得
OA=4，OB=3，
利用勾股定理AB= =5，
S菱形ABCD= AC×BD= ×8×6=24平方米
（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为 m2，
当点M在OA上时，x≤2，S△MON= （4-2x）（3-x）= ；
解得x1= ，x2= （大于2，舍去）；
当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON= （3-x）（2x-4）= ，
解得x1=x2= ；
当点M在OC上且点N在OD上时，即3≤x≤4，S△MON= （2x-4）（x-3）= ；
解得x1= ，x2= （小于3，舍去）．
综上所述：M，N出发 秒， 秒， 秒钟后，△MON的面积为 m2
【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．
24．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，p是方程 的两根，则α+β＝ ，α β＝ ；若2，3是方程 的两根，则m＝ ，n＝ ；
（2）已知a，b满足 ，求 的值；
（3）已知a，b，c满足 ，求正整数 的最小值，
【答案】（1）3；1；-5；6；
（2）解：
∴ ， 是方程 的解．
当 时，是方程
∴ ，
当 时，原式=2；
（3）解：∵ ，
= ，
∴α，b是方程 + =0的解，
≥0，
∵c是正整数，
∴c3-20≥0，即c≥ .
∴正整数c的最小值是3．
∴正整数c的最小值是3．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：α，p是方程x2-3x+1=0的两根，则α+β=3，α·β=1；若2，3是方程x2+mx+n=0的两根，则m=-5，n=6；
故答案为：3，1，-5，6；
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得到结论；（2）根据α，b满足 得到α，b是方程 的解．当α≠b时，是方程 根据根与系数的关系即可得到结论；当α=b时，原式=2；（3）根据 求得 = ，于是得到α，b是方程x2- =0的解，即可得到结论．
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