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第11章 数的开方 单元达标测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． =±4 B．± =4
C． =-3 D． =-4
3．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
4．如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
5．如果m是 的整数部分，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．无理数在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
7．若，估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．我们规定：a*b= ，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
①a+（b*c）=（a+b）*（a+c） ②a*（b+c）=（a+b）*c
③a*（b+c）=（a*b）+（a*c） ④（a*b）+c= +（b*2c）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
10．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
12．若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．
实数－8的立方根是 .
14．计算 .
15．比较大小： （填“>”“<”或“=”）。
16．若与是同类项，则的平方根是 ．
17．阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是 ．
18． =a， =b，则 = ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．
（1）求x的值：（1﹣x）3=-27
（2）计算：
20．已知x－9的平方根是±3，x＋y的立方根是3.
（1）求x，y的值；
（2）x－y的平方根是多少？
21．计算：
（1）.
（2）已知A是的整数部分，B是它的小数部分，求的值.
22．若 和 是某数的平方根．
（1）求a的值；
（2）求这个数的平方根．
23．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，且无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但我们可以用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
24．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中 = ， = ；
（2）从表格中探究 与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；
②已知 =8.973，若 =897.3，用含 的代数式表示 ，则 = ；
（3）试比较 与 的大小．
25．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a+2） -b+3=0，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ；
（2）如果2b-a-（a+b-4） =5，其中a、b为有理数，求3a+2b的平方根．
26．如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点 与数轴上的原点重合.（所有结果均保留 ）
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点 到达点 ，设点 表示的数为 .
①求 的值；
②求 的算术平方根.
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3.
①第几次滚动后，点 距离原点最近？第几次滚动后，点 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点 运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
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第11章 数的开方 单元达标测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】根据9＜13＜16，可知32＜13＜42，可知3＜ ＜4.
故答案为：B．
【分析】根据9＜13＜16，可得3＜ ＜4.
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． =±4 B．± =4
C． =-3 D． =-4
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】A、原式=4，A不符合题意；
B、原式=±4，B不符合题意；
C、原式=-3，C符合题意；
D、原式=|-4|=4，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0.
3．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】平方根；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得m+4+m-2=0，求解可得m的值.
4．如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 对应的点是M．
故答案为：C．
【分析】先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，在确定对应的点即可解决问题。
5．如果m是 的整数部分，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴m＝3，
故答案为：C．
【分析】估算的大小，直接求值即可。
6．无理数在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
即
故答案为：A.
【分析】先判断的大小，再判断 的大小范围即可.
7．若，估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴m的值所在的范围是：；
故答案为：C．
【分析】根据可得，从而得解。
8．我们规定：a*b= ，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
①a+（b*c）=（a+b）*（a+c） ②a*（b+c）=（a+b）*c
③a*（b+c）=（a*b）+（a*c） ④（a*b）+c= +（b*2c）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：∵a+（b*c）=a+ ，（a+b）*（a+c）= =a+ ，
∴选项①符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a+b）*c= ，
∴选项②符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a*b）+（a*c）= + =a+ ，
∴选项③不符合题意；
∵（a*b）+c= +c， +（b*2c）= + = +c，
∴选项④符合题意，
∴等式中对于任意实数a、b、c都成立的是：①②④．
故选：B．
【分析】根据*的含义，以及实数的运算方法，判断出对于任意实数a、b、c都成立的是哪个等式即可．
9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
10．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的运算
【解析】【解答】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、 ＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据实数a、b、c、d在数轴上的位置及b+d＝0，可得a＜b＜0＜c＜d，|a|＞|b|＝|d|＞|c|，据此逐一分析即可.
11．在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：2015♀2017
=（2015♀2017+2017）﹣2017
=2015♀（2017♀2017）﹣2017
=2015♀5﹣2017
=2015♀（2015♀2015）﹣2017
=2015♀2015+2015﹣2017
=5﹣2
=3
故答案为：B
【分析】根据规定的运算法则运算即可。首先在2015♀2017添加2017构成（2）式进行推导，将（1）式代入进行求值，最后代入（2）式得出最终答案。
12．若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
【答案】B
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．
实数－8的立方根是 .
【答案】-2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：-8的立方根为 -2.
【分析】根据立方根的含义求出答案即可。
14．计算 .
【答案】-7
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解： 1－8=-7
故答案为：-7.
【分析】根据零指数幂的性质和乘方的意义先计算乘方，再计算减法即可得出答案.
15．比较大小： （填“>”“<”或“=”）。
【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1＜＜2，
∴0＜-1＜1，
∴0＜4（-1）＜4，
∴0＜，
∴.
故答案为：＜.
【分析】先估算出1＜＜2，从而得出0＜，即可得出答案.
16．若与是同类项，则的平方根是 ．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；平方根；同类项的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵与是同类项，
∴
解得：
∴
∴的平方根是
故答案为：.
【分析】同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，据此可得m-n=4、2m+n=2，求出m、n的值，然后求出m-3n的值，再结合平方根的概念进行解答.
17．阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
18． =a， =b，则 = ．
【答案】0.1b
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =b，
∴ = = = =0.1b．
故答案为：0.1b．
【分析】算数平方根的小数点移动法则为”内2外1“，根号里边移动2位，外边移动1位，5.67与567小数点相差2位，以为标准移动小数点.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．
（1）求x的值：（1﹣x）3=-27
（2）计算：
【答案】（1）解：（1﹣x）3=-27 ，
1﹣x=-3，
解得：x=4.
答：x的值为4.
（2）解：+（-2012）0-
=2+1-（-1）
=3+1
=4.
【知识点】立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】（1）本小题利用立方根解方程，把1﹣x看成一个整体，得到 1﹣x=-3，再进而求得x的值即可；（2）本小题考查实数的运算，按照平方根、立方根等知识正确计算即可.
20．已知x－9的平方根是±3，x＋y的立方根是3.
（1）求x，y的值；
（2）x－y的平方根是多少？
【答案】（1）解：∵x－9的平方根是±3，
∴x－9＝9，解得x＝18.
∵27的立方根是3，
∴x＋y＝27，
∴y＝9
（2）解：由(1)得x－y＝18－9＝9，9的平方根是±3，
∴x－y的平方根是±3
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）利用平方根的定义可得x－9＝9，求出x的值，利用立方根的定义可得x＋y＝27，继而求出y的值；
（2）利用（1）结果，求出x-y的值，然后求出平方根即可.
21．计算：
（1）.
（2）已知A是的整数部分，B是它的小数部分，求的值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为，它的小数部分，
∴
.
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质立方根的概念及绝对值的性质分别化简，再合并同类项即可；
（2）利用估算无理数大小的方法求出A、B，然后代入待求式子，接着计算乘方及利用完全平方公式展开括号，最后计算有理数的加减法即可得出答案.
22．若 和 是某数的平方根．
（1）求a的值；
（2）求这个数的平方根．
【答案】（1）解：若两个平方根不同，则 ，解得 ；
若两个平方根相同， ，解得
（2）解： 时，这个数是 ，
∴平方根为 ；
时，这个数是 ，
∴平方根为±3．
综上所述，这个数的平方根为±1或±3
【知识点】平方根
【解析】【分析】（1）先求出 和 ， 再解方程求解即可；
（2）利用平方根的性质计算求解即可。
23．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，且无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但我们可以用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【答案】（1）3；
（2）解：∵，
∴的小数部分为：；
，
∴的整数部分为：，
∴．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∴的整数部分是3，小数部分是；
故答案为：3，．
【分析】(1)根据平方根的定义，先找到与13相邻的平方数，则可确定的范围，依此确定其整数部分与小数部分；
(2) 利用(1)的方法，先确定 的小数部分a及的整数部分b，然后代值计算即可.
24．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中 = ， = ；
（2）从表格中探究 与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；
②已知 =8.973，若 =897.3，用含 的代数式表示 ，则 = ；
（3）试比较 与 的大小．
【答案】（1）0.1；10
（2）解：31.6；10000
（3）解：当 当
当
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：（1）x=0.1，y=10（2） ≈ 31.6； =10000
【分析】第1小题，是a的算术平方根，表中的x、y可求；第2小题，由1可知，a扩大100倍，则扩大10倍，可求解；第3小题，分三种情况讨论，当 a = 0 或 1 时，=a，当 0 < a 1 时，a，当 a > 1 时，a.
25．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a+2） -b+3=0，其中a、b为有理数，那么a= ，b= ；
（2）如果2b-a-（a+b-4） =5，其中a、b为有理数，求3a+2b的平方根．
【答案】（1）-2；3
（2）解：已知等式整理得：2b-a-（a+b-4） -5=0，
∴ ，
解得： ，
则3a+2b=9，9的平方根为±3
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据a、b为有理数，如果（a+2） 2 -b+3=0，那么a+2=0且-b+3=0，从而得出a,b的值；
（2）已知等式右边化为0，根据a,b为有理数，求出a,b的值，即可确定出3a+2b的平方根。
26．如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点 与数轴上的原点重合.（所有结果均保留 ）
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点 到达点 ，设点 表示的数为 .
①求 的值；
②求 的算术平方根.
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3.
①第几次滚动后，点 距离原点最近？第几次滚动后，点 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点 运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
【答案】（1）解：①a在原点左边为负数，且a的绝对值为圆的周长.即 .
②把 代入 得， ，则4的算数平方根为2
（2）解：①第一次滚动后距离原点2周，第二次滚动为2-1=1，距离原点一周，第三次滚动为2-1+3=4，距离原点4周，第四次转动为2-1+3-4=0，即在原点位置，距离原点为0，第五次转动2-1+3-4-3=-3，距离原点3周.所以综上所述：第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远.
②总路程为： .
所表示的数：
故答案为：(1) ①②2 (2) ①第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远
【知识点】无理数在数轴上表示；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）①先求出圆的周长为π，可得QQ'=π，由于a在原点左边，可得；
②将代入中，先化简求出值，再求其算术平方根；
（2）①根据记录的数据分别求出每次滚动距原点的距离，然后判断即可；
②将记录数据的绝对值相加，将结果乘以π即得总路程；将记录的数据相加，将结果乘以π即得Q表示的数.
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