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第一章 勾股定理 同步培优卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
2．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
3．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
5．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若a、b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（ ）
A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺
8．如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知 中， ， ，在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得 成为等腰三角形，则这样的点P共有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F.已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）
①∠ACD=2∠FAB ②③④ AC=AF
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了 米长的草坪，只为少走 米的路.
14．一艘轮船以16 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距 ．
15．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．
16．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 .
17．如图，在等边△ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点， 连结BM、MN，则BM+MN的最小值是 .
18．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，且 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则 ， .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
20．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，连接AC。
（1）求AC的长度。
（2）求证△ACD是直角三角形。
（3）求四边形ABCD的面积
21．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
22．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：
（1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝ 千米，才能使它到两所学校的距离相等？
（2）证明上题中的结论.
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，其中BC＝8cm，AB＝16cm，点P是BC边上的点，BP＝3cm.动点Q从点A出发，沿着射线AB匀速运动，运动速度为2cm/s，运动时间为ts，连接CQ和QP.
（1）当t＝5s时，求CQ的长；
（2）在点Q的运动过程中，当△ACQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）在点Q的运动过程中，当t为何值时，QP平分∠CQB？
24．在同一平面内的两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M，N间的“最距离”，记作：．
如图，点B，C在数轴上表示的数分别为0，2，于点B，且．
（1）若点D在数轴上表示的数为5，求d（点D，）；
（2）若点E，F在数轴上表示的数分别是x，，当d（线段，）时，求x的取值范围．
25．如图
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是 ．
（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为 ．
26．如图：
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
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第一章 勾股定理 同步培优卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
2．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的两个三角形都不是直角三角形，A不符合题意；
B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一个三角形是直角三角形，一个不是直角三角形，B不符合题意；
C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的两个三角形是直角三角形，C符合题意；
D、∵152+242≠252， 72+202≠252，∴D中的两个三角形不是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用题中给出的数据，计算并判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可求解.
4．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝10m，
故小鸟至少飞行10m.
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
5．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
6．若a、b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意，A错误；
B：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意，B错误；
C：，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项符合题意，C正确；
D：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理：若三角形的三边a、b、c满足，则三角形是直角三角形．利用勾股定理的逆定理对每一个选项进行判断，可选出答案．
7．明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步，一步合5尺（尺），此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索的长度为（ ）
A．尺 B．尺 C．20尺 D．29尺
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，OC=OA-CA，CA=CB-AB=A'D-AB，
∴ OC=OA-(A'D-AB)=OA-A'D+AB=OA-5+1=OA-4，
由勾股定理得，OA' =OC +CA' ，即OA =(OA-4) +10 ，
解得，OA=14.5 (尺).
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理列出方程求解即可.
8．如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
9．如图，已知 中， ， ，在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得 成为等腰三角形，则这样的点P共有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，使得 成为等腰三角形，分 、 、 三种情况分析：
当 时，点P位置再分两种情况分析：
第1种：点P在点O右侧， 于点O
∴
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，不符合题意；
第2种：点P在点O左侧， 于点O
设
∴
∴
∴
∴ ，点P存在，即 ；
当 时， ，点P存在；
当 时， ，即点P和点C重合，不符合题意；
∴符合题意的点P共有：2个
故答案为：B.
【分析】分三种情况分析讨论，在BC边上取一点P (点P不与点B、C重合) ，使得△ABP成为等腰三角形，即AP= BP、AB= BP，AB=AP ； 根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，设OP=x，利用勾股构造方程求解，再判断即可.
10．如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误．故答案为：B．
【分析】根据勾股定理得出 x2+y2 =斜边的平方，直角三角形的斜边就是大正方形的边长，再根据正方形的面积计算方法得出斜边的平方=49，故 x2+y2=49 ；由图可知：小正方形的边长为（ x y ），小正方形的面积为（x-y）2=4，根据算术平方根的意义即可得出 x y=2 ；将 x2+y2=49与（x-y）2=4相减即可得出2xy=45，根据等式的性质即可得出 2xy+4=49 ；然后将 x2+y2=49 与2xy=45相加即可得出，再利用完全平方公式分解因式即可得出（x+y）2=94，综上所述即可得出答案。
11．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F.已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）
①∠ACD=2∠FAB ②③④ AC=AF
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作 于点H，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∴ ，
在 中， ，故③正确.
故答案为：B.
【分析】过点C作 于点H，根据等腰三角形的性质得到 ，根据 得到 ，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG的长，算出三角形ACD的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明 ，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF的长，得到③是正确的.
12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，
则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，
过点C′作C′D⊥OA于D，
∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，
∴∠OCC′=90°-30°=60°，
OC=1，CC′=2×1× =1，
∴CD= ，C′D= ，
∵顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，
∴AC=3-1=2，
∴AD=2+ = ，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，
AC′= = = ．
故答案为：C．
【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了 米长的草坪，只为少走 米的路.
【答案】50；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC==50 m；
∴ 少走的路为40+30-50=20 m.
故答案为：50；20.
【分析】根据勾股定理即可求得踩坏的草坪长度，再用斜边减去直角边的和即可求得少走的路.
14．一艘轮船以16 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距 ．
【答案】20km
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1=16km，
BC=12×1=12km．
则AB==20km，
故答案为：20km．
【分析】先判断△ABC为直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长即可。
15．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．
【答案】50
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．
故答案为：50
【分析】由题意可知，AB是直角三角形ABC的斜边，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即AC2+BC2=25，所以AB2+AC2+BC2=50.
16．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 .
【答案】6
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵，
∴（a+b）2+（a2+b2）+（a-b）2=18，
∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2-2ab+b2=18，
∴3（a2+b2）=18，
解得：a2+b2=6，
∴，
故答案为：6.
【分析】设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，结合可得3（a2+b2）=18，再求出a2+b2=6，可得，从而得解.
17．如图，在等边△ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点， 连结BM、MN，则BM+MN的最小值是 .
【答案】 (或写 ）
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接MC、NC，作CE⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴MB=MC，
∴BM+MN=CM+MN，
∵CM+MN≥CN，
∴当C、M、N在一条直线上时， 且垂直AB时，BM+MN=CE最短，
∵CE=.
故答案为：3.
【分析】连接MC、NC，作CE⊥AB，根据等边三角形的性质求出AD垂直平分BC，则可得出MB=MC，从而把BM+MN转化为CM+MN，推出当C、M、N在一条直线上时， 且垂直AB时，BM+MN=CE最短，最后根据勾股定理求出CE长即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，且 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则 ， .
【答案】3；6
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）AF＝3，
理由：延长AF到G使FG＝AF，连接EG，
在△ADF与△GEF中， ，
∴△ADF≌△GEF（SAS），
∴GE＝AD＝2 ，∠DAF＝∠G，
∴∠GAE+∠G＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠G+∠GAE+∠BAC＝180°，
∵∠G+∠GAE+∠AEG＝180°，
∴∠BAC＝∠AEG，
∵点A（0，2），B（﹣4，0），C（2，0），
∴AB＝ ＝2 ，AC＝2 ，BC＝4+2＝6，
在△ABC与△EAG中， ，
∴△ABC≌△EAG（SAS），
∴AG＝BC＝6，
∴AF＝3；
故答案为：3；
（ 2 ）△ADE的面积＝△AEG的面积＝△ABC的面积＝ BC AO＝ ×6×2＝6，
故答案为：6.
【分析】(1) 延长AF到G使FG＝AF，连接EG，首先证出△ADF≌△GEF，根据全等三角形的性质得到GE＝AD＝2 ，∠DAF＝∠G，然后推出∠BAC＝∠AEG，由勾股定理得到AB＝ ＝2 ，AC＝2 ，BC＝4+2＝6，进而利用SAS判断出△ABC≌△EAG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形的面积公式结合全等三角形的性质即可得到结论.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
20．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，连接AC。
（1）求AC的长度。
（2）求证△ACD是直角三角形。
（3）求四边形ABCD的面积
【答案】（1）解： ∵AB=BC=2，且∠ABC=90°，∴AC2=8，∴AC=2
（2）解：又∵AD=1，CD=3，AC=2 ∴AD2+AC2=CD2
∴∠CAD=90°，即△ACD是直角三角形
（3）解：S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD= ×2×2+ ×1×2 =2+
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，即可求出AC的值；
（2）由 AD=1，CD=3，AC=2 ，可知AD2+AC2=CD2 ，根据勾股定理得逆定理，即可得证； （3） 由 S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD，即可求解.
21．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝ ∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
22．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：
（1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝ 千米，才能使它到两所学校的距离相等？
（2）证明上题中的结论.
【答案】（1）2
（2）方法一：
当 则 而
由勾股定理可得：
方法二： CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）设 则
CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，
CA＝3千米，DB＝2千米，
解得：
所以当 千米时，它到两所学校的距离相等.
故答案为：2；
【分析】（1）设 则 根据勾股定理可得据此建立关于x方程，求出x值即可；
（2）方法一：当 则 而 利用勾股定理分别求出CE、DE的长，即可验证；方法二：利用SAS证明△AEC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等即可解决问题.
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，其中BC＝8cm，AB＝16cm，点P是BC边上的点，BP＝3cm.动点Q从点A出发，沿着射线AB匀速运动，运动速度为2cm/s，运动时间为ts，连接CQ和QP.
（1）当t＝5s时，求CQ的长；
（2）在点Q的运动过程中，当△ACQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）在点Q的运动过程中，当t为何值时，QP平分∠CQB？
【答案】（1）解：当t＝5s时，AQ＝10（cm），
∵AB＝16cm，
∴BQ＝AB﹣AQ＝16﹣10＝6（cm），
∵∠B＝90°，BC＝8cm，
∴CQ＝ ＝ ＝10（cm）
（2）解：当AQ＝CQ时，设AQ＝CQ＝xcm.
在Rt△CQB中，CQ2＝BQ2+BC2，
∴x2＝（16﹣x）2+82，
∴x＝10，
∴t＝ ＝5.
当AQ＝AC时，
∵AC＝ ＝ ＝8 （cm），
∴AQ＝8 （cm），
∴t＝ ＝4 ，
当CQ＝CA时，t＝16，
综上所述，满足条件的t的值为5或4 或16；
（3）解：如图，过点P作PT⊥CQ于点T.
在△QPB和△QPT中，
，
∴△QPB≌△QPT（AAS），
∴BQ＝QT，PB＝PT＝3（cm），
∵BC＝8cm，
∴PC＝BC﹣PB＝5（cm），
∵∠CTP＝90°，
∴CT＝ ＝ ＝4（cm），
∴16﹣2t+4＝ ，
解得t＝5.
∴t＝5时，QP平分∠BQC，
根据对称性，当点Q在AB的延长线上时，t＝11时，也满足条件.
综上所述，满足条件的t的值为5或11.
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）当t＝5s时，AQ＝10cm，根据BQ＝AB-AQ可得BQ，然后根据勾股定理求解即可；
（2）当AQ＝CQ时，设AQ＝CQ＝xcm，在Rt△CQB中，由勾股定理可得x，进而求出t；当AQ＝AC时，由勾股定理求出AC，即AQ，进而可得t；当CQ＝CA时，t＝16，据此求解；
（3）过点P作PT⊥CQ于点T，易证△QPB≌△QPT，得到BQ＝QT，PB＝PT＝3cm，由PC＝BC-PB可得PC，由勾股定理求出CT、CQ，据此可得t的值.
24．在同一平面内的两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M，N间的“最距离”，记作：．
如图，点B，C在数轴上表示的数分别为0，2，于点B，且．
（1）若点D在数轴上表示的数为5，求d（点D，）；
（2）若点E，F在数轴上表示的数分别是x，，当d（线段，）时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：连接，，根据直角三角形中斜边最长，
所以点D到图形的最距离是，
因为点B，C在数轴上表示的数分别为0，2，于点B，且，点D在数轴上表示的数为5，
所以，
所以，
所以d（点D，）为．
（2）解：当线段在原点的左侧时，
因为点E，F在数轴上表示的数分别是x，，
所以d（线段，）时，
得到，
所以，
解得；
当线段在原点的右侧时，
因为点E，F在数轴上表示的数分别是x，，
所以d（线段，）时，
得到，
所以，
解得，（舍去）；
综上所述，x的取值范围或．
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出DA的长，即可得到d（点D，）为；
（2）分类讨论：①当线段在原点的左侧时，②当线段在原点的右侧时，再分别列出不等式求解即可。
25．如图
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是 ．
（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为 ．
【答案】（1）解：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用 ， 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ）；
②图1：大正方形的面积为 ，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为 ，
则 ；
图2：大正方形的面积为 ，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为 ，
则 ，
即 ；
图3：直角梯形的面积为 ，
三个直角三角形的面积之和为 ，
则 ，
即 ；
（2）
（3）7.5
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【解答】（2）设 对应的直角边长为 ， 对应的直角边长为 ， 对应的斜边长为 ，
由圆的面积公式得： ，
，
，
由勾股定理得： ，
则 ，
即 ，
故答案为： ；（3）设直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，
由（2）可知， ，
则阴影部分的面积为 ，
，
，
故答案为：7.5．
【分析】（1）①根据勾股定理的定义叙述即可；②参照课本中证明勾股定理的方法来证明本题即可；（2）根据勾股定理的结论直接写出结果即可；（3）利用勾股定理及割补法求解即可。
26．如图：
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【答案】（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是：
；
（2）①如图， ，
②如图， ，
③如图， ，
∵
∴最短路程为 ；
（3） 高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点 处，
， ，
将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，
连接 ，则 即为最短距离，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．（2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；（3）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
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