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第一章 全等三角形 单元突破卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
2．如图，≌，，是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．和是对应角 B．和是对应角
C．与是对应边 D．和是对应边
3．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
4．如图所示，已知 ，则不一定能使 的条件是（ ）
A． B．
C． D． 平分
5．如图，∠EOF的顶点O是等边△ABC三条中线的交点，∠EOF的两边与△ABC的边交于E、F两点．若AB＝4，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．在下列各组条件中，不能判断 和 全等的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
7．如图，已知是的平分线，，若，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（ ）
A．BC+AD＝CD B．E为CD中点
C．∠AEB＝90° D．S△ABE＝S四边形ABCD
9．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠DBC=∠ACB
10．已知命题：①两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；②腰长和面积对应相等的两个等腰三角形全等，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①，②都是假命题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图， .若AD＝8，BC＝3，则AB的长是 .
12．一个三角形的三边为9、7、x，另一个三角形的三边为y、9、6，若这两个三角形全等，则 ．
13． 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ．
14．如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°， ∠ACB=60°， 则∠E的度数为 ．
15．如图，AD∥BC，AD＝BC，请你添加一个条件： ，使△ADE≌△CBF．（写出一个条件即可）
16．如图，△ABC中，BC=10，AC-AB=4，AD平分∠BAC，CD⊥AD，则S△BDC的最大值是 .
17．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
18．如图，∠AOB=120°，∠MPN = 60°， OP平分∠AOB，点 M、N 分别在射线 OA，OB 上（都不与点 O 重合），∠MPN 绕着点 P 转动， OP 与 MN 交于点 G， OP=10，当 MN取得最小值时， DOGN 的面积为
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
20．如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数.
21．两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
22．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）AB与DE有什么关系？请说明理由．
（2）线段AP的长为 （用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为 ．
23．如图①，，，，，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为秒．
（1）若点运动的速度与点运动的速度相等，当时，求证：≌；
（2）在（1）的条件下，求的度数；
（3）如图②，若，，，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，若存在与全等，请求出相应的和的值．
24．在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题，如图2，在非等边ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且AD、CE交于点F.
（1）求∠AFC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD.
25． 中， ， ，点 是直线 上的一动点（不和 重合）， 交 所在的直线于点 ，交直线 于 ．
（1）点 在边 上时，如图，试探索 和 之间的等量关系，并说明理由；
（2）点 在 的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出 和 之间的等量关系，并说明理由．
26．现分别过线段的端点A，B作直线，，且AP//BQ，，的平分线交于点C，过点C的直线l分别交，于点D，E．
（1）求证：是直角三角形；
（2）图1．当直线时，试判断线段之间有怎样的关系并证明；
（3）图2．直线l与不垂直．若，求的长度．
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第一章 全等三角形 单元突破卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°.
故答案为：A.
【分析】直接根据全等三角形的对应角相等进行解答.
2．如图，≌，，是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．和是对应角 B．和是对应角
C．与是对应边 D．和是对应边
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△AOC≌△DOB，点C和点B是对应点，
∴∠C和∠B是对应角，∠AOC和∠DOB是对应角，OA和OD是对应边，AC的对边为BD，故A，B，D不符合题意，C符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的对应边所对的角是对应角，对应顶点所在的角是对应角，可得答案.
3．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵△ABC≌△AED，
∴∠C=∠D，
∴∠CED=∠1=40°，
∵△ABC≌△AED，
∴∠B=∠AED，AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，∴∠AED=（180°-∠CED）÷2=70°.
故答案为：A.
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内和的应用，由全等三角形对应角相等可证得∠C=∠D，∠AED=∠B，从而得∠1=∠CED，由全等三角形对应边相等可得AB=AE，可得∠B=∠AEB，所以∠AED=∠AEB，从而求出∠AED的度数.
4．如图所示，已知 ，则不一定能使 的条件是（ ）
A． B．
C． D． 平分
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加BD＝CD可利用SAS判定△ABD≌△ACD，故此选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加AB＝AC不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
D、添加 平分 ，则∠BAD＝∠CAD，可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法可代入判断.
5．如图，∠EOF的顶点O是等边△ABC三条中线的交点，∠EOF的两边与△ABC的边交于E、F两点．若AB＝4，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵O是等边△ABC三条中线的交点，
∴∠OBC=∠OBA= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°．
∴OB=OC．∠BOC=120°，
∵ON⊥BC，BC=AB=4，
∴BN=NC=2，
∴OB=2ON，且OB2=ON2+BN2
∴ON= ，
∴S△OBC= BC·ON= ×4× = ．
∵∠EOF=∠BOC=120°，
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF，即∠EOB=∠FOC．
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA）．
∴S阴影=S△OBC=
故答案为：B．
【分析】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°，结合条件OB=2ON，求出△OBC的面积，由∠EOF=∠BOC=120°，从而得到∠EOB=∠FOC．进而证明△EOB≌△FOC，即可求出答案。
6．在下列各组条件中，不能判断 和 全等的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
， ， ，
故 不符合题意；
， ， ，
故 不符合题意；
， ， ，
不是对应相等的两边的夹角，所以不能判定两个三角形全等，故 符合题意；
， ， ，
故 不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形全等判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL进行判断。
7．如图，已知是的平分线，，若，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP=∠DBA，
∵BP⊥AP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△APB与△DPB中，
∵∠ABP=∠DBA，BP=BP，∠APB=∠DPB=90°，
∴△APB≌△DPB（ASA），
∴AP=PD，
∴S△ABP=S△DBP，S△APC=S△DPC，
∵S△BCP=S△BDP+S△CPD=12cm2，
∴S△ABP+S△ACP=12cm2，
∴S△ABC=S△BCP+S△ABP+S△ACP=24cm2.
故答案为：A.
【分析】，延长AP交BC于点D，首先由ASA判断出△APB≌△DPB，由全等三角形对应边相等得AP=PD，由等底同高的三角形的面积相等得S△ABP=S△DBP，S△APC=S△DPC，再由S△BCP=S△BDP+S△CPD=12cm2，得S△ABP+S△ACP=12cm2，从而此题就不难得出答案了.
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（ ）
A．BC+AD＝CD B．E为CD中点
C．∠AEB＝90° D．S△ABE＝S四边形ABCD
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长BE，AD交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠CBA，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠ABE＝ ∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
故选项C不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠ABF＝∠F，∠C＝∠D，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠FED，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴CE＝DE，
∴E为CD中点，
故选项B不符合题意；
∵△BCE≌△FDE，
∴S△ABF＝S四边形ABCD，
∵E为CD中点，
∴S△ABE＝ S△ABF，
∴S△ABE＝ S四边形ABCD，
故选项D不符合题意；
∵△ABE≌△AFE（AAS），△BCE≌△FDE（AAS），
∴AB＝AF，BC＝DF，
∵AF＝AD+DF＝AD+BC，
∴AB＝AD+BC，
∵AB与CD不一定相等，
∴BC+AD＝CD不一定成立；
故选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】C、先根据二直线平行，同旁内角互补，得∠CBA＋∠BAD＝180°，再根据角平分线的定义得∠BAE＋∠ABE＝90°，从而根据三角形的内角和定理得∠AEB＝90°，据此判断C选项；
B、延长BE，AD交于点F，先用AAS证明△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得BE＝EF，再用AAS证明△BCE≌△FDE，根据全等三角形的性质得CE＝DE，即E为CD中点，据此判断B；
D、根据△BCE≌△FDE，得S△ABF＝S四边形ABCD，再根据E为CD中点，得S△ABE＝S△ABF，最后得S△ABE＝S四边形ABCD，据此判断D；
A、由△ABE≌△AFE，△BCE≌△FDE，得AB＝AF，BC＝DF，再根据AF＝AD＋DF＝AD＋BC，得AB＝AD＋BC，因此BC＋AD＝CD不一定成立，据此判断A．
9．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠DBC=∠ACB
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据题意知，BC边为公共边．
A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．
故选：D．
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．
10．已知命题：①两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；②腰长和面积对应相等的两个等腰三角形全等，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①，②都是假命题
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①如图，
AB=A′B′，AC=A′C′，AD、A′D′是中线，且AD=A′D′，则ABC≌A′B′C′.理由：
延长AD、A′D′，使DE=AD，D′E′=A′D′，则AE= A′E′.
∵DE=AD，∠BDE=ADC，BD=CD，
∴△BDE≌△CDA，
∴BE=AC，
同理可证B′E′=A′C′，
∴BE= B′E′，
在△ABE和△A′B′E′中，
∵AB=A′B′，BE=B′E′，AE= A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAD=∠B′A′D′，
同理可证
∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
又∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′，故①正确，是真命题；
②不一定全等，是假命题.
故答案为：B.
【分析】延长AD、A′D′，使DE=AD，D′E′=A′D′，则AE= A′E′，liyong SAS判断出△BDE≌△CDA，根据全等三角形的对应边相等得出BE=AC，同理可证B′E′=A′C′，故BE= B′E′，然后利用SSS判断出△ABE≌△A′B′E′，根据全等三角形的对应角相等得出∠BAD=∠B′A′D′，同理可证∠CAD=∠C′A′D′，故∠BAC=∠B′A′C′，从而利用SAS判断出△ABC≌△A′B′C′，故①正确，是真命题；②不一定全等，是假命题.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图， .若AD＝8，BC＝3，则AB的长是 .
【答案】2.5
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ，
，
，
即 ，
， ，
.
故答案为：2.5.
【分析】利用全等三角形的对应边相等可证得AC=BD，可推出AB=CD，由此可求出AB的长.
12．一个三角形的三边为9、7、x，另一个三角形的三边为y、9、6，若这两个三角形全等，则 ．
【答案】13
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据全等三角形的对应边相等得，
故答案为：13．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可求出x、y值，再求和即可.
13． 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】①∵当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，
∴①错误；
②∵当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，
∴②正确；
③∵当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，
∴③正确；
综上，正确的结论是②③；
故答案为：②③.
【分析】以点P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得形状唯一确定的△PAQ，否则不可得形状唯一确定的△PAQ，再逐项分析判断即可.
14．如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°， ∠ACB=60°， 则∠E的度数为 ．
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：△ABC≌△DEC
故答案为：50°
【分析】根据全等三角形的性质对应角相等，将问题转化为求∠B，根据三角形内角和定理，∠B易求， 故∠E的度数可求。
15．如图，AD∥BC，AD＝BC，请你添加一个条件： ，使△ADE≌△CBF．（写出一个条件即可）
【答案】∠D＝∠B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：可以添加的条件是∠D＝∠B，（答案不唯一）
理由：
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
又AD＝BC，∠D＝∠B
∴△ADE≌△CBF（ASA）．
故答案为：∠D＝∠B.（答案不唯一）
【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠A＝∠C，又AD＝BC，依据SAS，AAS，ASA，还需要添加∠D＝∠B或DE＝CF或∠DEA＝∠BFC；或其他可以推导出这些等量元素的条件.
16．如图，△ABC中，BC=10，AC-AB=4，AD平分∠BAC，CD⊥AD，则S△BDC的最大值是 .
【答案】10
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长AB，CD交于E，
∵AD平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
在△ADE和△ADC中，
∴△ADE≌△ADC，
∴BE=AE-AB=AC-AB=4，
当BE⊥BC时，△BDC的面积取最大值，
则S△BDC的最大值==10，
故答案为：10.
【分析】本题关键在于将AC和AB转移至同一条线段上，延长AB，CD交于E，则证明△ADE≌△ADC，就可以将AC和AB转移到一条线段上，求出BE=4，而要使三角形BDC的面积最大，则需要BE⊥BC，三角形BDC的高为BE的一半，代入求值即可.
17．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
18．如图，∠AOB=120°，∠MPN = 60°， OP平分∠AOB，点 M、N 分别在射线 OA，OB 上（都不与点 O 重合），∠MPN 绕着点 P 转动， OP 与 MN 交于点 G， OP=10，当 MN取得最小值时， DOGN 的面积为
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：作 ，如下图，
∵OP平分∠AOB，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 为等边三角形，
∴当 与PE重合，MP与MF重合时，PM、PN有最小值，即MN取得最小值，
此时，OP垂直平分MN，
∵ ，
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ．
【分析】作 ，可证明 ，推出 ， 为等边三角形，可得出当 与PE重合，MP与MF重合时，PM、PN有最小值即MN取得最小值，画出示意图，此时， ，再结合已知条件求解即可．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
在 中， .
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，根据SAS证明△ABE≌△DBE；
（2）利用三角形内角和求出∠ABC=30°，由角平分线的定义可得 ， 在 中，利用即可求解.
20．如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数.
【答案】（1）解：∵△ABC≌△EBD，
∴AB=BE=6，
∵AD=AB-BD，BD=4，
∴AD=6-4=2；
（2）解：∵△ABC≌△EBD，
∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，
∴∠ACE=30°+48°
=78°.
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应边相等，可求出AB的长，再根据AD=AB-BD，可求出AD的长；
（2）利用全等三角形的对应角相等，可求出∠A的度数，利用三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和，可得到∠ACE=∠A+∠B，代入计算求出∠ACE的度数.
21．两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
22．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）AB与DE有什么关系？请说明理由．
（2）线段AP的长为 （用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为 ．
【答案】（1）解：ABDE且AB=DE，理由如下：
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=DE，∠A＝∠E，
∴ABDE．
（2）3t cm或（8 3t）cm
（3）1或2
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）当0≤t≤时，AP＝3t cm；
当＜t≤时，BP＝（3t 4）cm，
则AP＝4 （3t 4）＝（8 3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3t cm或（8 3t）cm，
故答案为：3t cm或（8 3t）cm；
（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤时，3t＝4 t，
解得：t＝1；
当＜t≤时，8 3t＝4 t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1或2．
【分析】（1）由题意可得AC=EC，BC=DC，由对顶角的性质可得∠ACB=∠ECD，利用SAS证明△ABC≌△EDC，得到AB=DE，∠A＝∠E，然后根据平行线的判定定理进行解答；
（2）当0≤t≤时，AP＝3t cm；当＜t≤时，BP＝(3t 4)cm，根据AP=AB-BP可得AP；
（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，证明△ACP≌△ECQ，得到AP＝EQ，然后分0≤t≤、
＜t≤，求解即可.
23．如图①，，，，，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为秒．
（1）若点运动的速度与点运动的速度相等，当时，求证：≌；
（2）在（1）的条件下，求的度数；
（3）如图②，若，，，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，若存在与全等，请求出相应的和的值．
【答案】（1）证明：当时，，
则，
，
又，
在和中，
，
≌．
（2）解：如图①中，连接．
≌，
，，
．
，
．
（3）解：①若≌，
则，，
，
解得，，则；
②若≌，
则，，
则，
解得，，则，
故当，或，时，与全等
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）当t=1时，AP=EQ=2，则BP=7，推出BP=AC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）连接CQ，根据全等三角形的性质可得∠ACP=∠BPQ，PC=PQ，则∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，推出∠CPQ=90°。据此求解；
（3）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，据此求出t的值，进而可得x的值；②若△ACP≌△BQP，同理可得x、t的值.
24．在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题，如图2，在非等边ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且AD、CE交于点F.
（1）求∠AFC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD.
【答案】（1）解：∵AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠ACB=120°，
∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=60°，
∴∠AFC=180°-60°=120°；
（2）证明： 如图，在AC上截取AG=AE，连接FG. ∵∠AFC=120°，∴∠AFE=∠CFD=60°，
在△AEF与△AGF中，
∵AE=AG，∠1=∠2，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠AFE=∠AFG=60°，
∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴CG=CD，
∴AC=AG+CG=AE+CD.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）由三角形内角和可求出∠BAC+∠ACB=120°，由角平分线的定义可得∠2=∠BAC，∠3=∠ACB，从而求出∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=60°，利用三角形内角和定理求出∠AFC的度数；
（2）在AC上截取AG=AE，连接FG，先证△AEF≌△AGF，得∠AFE=∠AFG=60°，再证△CFG≌△CFD ，可得CG=CD，从而得出AC=AG+CG=AE+CD.
25． 中， ， ，点 是直线 上的一动点（不和 重合）， 交 所在的直线于点 ，交直线 于 ．
（1）点 在边 上时，如图，试探索 和 之间的等量关系，并说明理由；
（2）点 在 的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出 和 之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
；
（2）①当点 在 的延长线上时，如图所示，
同理可证
∴ ，
则 ；
②点 在 的反向延长线上时，如图所示，
同理可证
∴ ，
则 ．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）易证 ， 结合条件证明 ，得出 ，可得出 ，从而得出结论；
（2）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应的发生变化，证明 、 即可得出结论。
26．现分别过线段的端点A，B作直线，，且AP//BQ，，的平分线交于点C，过点C的直线l分别交，于点D，E．
（1）求证：是直角三角形；
（2）图1．当直线时，试判断线段之间有怎样的关系并证明；
（3）图2．直线l与不垂直．若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵AP//BQ，
∴．
∵AC和BC分别为，的平分线，
∴，，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图，过点C作于点F．
∵，
∴．
∵AC和BC分别为，的平分线，
∴．
又∵在和中，AC=AC、在和中，BC=BC，
∴、，
∴、．
∵，
∴；
（3）解：如图，在线段上截取AG=AD，连接CG．
根据题意和所作辅助线可知在和中，
∴，
∴，．
∵AP//BQ，
∴．
∵，
∴．
又∵， ，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，所以是直角三角形；
（2）过点C作于点F，先利用“AAS”证明，，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）在线段上截取AG=AD，连接CG，先利用“SAS”证明，可得，，再利用平行线的性质可得，再利用“AAS”证明，可得，最后利用线段的和差可得。
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