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第21章 二次根式 单元提分测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列运算中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若xy＜0，则 化简后的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若式子 有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．坐标原点 B．第一象限 C．第二象限 D．第三象限
6．估计 的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．函数 的自变 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
8．下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2 = D．3
9．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
10．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
11．若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简 的结果是（ ）
A．a﹣1 B．1﹣a C．（a﹣1）2 D．（1﹣a）2
12．计算 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．计算的结果是= ．
15．计算：÷=
16．已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
17．设5- 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为
18．已知 ，则 = 。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
20．点A在数轴上，点A所表示的数为 ，把点A向右平移1个单位得到的点所表示的数为m，把点A向左平移1个单位得到的点所表示的数为n．
（1）直接写出m、n的值：m= ，n= ；
（2）求代数式 的值．
21．已知a，b，c满足(a－ )2＋ ＋ ＝0.
（1）求a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成，求出该三角形的周长；若不能，请说明理由．
22．请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知 ，求 的值．
解：由 ，解得： ∴ ．
请继续完成下列两个问题：
（1）若x、y为实数，且 ，化简： ；
（2）若 ，求 的值．
23．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2=（a±b）2，那么，那么如何将双重二次根式
化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得即m+n=a，且使=即m n=b，那么=∴=，双重二次根式得以化简；
例如化简：；∵3=1+2且2=1×2，∴∴
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：= =
（2）化简：①②
（3）计算：．
24．阅读下列解题过程：
例：若代数式 ，求a的取值.
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简： ＝ ；
（2）请直接写出满足 ＝5的a的取值范围 ；
（3）若 ＝6，求a的取值.
25．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝ ＝ （1）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：
＝ （2）
（1）请参照（1）（2）的方法用两种方法化简：
方法一： ＝
方法二： ＝
（2）直接写出化简结果： ＝ ＝
（3）计算： + + +…+ +
26．材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴1．
（1）仿照材料二，化简：；
（2）结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值．
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第21章 二次根式 单元提分测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列运算中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，运算错误，符合题意；
B：，运算正确，不符合题意；
C：，运算正确，不符合题意；
D：，运算正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用同类二次根式，二次根式的性质以及二次根式的乘除法则计算求解即可。
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，即
故答案为：C
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可。
3．下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵＝2，
∴与为同类二次根式的是，
故答案为：B．
【分析】先把化为最简二次根式为，再根据同类二次根式的被开方数相同判断各选项即可得出答案.
4．若xy＜0，则 化简后的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy＜0，
∴x＜0，y＞0，
∴ =-x ．
故答案为：D
【分析】根据二次根式的被开放式非负和已知条件xy＜0可判断x、y的符号，x＜0，y＞0，再根据二次根式的性质可化简。
5．若式子 有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．坐标原点 B．第一象限 C．第二象限 D．第三象限
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意可得： ， ，
∵ ，
∴a、b同号，
又∵ ，
∴ ，
∴a＜0，b＜0，
∴点P（a，b）在第三象限，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式求解，确定a、b的正负性，结合点的坐标跟象限的关系，即可判断.
6．估计 的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
＝
＝ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值应在5和6之间.
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的乘法法则进行计算，可求出结果，再利用估算无理数的大小及不等式的性质，可得答案.
7．函数 的自变 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ 有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∵ 是分式，
∴ ≠0，
∴x≠2，
综上所述，
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义可得x≥2和x≠2，可得x的取值范围。
8．下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2 = D．3
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、4 ﹣3 = ，原式计算错误，故本选项错误；
B、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、2 = ，计算正确，故本选项正确；
D、3+2 ≠5 ，原式计算错误，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
9．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得：x>2，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-2>0，从而得出2-x＜0，然后利用二次根式的性质解答即可.
10．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】结合题意，得：
∴
∴
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0进行作答即可。
11．若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简 的结果是（ ）
A．a﹣1 B．1﹣a C．（a﹣1）2 D．（1﹣a）2
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，
则a﹣2＞0；
＝|a﹣1|＝a﹣1.
故答案为：A.
【分析】由正比例函数的图象位置判断a的取值范围，再根据二次根式的性质化简.
12．计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A.
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则：根指数不变，被开方数相乘除进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
14．计算的结果是= ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】先根据二次根式的性质，将各个二次根式分别化简，再合并同类二次根式即可.
15．计算：÷=
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=
=
=2．
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的除法法则进行运算即可．
16．已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
因为最简二次根式 与 可以合并 ，
所以 与 是同类根式，
所以4a+3=2a-b+6，且b+1=2
所以b=1，a=1
所以a+b=2
故答案为：2.
【分析】两个二次根式可以合并，那么它们一定是同类二次根式，根据同类根式的特点列式进行求出a、b再计算它们的和。
17．设5- 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为
【答案】
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据算术平方根的性质及不等式的性质得出，即可确定a，b的值，再代入求解即可.
18．已知 ，则 = 。
【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵( )2=
∴ =2
故答案为：2
【分析】将所求代数式平方后，整理成a+b和ab的形式，整体代换可求得的值，再根据二次根式的双重非负性即可求解。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
【答案】（1）解：∵ a=，b=，
∴
（2）解：∵
原式=
（3）解：原式=
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将a，b的值代入ab，利用二次根式的性质求出结果.
（2）先求出a+b的值，再将代数式转化为（a+b）2+ab，然后整体代入求值.
（3）先通分，可得到，然后整体代入求值.
20．点A在数轴上，点A所表示的数为 ，把点A向右平移1个单位得到的点所表示的数为m，把点A向左平移1个单位得到的点所表示的数为n．
（1）直接写出m、n的值：m= ，n= ；
（2）求代数式 的值．
【答案】（1）；
（2）解：原式
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】（1）由点A在数轴上的位置和平移的方向可得：m=，n=；
（2）由（1）可得m+n=2，mn==2；根据完全平方公式可得，于是将m+n和mn代入所求代数式即可求解。
21．已知a，b，c满足(a－ )2＋ ＋ ＝0.
（1）求a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成，求出该三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵(a－ )2≥0， ， ≥0，
且(a－ )2＋ ＋ ＝0，
∴a－ ＝0，b－5＝0，c－3 ＝0，
∴a＝2 ，b＝5，c＝3
（2）解：∵a＋c＝2 ＋3 ＝5 ，5 ＞5，
∴a＋c＞b，
∴以a，b，c为边能构成三角形，其周长为a＋b＋c＝2 ＋5＋3 ＝5＋5
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】（1）根据平方、二次根式和绝对值的非负性即可求解；
（2）求出（1）中的任意两边之和，由三角形三边关系定理即可判断。
22．请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知 ，求 的值．
解：由 ，解得： ∴ ．
请继续完成下列两个问题：
（1）若x、y为实数，且 ，化简： ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：由 ，解得：x＝3，∴y＞2．∴
（2）解：由： ，解得：x＝1．y＝﹣2．∴
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用二次根式的定义求出x的值，就可得出y的取值范围，再根据y的取值范围化简代数式即可。
（2）利用二次根式的定义，建立关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，就可得出y的值，再将x、y的值代入代数式计算可解答。
23．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2=（a±b）2，那么，那么如何将双重二次根式
化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得即m+n=a，且使=即m n=b，那么=∴=，双重二次根式得以化简；
例如化简：；∵3=1+2且2=1×2，∴∴
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：= =
（2）化简：①②
（3）计算：．
【答案】（1）-；+
（2）解：①= =（+1）=+；
②
=
=（﹣）
=﹣；
（3）解：
=+
=
=．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）直接利用已知例题进行配方化简即可；
（2）①首先提取公因式，再进行配方化简即可；
②首先提取公因式，再进行配方化简即可；
（3）利用根号下部分乘2进而配方化简即可．
24．阅读下列解题过程：
例：若代数式 ，求a的取值.
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简： ＝ ；
（2）请直接写出满足 ＝5的a的取值范围 ；
（3）若 ＝6，求a的取值.
【答案】（1）4
（2）1≤a≤6
（3）解：原式＝|a+1|+|a﹣3|，
当a＜﹣1时，原式＝﹣（a+1）+（3﹣a）＝2﹣2a＝6，解得a＝﹣2；
当﹣1≤a＜3时，原式＝（a+1）+（3﹣a）＝4，等式不成立；
当a≥3时，原式＝（a+1）+（a﹣3）＝2a﹣2＝6，解得a＝4；
所以，a的值为﹣2或4.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）原式＝|a﹣3|+|a﹣7|，
∵3≤a≤7，
∴原式＝（a﹣3）+（7﹣a）＝4；
故答案为：4；
（2）原式＝|a-1|+|a+6|，
当a＜1时，原式＝﹣（a-1）+（6﹣a）＝7﹣2a＝5，解得a＝1，不适合题意；
当1≤a≤6时，原式＝（a-1）+（-a+6）＝5，等式成立；
当a＞6时，原式＝（a-1）+（a﹣6）＝2a﹣7＝5，解得a＝6不适合题意；
∴当1≤a≤6时， ＝5；故答案为：1≤a≤6；
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项，即可得出答案；
（2）分三种情况讨论：当a＜1时，当1≤a≤6时，当a＞6时，分别根据二次根式的性质进行化简，得出关于a的方程，解方程求出a的值即可；
（3）分三种情况讨论：当a＜-1时，当-1≤a＜3时，当a≥3时，分别根据二次根式的性质进行化简，得出关于a的方程，解方程求出a的值即可.
25．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝ ＝ （1）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：
＝ （2）
（1）请参照（1）（2）的方法用两种方法化简：
方法一： ＝
方法二： ＝
（2）直接写出化简结果： ＝ ＝
（3）计算： + + +…+ +
【答案】（1）；
（2）；
（3）解： + + +…+ +
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）方法一： ＝ ＝
方法二： ＝
故答案为：，；
（2） ＝ ＝
＝ ＝
故答案为： ； ；
【分析】（1）方法（1）分子分母同乘即可；方法（2）利用因式分解将分子变形，然后约分即可；
（2）将分子分母同乘以分母的有理化因式即得；
（3）先分母有理化，然后进行加减运算即得.
26．材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴1．
（1）仿照材料二，化简：；
（2）结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值．
【答案】（1）解：
∴
∴．
（2）解：∵
∴
∴，．
（3）解：∵，，a＝4，b＝3
∴=4，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）把6拆成5+1，利用题目的材料可得结论；
（2）观察上面的两个材料，结合完全平方公式“”可得结论；
（3）根据（2）先得到m，n与a，b的关系，再利用完全平方公式“”的变形得到结论.
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